Лабораторные работы / Работа 31 - Отчет - 2006 / Лабораторная работа31_v1
.2.docЛабораторная работа №31.
Исследование электростатического поля методом электролитической ванны.
Цель работы: экспериментальное изучение электростатического поля цилиндрического конденсатора на модели; подтверждение справедливости теоремы Остроградского-Гаусса.
Введение: Как известно, электростатическое поле в каждой точке характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью и потенциалом . Между этими характеристиками существует связь
, где (1)
(2)
Градиент функции (x,y,z) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длинна, равна производной функции в том же направлении. Поскольку функция возрастает наиболее быстро в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности то формулу (2) можно записать:
(3)
Где n – единичный вектор нормали.
Таким образом, формула (1) показывает, что вектор напряженности электростатического поля в каждой его точке численно равен быстроте изменения потенциала вдоль силовой линии и направлен в сторону убывания потенциала (знак минус). Графически электростатическое поле можно представить либо с помощью силовых линий, либо с помощью эквипотенциальных поверхностей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны.
Изучить электростатическое поле – это значит определить в каждой точке поля значение вектора или скаляра . Формула (1) позволяет определить в любой точке, если выражение для потенциала задается аналитически. Однако теоретический расчет и возможен лишь в случае полей, создаваемых электродами простых конфигураций. Сложные электростатические поля, которые имеют место в электронных приборах, как правило, исследуется экспериментально. Для этого достаточно определить положение эквипотенциальных поверхностей в поле. Если и - потенциалы двух близких эквипотенциальных поверхностей, а - расстояние, отсчитанное по нормали к эквипотенциальным поверхностям (рис. 1), то среднее значение напряженности на участке определиться по формуле:
(4)
В случае полей, обладающих центральной или осевой симметрией:
(5)
(6)
Для измерения потенциалов используют метод зонда. Электрический зонд представляет собой небольшой остроконечный проводник. Который помещается в ту точку поля, где нужно измерить потенциал. Изучение электростатического поля методом зонда трудно осуществимо.
Поэтому для измерений широко используют метод электролитической ванны. Сущность метода заключается в следующем: если потенциалы электродов поддерживать постоянным, а пространство между ними заполнить слабопроводящей жидкостью, то распределение потенциалов в электрическом поле постоянного тока будет тождественным распределению потенциалов между теми же электродами.
Электрическое поле стационарных токов есть поле потенциальное.
Поэтому вектор напряженности такого поля может быть выражен через градиент потенциала с помощью соотношения (1). Из закона Ома в дифференциальной форме.
(где - плотность тока, - удельная электропроводность) следует, что линии напряженности совпадают с линиями тока.
Указанная замена изучения полей неподвижных зарядов изучением поля стационарных токов дает большие экспериментальные преимущества :
1)При введении в проводящую среду металлического зонда происходит автоматическое выравнивание потенциалов зонда и той точки поля, в которую введен зонд;
2)Зонд соединяется с токоизмерительными приборами, а не с электростатической аппаратурой, которая всегда менее надежна в работе чем токовые приборы.
Согласно теореме Осроградского–Гаусса, поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на . Математическая запись теоремы Осроградского-Гауса выглядит так:
(9)
Для поля конденсатора в силу осевой симметрии поток вектора напряженности через любую эквипотенциальную цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h есть величина постоянная, равнвя:
Для плоского поля должна сохраняться постоянной величина С, пропорциональная потоку Ф:
Неизменность С можно рассматривать как косвенное подтверждение справедливости теоремы Осроградского–Гаусса.
Приборы и материалы: источник питания – звуковой генератор, измерительный прибор – ламповый вольтметр с зондом, электролитическая ванна, два металлических электрода, стеклянная пластина, соединительные провода.
Схема установки дана на рис.3:
Экспериментальная часть:
№ |
ri, м |
φi1 |
φi2 |
φi3 |
φi4 |
φi(cp) |
ln r |
1 |
0,04 |
5,45 |
5,44 |
5,62 |
5,58 |
5,5225 |
-3,21888 |
2 |
0,05 |
4,52 |
4,85 |
4,95 |
4,75 |
4,7675 |
-2,99573 |
3 |
0,06 |
3,78 |
4,09 |
4,22 |
3,97 |
4,015 |
-2,81341 |
4 |
0,07 |
3,15 |
3,43 |
3,61 |
3,35 |
3,385 |
-2,65926 |
5 |
0,08 |
2,61 |
2,86 |
3,05 |
2,79 |
2,8275 |
-2,52573 |
6 |
0,09 |
2,18 |
2,36 |
2,50 |
2,33 |
2,3425 |
-2,40795 |
7 |
0,1 |
1,76 |
1,92 |
2,08 |
1,90 |
1,915 |
-2,30259 |
8 |
0,11 |
1,40 |
1,49 |
1,64 |
1,50 |
1,5075 |
-2,12026 |
9 |
0,12 |
1,03 |
1,11 |
1,24 |
1,11 |
1,1225 |
-2,04022 |
10 |
0,13 |
0,70 |
0,77 |
0,84 |
0,75 |
0,765 |
-1,96611 |
Расчеты:
1.
№ |
Δφ1 |
Δφ2 |
Δφ3 |
Δφ4 |
φi(cp) |
5 |
0,2175 |
-0,0325 |
-0,2225 |
0,0375 |
2,8275 |
6 |
0,1625 |
-0,0175 |
-0,1575 |
0,0125 |
2,3425 |
2.
3. , где
, , ,
4.
5.
6.
7.
№ |
, м |
, м-1 |
, В/м |
, В |
1 |
0,045 |
22,22222 |
75,5 |
3,3975 |
2 |
0,055 |
18,18182 |
75,25 |
4,13875 |
3 |
0,065 |
15,38462 |
63 |
4,095 |
4 |
0,075 |
13,33333 |
55,75 |
4,18125 |
5 |
0,085 |
11,76471 |
48,5 |
4,1225 |
6 |
0,095 |
10,52632 |
42,75 |
4,06125 |
7 |
0,11 |
9,090909 |
20,375 |
2,24125 |
8 |
0,125 |
8 |
38,5 |
4,8125 |
9 |
0,135 |
7,407407 |
35,75 |
4,82625 |
Вывод: Таким образом, мы экспериментально изучили электростатическое поле цилиндрического конденсатора на модели; подтвердили справедливость теоремы Остроградского-Гаусса