Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Эконометрика ZACHET

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
359.46 Кб
Скачать

Федеральное агентство по образованию Югорский государственный униветситет Факультет информатики и прикладной математики Кафедра математического моделирования

Петров А.А.

Методические указания к выполнению контрольной работы для

студентов заочной формы обучения

Дисциплина Эконометрика Специальность 080109 Бухгалтерский учет анализ и

аудит

Курс 2 Семестр весенний учебного года 2007-2008

Ханты-Мансийск 2007

1Содержание теоретического материала дисциплины, необходимого для выполнения контрольной работы

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ

Эконометрика и ее место в ряду математических и специальных дисциплин. Эконометрическая модель. Методы эконометрики.

Тема 2. ЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Парный регрессионный анализ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Метод максимального правдоподобия. Свойства коэффициентов регрессии и проверка гипотез, доверительные интервалы коэффициентов регрессии. Коэффициент эластичности, бета-коэффициент, коэффициент детерминации. F тест. Доверительные интервалы параметров регрессии.

Тема 3. МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Множественный регрессионный анализ. Свойства коэффициентов регрессии и проверка гипотез, F тест, доверительные интервалы для параметров регрессии, частные коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты, коэффициент детерминации. Мультиколлинеарность и методы ее устранения. Гетероскедастичность и автокорреляция, их обнаружение и устранение. Обобщенный метод наименьших квадратов; регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные); нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

Тема 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Временной ряд и его характеристики. Стационарные и нестационарные временные ряды их идентификация и характеристики. Методы сглаживания временных рядов. Построение трендовых моделей. Проверка адекватности трендовых моделей.

Тема 5. ОСНОВЫ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных одновременных уравнений. Проблема индентефикации систем одновременных уравнений. Статистическое оценивание параметров системы одновременных уравнений: косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов.

2Основные формулы для выполнения контрольной работы

2.1Линейная парная регрессия

Пусть заданы n измерений переменных X; Y

Уравнение линейной парной регрессии имеет вид Yi = µ0 +µ1Xi +"i, где Y объясняемый

фактор, X - объясняющий фактор, " - ошибки измерения.

 

 

 

 

^

^

; µ1 находятся по формулам

 

 

 

 

Оценки µ0

; µ1 параметров µ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ^ =

XY ¡ X ¢ Y

; µ^

=

 

µ^

 

 

 

 

 

Y

X:

 

 

 

1

 

 

X

2

 

¡ ¡

X

¢

2

0

^

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ 1 ¢

 

 

 

 

Искомое уравнение регрессии имеет вид Yi = µ0

+ µ1Xi

^

^

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прогнозируемые значения объясняемого фактора находятся по формуле Yi = µ0

+ µ1Xi

^

Остатки регрессии находятся по формуле ei = Yi ¡ Yi. С помощью остатков регрессии оценивается адекватность построенного уравнения регрессии.

1

Оценка дисперсии ошибок находится по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценки дисперсии параметров регрессии находятся по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2

=

S2 ¢

X2

 

; S2

=

S2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

n ¢ x2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

n ¢ x2

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x2

=

X2

¡

 

 

X

 

Коэффициент детерминации находится по

формуле

 

 

¡

¢

 

 

 

 

 

 

R2 = 1 ¡

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2:

 

 

 

y2

=

Y 2

¡

Y

 

Он показывает какую часть изменения

переменной Y объясняет изменение переменной

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

¢

 

 

 

X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент эластичности находится по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EY=X

= µ1

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

он показывает на сколько процентов

изменится значение переменной Y в среднем, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

значение переменной X изменится в среднем на 1%.

p

 

 

 

квадратические отклонения переменных находятся по формулам ¾(X) =

x2

;

Средне 2

 

 

 

 

 

 

¾(Y ) = q

 

 

 

 

 

 

 

. Бета коэффициент находится по формуле

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

¾(X)

 

 

 

 

 

¯Y=X = µ1

 

:

 

 

 

 

 

¾(Y )

 

 

 

Он показывает, на какую часть своего

средне квадратического отклонения изменится в

b

 

 

 

 

 

среднем разброс переменной Y , если разброс переменной X изменится на величину своего

средне квадратического отклонения.

