Метрологія / КонЛекМетр / TEMA_9

ТЕМА9 : МЕТОДИ ОДЕРЖАННЯ ГРАФІЧНИХ ТА АНАЛІТИЧНИХ

ЗАЛЕЖНОСТЕЙ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ВИМІРЮВАНЬ

Побудова графічних залежностей

Для побудови графічної залежності будемо розглядати результати однофакторних експериментiв. Однофакторним називається експеримент, коли величина Y, що керується, пов’язана із однією незалежною змінною Х функціональною залежністю виду Y = f (X).

Нехай маємо результати експерименту вигляду:

Недолiками данних результатiв є те, що як Xі , так i Yі пiдпадають пiд вплив випадкових похибок, до того ж i X i Y визначенi через промiжки. Тому для забезпечення можливості визначення значень Y у всьому диапазоні вимірювань аргумента Х будуються експериментальні графіки, які відбивають неперервну функцію Y = f (X) з заданою точністю.

Потрiбно одним з методiв побудувати графiчну залежнiсть, яка найбiльш точно вiдповiдає результатам експерименту.

I. Метод рiвних вiдрiзкiв.

За цим методом на координатну площину наносяться точки Хі, Yi у відповідності із результатами експерименту. Потім одержані точки з’єднують прямими лініями; виходить ломана лінія. Крива (або пряма графіку) проводиться таким чином, щоб сума вiдрiзкiв ломаної лiнiї, розташованої вище кривої, дорівнювала б сумi вiдрiзкiв, якi розташованi нижче кривої.

II. Метод прямокутникiв.

Спочатку наносяться точки Хі, Yi, як і у першому випадку, але біля кожної точки будується прямокутник із сторонами 2_x та 2_y – середньоквадратичні похибки результата вимірювань значень Хі та Yi. Крива повинна торкнутись, або пройти через усі прямокутники. Таким чином, вiдстань вiд кривоi до точки не перевищить величину середньоквадратичного вiдхилення.

III. Метод наймєньших квадратiв.

Цей метод найбiльш точний, легко програмується. По цьому методу операції, які пов’язані із нанесенням експериментальних точок Хі, Yi на поле графіка, залишаються тими ж самими, але результуюча крива проводиться на кресленні так, щоб дотримуватись рівності:

,

де _i – ординати вiдхилень вiд точки до кривої y = f (x).

Одержання аналiтичних залежностей по побудованих

графiках

Побудований графiк тiльки припускає вид зв'язку мiж X та Y; це може бути пряма, парабола, гiпербола i т.і. Потрiбно визначити вид залежностi та оптiмальнi коефiцiенти, якi зв'язують X та Y.

Розглянемо техніку одержання аналітичних залежностей по експериментальним даним.

Припустимо, що залежнiсть мае вигляд прямої виду

у = А + Вх.

Складемо систему рiвнянь :

Якби не було жодної похибки вимірювань, то всі залишкові рiзниці _n дорівнювали б нулю:

Тоді для запису аналітичного виразу було б достатньо двох точок, наприклад (Х₁,Y₁) та (X₂,Y₂). Але _n  0, тому необхідно використовувати усі дані.

Застосовуючи принцип Лежандра, можна стверджувати, що найбільш певним буде рівняння Y = f (X) із тими значеннями А та В, для якого справедлива рівність:

Тут A, B – змiннi, так як iз нескiнченої кiлькостi А i В треба визначити оптiмальнi. Для обчислення А i В вирiшуємо систему:

Беремо частковi похiднi по А i В. Обчислив систему, одержимо оптiмальнi коефіцієнти Ао i Bо.

Пiсля цього розраховуються залишковi рiзницi:

.

По значенням та знакам оi міркують про прийнятність припущеного спочатку виду функції Y = f (X), користуючись наступними правилами:

1) Якщо всi залишковi рiзницi оi меньше нiж задана похибка Д, то одержаний вираз вважається припустимим.

2) Якщо окремi оi бiльше нiж Д, але при цьому знаки чергуються, то одержана залежність вважається припустимою.

3) Якщо окремi оi бiльше нiж Д, а знаки чергуються групами, то необхідно збільшити порядок даної функціональної залежності.

4) Якщо усi оi бiльше нiж Д, то необхiдно розглянути питання про нову функцiональну залежнiсть.