Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

2.6. Рівняння площини, що		проходить через точки A(1;2;3), B(0; 1;3),
C(1;0;0) , має вигляд:
			x 1	y 2	z 3
	А		1	3	0		0
			0	2	3
			x 1	y 2	z 3
	Б		1	3	0		0
			0	2	3
			x 1	y 2	z 3
	В		1	3	0		0
			0	2	3
			x 1	y 2	z 3
	Г		1	3	0		0
			0	2	3
			x 1	y 2	z 3		0
	Д		1	1	6
			2	2	3

Якщо площина проходить через точки М1 (x1; y1; z1), M2 (x2 ; y2 ; z3 ), M3 (x3; y3; z3 ), які не лежать на одній прямій, то її рівняння має вигляд

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0. z3 z1

2.7. Серед наведених пар площин оберіть паралельні:

А

Б

В

Г

Д

x y 3z 2

9x 6 y 3z 2

x y z 2

3x y 2z 2

9x 6 y 3z 1

x z 3y 0

3x 2z y 2

x z y 0

6x 2z 4 y 0

6x 2z 4 y 0

Ознакою

паралельності

площин

A1x B1 y C1z D1 0

та

A x B y C z D 0 є співвідношення

A1

B1

C1

D1

.

2

2

2

2

A2

B2 C2

D2

33

2.8. Серед наведених пар площин оберіть перпендикулярні:

А

Б

В

Г

Д

x y 2z 2

x y z 4 0

6x y 3z 2

x y 2z 2

x 6z 2

x z y 0

4x y z 1 0

x z 3y 0

x y 2z 0

6x y 0

Ознакою

перпендикулярності

площин

A1x B1 y C1z D1 0

та

A2 x B2 y C2 z D2 0

є співвідношення A1 A2 B1B2

C1C2

0.

2.9. Косинус кута між площинами

6x y 3z 2 0, x z 3y 1 0

обчислюється за формулою:

А

6 3 4 2

36

1 9 1 1

9

Б

6 3 4

36

1 9 1 1

9

В

6 3 4

36

1 9 1 1

9

Г

6 3 4

36

1 9 1 1

9

Д

6 3 4

36

1 9 1 1

9

Косинус кута між площинами A1x B1 y C1z D1

0 та

A2 x B2 y C2 z D2

0

обчислюється за формулою cos

A1 A2 B1B2 C1C2

.

A2

B2

C2

A2 B2

C2

1

1

1

2

2

2

2.10. Відстань від точки А( 1;0;2)

до площини x y 2z 2 обчислюється

за формулою:

А

Б

В

Г

Д

1 4 2

1 4 2

1 4

1 4 2

1 4

1 1 4

1 1 4

1 1 4

1 1 4

1 1 4

Відстань

від

точки M0 (x0 ; y0 ; z0 )

до

площини

Ax By Cz D 0

обчислюється за формулою d

Ax0 By0 Cz0

D

.

A2

B2

C2

34

Учимося розв’язувати типові задачі

2.11. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку M0 (1; 3;2) і має нормальний вектор n 4;2; 3 .

Хід розв’язання.

Крок 1. Запишіть рівняння площини, яка проходить через точку M0 (1; 3;2) з нормальним вектором n 4;2; 3 .

Рівняння площини, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) з нормальним вектором n A; B;C , має вигляд A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

Крок 2. Розкрийте дужки та приведіть рівняння до вигляду загального рівняння площини.

Загальне рівняння площини має вигляд A x B y Cz D 0 .

Відповідь: 4x 2y 3z 8 0 .

2.12. Задано дві точки M1(2; 4;3) і M2 (3; 2; 4) . Складіть рівняння площини, що проходить через точку M1 , перпендикулярно до вектора

M1M2 .

Хід розв’язання.

35

Крок 1. Знайдіть координати вектора M1M2 .

M1M2

Скористайтесь тим, що в разі, коли відомо координати початку A(x1, y1, z1 ) та

кінця B(x2 , y2 , z2 ) вектора AB , його координати знаходять за формулою

AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 .

Тобто, M1M2 1;2; 7 .

Крок 2. Запишіть рівняння площини, що проходить через точку M1(2; 4;3) з нормальним вектором M1M2 1;2; 7 .

Рівняння площини, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) з нормальним вектором n A; B;C , має вигляд A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

Крок 3. Розкрийте дужки та приведіть рівняння до вигляду загального рівняння площини.

Загальне рівняння площини має вигляд A x B y Cz D 0 .

Відповідь: x 2y 7z 27 0 .

2.13. Складіть рівняння площини, що проходить через точку M1(1; 2; 3) паралельно векторам a1 0;2;3 , a2 2;1;4 .

Хід розв’язання.

Крок 1. Так як вектори a1, a2 паралельні площині, то їх векторний

добуток буде перпендикулярним площині. Знайдіть векторний добуток векторів n a1 a2 .

36

i j k

n a1 a2 ... ... ...

... ... ...

Якщо вектори a ax ; ay ; az і b bx ; by ; bz задано своїми координатами, то їхній векторний добуток обчислюється за формулою:

				i		j		k
a b				ax	ay			az
				bx	by			bz

Для обчислення визначника скористайтесь теоремою Лапласа.