Проверка адекватности построенного уравнения проводится с помощью F теста проверки гипотезы H0 : µ1 = 0. Расчетное значение F теста находится по формуле

R2

F = 1 ¡ R2 (n ¡ 2)

которое сравнивается с критическим

Fkp = F®(1; n ¡ 2);

- критическая точка распределения Фишера, отвечающая уровню значимости ® и степеням свободы 1 и n ¡ 2. Если расчетное значение больше критического, то гипотеза H0 : µ1 = 0 отвергается и построенное уравнение можно считать адекватным изучаемому процессу, в противном случае гипотеза принимается и уравнение нельзя считать адекватным изучаемому процессу.

Доверительные интервалы для параметров регрессии имеют вид

µ0 : ¡µb0 ¡ S0 ¢ t®(n ¡ 2); µb0 + S0 ¢ t®(n ¡ 2)¢; µ1 : ¡µb1 ¡ S1 ¢ t®(n ¡ 2); µb1 + S1 ¢ t®(n ¡ 2)¢;

где t®(2) критическая точка распределения Стьюдента, отвечающая уровню значимости ® и n ¡ 2 степеням свободы (область двусторонняя).

2

2.2Множественная линейная регрессия

Пусть заданы n измерений переменной Y , и n измерений переменных Xj, где j = 1; : : : ; k Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид

Yi = µ0 + µ1X1i + ¢ ¢ ¢ µkXki + "i; i = 1; : : : ; n

Запишем эту систему уравнений в матричной форме. Для этого введем в рассмотрение матрицы

0 Y2

1

0 µ1

1

0 "2

1

0 1

X12

Y1

C

 

µ0

C

 

"1

C

 

1

X11

Y = B ...

; µ = B ...

; " = B ...

; X = B ... ...

B Yn

C

B

µk

C

B

"n

C

B

1 X1n

B

C

B

 

C

B

 

C

B

 

 

@

A

@

 

A

@

 

A

@

 

 

Тогда уравнение линейной множественной регрессии примет вид

Y = + "

МНК оценки параметров модели находятся по формуле

b ¡ T ¢¡1 T

µ = X X X Y

X22

¢ ¢ ¢

Xk2

1

X21

 

Xk1

C

...

¢.¢.¢.

...

 

¢ ¢ ¢

 

C

 

 

 

A

X2n

 

Xkn

C

b

Прогнозируемые значения переменной Y и остатки регрессии e находятся по формулам

b

b

 

 

 

 

 

 

 

Y = Xµ; e = Y ¡ Y .

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценка дисперсии ошибок находится поb формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 =

 

eT e

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ¡ (k + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

среднее значение переменной Y , тогда в качестве матрицы y рассмотрим

 

Y

 

 

 

0 Y2

¡ Y

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y1

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B Yn

¡...

 

Y

C

 

 

 

 

 

 

матрицу y = B

 

 

C - матрицу отклонений переменной Y от своего среднего.

 

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

Множественный@ ¡

 

коэффициентA

детерминации R2 вычисляется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

= 1 ¡

eT e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yT y

 

 

и он показывает какую долю изменения переменной Y показывают изменения всех переменных X, действующих в совокупности.

Частные коэффициенты эластичности находятся по формулам

b Xi

EY=Xi = µi Y

и он показывает на сколько процентов изменится в среднем значение переменной Y , если значение переменной Xi изменится в среднем на 1%, при условии, что все остальные переменные X остались без изменения.

Частные бета коэффициенты находятся по формулам

b ¾(Xi) ¯Y=Xi = µi ¾(Y ) :

3

4

он показывает на какую часть своего средне квадратического отклонения изменится разброс переменной Y , если разброс переменной Xi изменится на величину своего средне квадратического отклонения, при условии, что все остальные переменные X остались без изменения.

Проверка адекватности построенного уравнения проводится с помощью F теста проверки гипотезы H0 : µ1 = µ2 = : : : = µk = 0. Расчетное значение F теста находится по формуле

F =

R2

n ¡ (k + 1)

 

1 ¡ R2

¢

k

которое сравнивается с критическим

Fkp = F®(k; n ¡ (k + 1));

- критическая точка распределения Фишера, отвечающая уровню значимости ® и степеням свободы k и n ¡ (k + 1). Если расчетное значение больше критического, то гипотеза H0 : µ1 = µ2 = : : : = µk = 0 отвергается и построенное уравнение можно считать адекватным изучаемому процессу, в противном случае гипотеза принимается и уравнение нельзя считать адекватным изучаемому процессу.

Оценка матрицы ковариаций оценок параметров регрессии находится по формуле

 

 

 

D[(µ) = S2¡XT X¢¡1

 

2

 

 

b

[

Пусть Si

это i - й диагональный элемент матрицы D(µ) считая с нулевого, тогда

доверительные интервалы параметров регрессии находятся

по формулам

b

 

µi

:

¡µi ¡ Si ¢ t®(n ¡ (k + 1)); µi + Si ¢ t®(n ¡ (k + 1))¢;

 

 

 

b

b

 

где t®(n ¡ (k + 1)) критическая точка распределения Стьюдента, отвечающая уровню значимости ® и n ¡ (k + 1) степеням свободы (область двусторонняя).

Наличие мультиколлинеарности можно определить с помощью парных коэффициентов корреляции, вычисляемых по формулам

r¡Xi; Xj¢ = XiX¡ j ¡¢ X¡i ¢ X¢ j : ¾ Xi ¾ Xj

Если ¯¯¯r¡Xi; Xj¢¯¯¯ > 0;7, то в модели присутствует тесная корреляционная связь между

переменными Xi и Xj, и следовательно, в модели присутствует явление мультиколлинеарности. В следствии чего модель становится неустойчивой.

2.3Введение в анализ временных рядов

Временным рядом называется последовательность значений изучаемого показателя, записанная в хронологическом порядке y1; y2; : : : ; yn, yi - i -й уровень временного ряда.

Трендом называют глобальное изменение изучаемого показателя.

Метод Фостера-Стъюарта определения наличия тренда.

Реализуется в два этапа:

1) На первом этапе каждый уровень, начиная со второго сравнивается со всеми предыдущими, при этом определяются две последовательности чисел fktg; fltg по следующему правилу

kt = ½

1;

если yt больше всех предыдущих

 

 

; t = 2; n

0;

в противном случае

lt = ½

1;

если yt меньше всех предыдущих

 

 

; t = 2; n

0;

в противном случае

 

Вычисляется сумма

 

n

 

 

 

 

 

 

¡

¢

 

 

 

 

Xt

 

 

 

 

g =

kt

+ lt

 

 

 

 

=2

 

 

 

 

характеризующая изменение ряда и принимающая значения от 0(все уровни ряда равны между собой) до n ¡ 1(ряд монотонный).

2) Проверяется выполнение гипотезы H0 : g = ¹,с помощью статистики Стьюдента. Здесь ¹ - теоретический аналог суммы g рассчитанной для временного ряда, в котором уровни расположены случайным образом (отсутствие тренда). Вычисляется расчетное

значение статистики

t = jg ¡ ¹j;

¾

которое сравнивается с критическим

tkp = t®(n ¡ 2):

Если расчетное значение меньше критического, то гипотеза H0 принимается и в рассматриваемом ряду тренда нет. В противном случае тренд есть. Для удобства значения ¹; ¾ табулированы. Таблица некоторых значений ¹; ¾

n

10

20

30

40

¹

3,858

5,195

5,990

6,557

¾

1,288

1,677

1,882

2,019

Сглаживание временных рядов

После выяснения наличия тренда в рассматриваемом ряду необходимо установить вид этой тенденции. Одним из наиболее простых способов установки вида тренда является сглаживание ряда. Сглаженные уровни будем обозначать через yt0.