Крок 2. Отже, n a1 a2 5i 6 j 4k . Знайдіть координати вектора

n .

Скористайтесь тим, що векторну рівність a ax i ay j az k у символічній формі записують так a ax ; ay ; az .

Крок 3.Запишіть рівняння площини, яка проходить через точку M1(1; 2; 3) з нормальним вектором n 5; 6;4 .

Рівняння площини, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 )	з нормальним
вектором n A; B;C має вигляд A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .
Крок 4.Розкрийте дужки та приведіть рівняння	до вигляду
загального рівняння площини.

37

Загальне рівняння площини має вигляд A x B y Cz D 0 .

Відповідь: 5x 6y 4z 5 0 .

2.14. Складіть рівняння площини, що проходить через три задані точки

A(1; 1;0), B(2;1; 1), C(1; 1; 2) .

Хід розв’язання.

Крок 1.Запишіть рівняння площини, яка проходить через три задані точки A(1; 1;0), B(2;1; 1), C(1; 1; 2) .

	x 1	y 1	z 0
	... 1	... 1	... 0		0	...
	... 1	... 1	... 0

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки M1 (x1; y1; z1 ) , M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M3 (x3; y3; z3 ) , що не лежать на одній прямій, має вигляд:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0 . z3 z1

Крок 2. Обчисліть визначник.

Для обчислення визначника скористайтесь теоремою Лапласа.

Відповідь: 2x y 3 0.

38

2.15. Складіть рівняння площини, що проходить через точку M0 (2;4; 3)

паралельно площині xOz .

Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтеся тим, що орт j буде перпендикулярним до шуканої площини, тому його можна взяти в якості нормального вектора. Запишіть координати вектора-орта j .

j

Скористайтесь означенням орта j для вектора.

Крок 2. Запишіть рівняння площини, що проходить через точку M0 (2;4; 3) з нормальним вектором n j 0;1;0 .

Рівняння площини, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) з нормальним вектором n A; B;C , має вигляд A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

Крок 3. Розкрийте дужки та приведіть рівняння до вигляду загального рівняння площини.

Загальне рівняння площини має вигляд A x B y Cz D 0 .

Відповідь: y 4 0 або y 4 .

2.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Oz і точку

A(2; 1;3) .

Хід розв’язання.

39

Крок 1. Скористайтесь тим, що коли площина проходить через вісь Oz , то вона проходить через початок координат O(0;0;0) та точку В(0;0;1),

які належать осі Oz. Складіть рвняння площини, що проходить через три точки A, B,O.

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки M1 (x1; y1; z1 ) , M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M3 (x3; y3; z3 ) , що не лежать на одній прямій, має вигляд:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0 . z3 z1

Відповідь: x 2 y 0 .

2.17. Обчисліть об’єм піраміди, яку відтинає площина 2x 3y 6z 12 0 від координатного кута.

Хід розв’язання.

Крок 1.Запишіть рівняння площини 2x 3y 6z 12 0 у вигляді

рівняння площини у відрізках на осях. Для цього перенесіть у праву частину вільний член і поділіть на нього обидві частини рівняння.

2x 3y 6z 12

...x ...y ...z 1

40

Рівняння площини у відрізках на осях має вигляд ax by cz 1 ,

відрізки, які відтинає площина на осях Ox,Oy,Oz відповідно.

Отже, a 6, b 4, c 2 .

Крок 2. Побудуйте площину за її рівнянням на осях 6x 4y 2z

де a,b, c –

1.

	Рівняння площини у відрізках на осях має вигляд	x		y		z	1 , де	(a;0;0),
		a		b		c

(0;b;0), (0;0;c) – координати точок перетину площини з осями Ox,Oy,Oz відповідно.

Крок 3. Знайдіть об’єм	прямокутної	піраміди з вимірами
a 6, b 4, c 2 . Скористайтесь	тим, що в	основі піраміди лежить
прямокутний трикутник із катетами a 6, b 4 ,		а її висота дорівнює c 2 .

Об’єм піраміди обчислюється за формулою V 13 Sосн H , де у нашому випадку

S – це площа прямокутного трикутника і Sосн 12 a b , а висота H c .

Відповідь: V 8 куб. од.

2.18. Обчисліть висоту hs піраміди з вершинами S(0;6;4), A(3;5;3),

B( 2;11; 5) та C(1; 1;1) .

Хід розв’язання.

41

Крок 1. Висоту hs піраміди SABC – висота, проведена з вершини S.

Знайдемо її, як відстань від точки S до площини, яка проходить через точки A, B,C . Запишіть рівняння площини, яка проходить через три задані точки A(3;5;3), B( 2;11; 5), C(1; 1;1).

	x 3	y 5	z 3
	... 3	... 5	... 3		0	...
	... 3	... 5	... 3

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки M1 (x1; y1; z1 ) , M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M3 (x3; y3; z3 ) , що не лежать на одній прямій, має вигляд:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0 . z3 z1

Крок 2. Обчисліть визначник.

Для обчислення визначника скористайтесь теоремою Лапласа.

Отже, рівняння площини, що проходить через точки A, B,C має вигляд

10x y 7z 4 0 .

Крок 3. Знайдіть довжину висоти hs піраміди SABC , як відстань від точки S(0;6;4) до площини 10x y 7z 4 0 .

hS

42