Метод простой скользящей средней.

Пусть дан временной ряд y1; y2; : : : ; yn. Определяется m длина интервала сглаживания. В случаях, когда необходимо выровнять мелкие колебания величина интервала берется большой, при необходимости сохранения малых колебаний величину интервала сглаживания уменьшают. Как правила величина интервала берется нечетным числом. Для первых m уровней вычисляется их средняя арифметическая, полученный результат будет выровненное значение уровня, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал выравнивания сдвигается на один уровень вправо и т.д. Пусть m = 2p + 1, тогда

Xt+p

yt0 = m1 k=t¡p yk:

В результате такой процедуры теряются первые p и последние p уровней ряда.

Метод экспоненциального сглаживания. В отличие от предыдущего метода, в нахождении сглаженных уровней используются только предыдущие уровни с определенным весом, причем по мере удаления от уровня сглаживания веса предыдущих уровней уменьшаются. формула, определяющая выровненные уровни

yt0 = ®yt + (1 ¡ ®)yt0¡1;

при ® этом называют параметром сглаживания.

5

На основе построенных: исходного, сглаженных рядов можно сделать предварительный вывод о виде трендовой модели.

Определения параметров модели с помощью МНК метода

Для модели вида yt = ao + a1t - полинома первой степени система нормальных уравнений для определения оценок параметров имеет вид

½na0 + a1 Pt = Pyt

a0 Pt + a1 Pt2 = P(tyt)

Для модели вида yt = ao + a1t + a2t2 - полинома второй степени система нормальных

уравнений для определения оценок параметров имеет вид

 

8

 

0

 

+ P1

 

 

 

+P2

 

P

 

t

 

na0 + a1

t + a2

 

t2

=

 

yt

 

 

a

 

P

t a

P

t2

 

a

P

 

P

 

:

 

 

P

 

P

 

 

 

 

P

 

P

 

< a0

 

t2 + a1

 

t3

+ a2

 

t4 = (t2yt)

Для модели вида yt = abt - экспоненциальной кривой система нормальных уравнений для определения оценок параметров имеет вид

½n ln a + ln b ¢ Pt = Pln(yt)

ln a ¢ Pt + lg b ¢ Pt2 = P(t ln(yt))

Решая соответствующую систему получаем оценки неизвестных параметров.

3Примеры решения (выполнения) задач (заданий) контрольной работы

Задание 1. Линейная парная регрессия Производится исследование зависимости производительности труда (изд/час. на человека) от количества вложенных средств на рабочего (тыс. руб.). Получены данные для 10 предприятий. Данные приведены в таблице.

Количество влож. средств

3,75

5

6,25

6,25

6,25

6,25

7,5

8,75

18,75

25

Производительность труда

3

4

5

5,63

6

6,13

6,88

8,13

15,13

18,88

Найти уравнение линейной парной регрессии производительности труда на количество вложенных средств. Найти дисперсии оценок параметров регрессии. Найти коэффициент детерминации, эластичности, бета коэффициент и объяснить эти коэффициенты в терминах задачи. Проверить адекватность построенного уравнения с помощью F теста на уровне значимости 5%. Найти 95% доверительные интервалы для параметров регрессии. Найти прогнозируемую производительность труда для предприятия, с количеством вложенных средств на рабочего, равным 12 тысячам рублей.

Решение. По смыслу задачи роль переменной X будет играть количество вложенных

средств, роль переменной

Y

будет играть производительность труда. Будем строить

^

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение регрессии Y = µ0

+ µ1X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим необходимые средние величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = 9;375; Y = 7;878; X2 = 130;469;

Y 2 = 85;408; XY = 105;193:

Вычисляя оценки параметров по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ^

 

XY ¡ X ¢ Y

; µ^

 

 

¡

µ^

¢

 

 

 

 

 

 

 

=

= Y

X;

 

 

 

 

 

 

 

¡ ¡

 

¢2

 

 

 

 

 

1

 

 

X2

X

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

6

^

^

= 0;978. В результате искомое уравнение регрессии примет вид

получим, µ1 = 0;736;

µ0

Y = 0;978 + 0;736X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находя прогнозируемые значения переменной Y и соответствующие остатки регрессии

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei = Yi ¡ Yi, получим, что ei2 = 2;822 и e2 = 0;2822.

 

Оценка дисперсии

ошибок регрессии равна

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 =

 

 

 

 

i

= 0;353:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ ¡X

 

¢2 = 42;578

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

=

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ Y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= Y

= 23;345:

 

Тогда оценки дисперсии параметров

регрессии равны

 

 

 

¡ ¢

 

 

 

 

S2 =

S2 ¢

X2

= 0;108167;

 

S2

=

S2

= 0;000829;

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

n ¢ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n ¢ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим коэффициент детерминации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 = 1 ¡

e2

 

= 0;988;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

это показывает, что изменение производительности труда на 98;8% объясняется изменением количества вложенных средств на одного рабочего.

Вычислим коэффициент эластичности

b X

EY=X = µ1 Y = 0;875;

это показывает, что при изменении количества вложенных средств на одного рабочего в среднем на 1%, производительность труда изменится в среднем на 0;875%

 

Найдем средне квадратические отклонения переменных находятся по формулам ¾(X) =

p

 

= 6;53; ¾(Y ) = q

 

 

= 4;83. Тогда бета коэффициент равен

 

 

 

x2

 

y2

¯

µ

¾(X)

= 0

;

99

;

 

 

 

 

 

 

 

Y=X = b1 ¾(Y )

 

 

это показывает, что при изменении разброса вложенных средств на одного рабочего на 6,53 тысяч рублей разброс производительности труда изменится на 0,99 от 4,83, то есть на 0;99 ¢ 4;83 = 4;78 единиц.

Проверка адекватности построенного уравнения проведем с помощью F теста проверки гипотезы H0 : µ1 = 0 на уровне значимости ® = 0;05. Расчетное значение F теста равно

R2

F = 1 ¡ R2 (n ¡ 2) = 658;67

критическое

Fkp = F0;05(1; 8) = 5;32:

расчетное значение больше критического, следовательно гипотеза H0 : µ1 = 0 отвергается и уравнение можно признать адекватным изучаемому процессу.

7

Найдем 95% доверительные интервалы для параметров регрессии. t0;05(8) = 2;31; S0 = 0;329; S1 = 0;029. Тогда доверительные интервалы примут вид

µ1 : (0;669; 0;803); µ0 : (0;218; 1;738):

Найдем прогнозируемую производительность труда для предприятия, с количеством вложенных средств на рабочего, равным 12 тысячам рублей Y (12) = 0;978+0;736¢12 = 9;81 единиц.

Задание 2. Линейная множественная регрессия Имеются данные о средней производительности труда (дет/час), средней доли содержании брака и себестоимостью продукции (руб/дет) для 7 однотипных предприятий. Данные представлены в таблице

Производительность труда

14,9

15,9

16,7

17,8

19,8

17,7

16,8

Доля содержания брака

16,9

16,1

17,1

10,9

10,1

10,6

15,2

Себестоимость продукции

21,6

21,7

22,4

20,5

20,9

20,4

21,6

Составить уравнение линейной регрессии себестоимости продукции от производительности труда и доли содержания брака. Найти коэффициент детерминации, частные коэффициенты эластичности, частные бета коэффициенты и объяснить их в терминах задачи. С помощью F теста проверить адекватность построенной модели. Найти 95% доверительные интервалы. Проверить наличие в модели явления мультиколлинеарности.

Решение. Искомое уравнение имеет вид Y = µ0 + µ1X1 + µ2X2. По смыслу задания имеем, что Y - себестоимость продукции, X1 - производительность труда, X2 - доля содержания брака.n = 7; k = 2. Введем в рассмотрение матрицы

 

0 21;7 1

 

 

 

 

 

0 1

15;9 16;1 1

 

B

21;6

C

 

0

 

1

 

B

1

14;9 19;9

C

 

B 20;9

C

 

 

µ

 

 

B 1

19;8 10;1 C

 

B

22;4

C

 

@

µ0

A

 

B

1

16;7

17;1

C

Y =

B

20;4

C

; µ =

µ1

; X =

B

1

17;7

10;6

C

B

20;5

C

 

 

B

1

17;8

10;9

C

 

B

21;6

C

 

 

 

 

 

B

1

16;8

15;2

C

 

B

C

 

 

 

 

 

B

C

 

B

 

C

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

@

 

A

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

Тогда матрица XT X примет вид

 

 

 

 

 

 

0

 

7

119;6 96;6

1

 

 

 

 

 

XT X =

119;6

2058;12 1630;35

;

 

 

обратная к ней равна

 

 

 

 

 

@

 

96;6

1630;35 1401;45

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XT X

¢

¡

1

 

0

132;830160 ¡5;653664

¡2;607715

1

 

 

=

5;653664

0;246830

0;103764

;

¡

 

 

 

@

¡2;607715

0;103764

0;060267

A

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда оценка вектора параметров модели примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

¡1XT Y = 0

10;268648

1

 

 

 

 

 

µ =

XT X

0;355061

:

 

 

 

 

b

 

¡

 

 

@

0;358661

A

 

 

 

В результате искомое уравнение имеет вид Y = 10;268648 + 0;355061X1 + 0;358661X2.

8

 

Найдем векторы прогноза и остатков регрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

21;551616

1

 

0

0;048384

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21;667176

 

0;032824

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

22;461249

C

 

B

¡0;061249

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y =

B

20;312363

C

; e =

B

0;187637

C

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

20;885739

C

 

B

0;014261

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

B

¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

20;138235

A

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

C

 

B

0;261765

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

21;694173

C

 

B

 

0;094173

C

 

 

 

 

Отсюда находим, что eT e

= 0;119970, и оценка дисперсии ошибок регрессии равна

S2 =

 

eT e

 

= 0;029993.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7¡(2+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находя средние величины каждой переменной, получим

Y

= 21;3; X1 = 17;085714;

X2

= 13;842857.

 

 

 

0

0;4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0;3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

¡0;4

 

yT y = 3;16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = B

10;1;8

C:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡0;9

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

 

примет вид,

 

 

B

C

Тогда

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0;3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя коэффициент

детерминации, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 = 1 ¡ eT e = 0;99; yT y

это показывает, что изменение себестоимости продукции на 99% зависит от изменения производительности труда и доли содержания брака, действующих в совокупности.

Находя частные коэффициенты эластичности, получим:

b X1

EY=X1 = µ1 Y = 0;285

это показывает, что при изменении производительности труда на 1 % (при неизменной доле брака) себестоимость продукции изменится на 0,285%.

b X2

EY=X2 = µ2 Y = 0;233

это показывает, что при изменении доли содержания брака 1 % (при неизменной производительности труда) себестоимость продукции изменится на 0,233%.

Находя средне квадратические отклонения переменных получим ¾(Y ) = 0;671884;

¾(X1) = 1;447587; ¾(X2) = 2;929582. Частные бета коэффициенты:

b ¾(X1)

¯Y=X1 = µ1 ¾(Y ) = 0;765

это показывает, что при изменении разброса производительности труда на 1,448 единицы (при неизменной доле брака) разброс себестоимости изменится на 0,765 от 0,672, то есть на 0;765 ¢ 0;672 = 0;514 ден.ед.

b ¾(X2)

¯Y=X2 = µ2 ¾(Y ) = 1;564

9