АиГ2015-2016 / Методические пособия / СРС _Реутова

Міністерство освіти і науки України Державний вищий навчальний заклад Приазовський державний технічний університет Факультет інформаційних технологій Кафедра вищої математики

Затверджую:

Перший проректор ПДТУ

_________В.М. Євченко

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до самостійної роботи з навчальної дисципліни

«Алгебра і геометрія»

напрям підготовки: 0403 – Прикладна математика; спеціальність: 6.040301 – Прикладна математика,

ОКР «бакалавр»

Укладач

ст.викл., канд. пед. наук

_________І.М. Реутова

Схвалено:

на засіданні кафедри ВМ

« 17 » 06.2010 р., протокол № 16

Зав. кафедри, доц., канд. ф.-м. наук

___________________Г.Г. Буланчук

Погоджено:

Навчально-методичною комісією факультету

« 01 » 09.2010 р., протокол № 1

Декан факультету доц., канд. ек. наук

___________________М.В. Верескун

Маріуполь, 2010 р.

ВСТУП

Курс «Алгебра і геометрія» читається студентам першого курсу спеціальності «Прикладна математика» як одна з профільних дисциплін. Вивчення цього курсу

суттєво розширює знання студентів про методи вивчення геометричних об’єктів саме завдяки опануванню аналітичного методу, що полягає у послідовному застосуванні алгебри до вивчення різних геометричних образів. З іншого боку, цей курс вводить студентів у світ сучасної математики, знайомлячи їх з основами теорії скінченновимірних просторів, лінійних операторів, функціоналів, які дістануть подальшого розвитку і продовження в функціональному аналізі, теорії диференціальних рівнянь та інших загальних та спеціальних курсах. Важливою задачею курсу є також ознайомлення з основними алгебраїчними структурами: групою, кільцем, полем, лінійним простором. У подальшому ці алгебраїчні структури та їх перетворення знаходять численні застосування в економіці, теорії управління, кібернетиці, фінансовій математиці, екологічному та соціальному моделюванні і т.п.

МЕТА ТА ЗАДАЧІ ДИСЦИПЛІНИ

Мета вивчення даного курсу – формування у студентів фундаментальних понять алгебраїчного та геометричного характеру, а також умінь застосування цих понять до розв'язання практичних задач.

Прослухавши курс «Алгебра і геометрія», студент повинен знати:

−методи дослідження систем лінійних рівнянь;

−властивості алгебри матриць;

−поняття та геометричне тлумачення векторного та мішаного добутку;

−основні типи рівнянь прямої та площини;

−формули, що визначають дії над комплексними числами;

−основні результати алгебри многочленів;

−початкові поняття та теореми лінійної алгебри;

−основні результати теорії евклідових просторів;

−найважливіші означення та теореми теорії лінійних опереаторів та теорії квадратичних форм;

−канонічні рівняння кривих та поверхонь другого порядку.

Прослухавши курс, студент повинен вміти:

−розв'язувати системи лінійних рівнянь за правилом Крамера та методом Гаусса;

−обчислювати визначники шляхом зведення до трикутного вигляду та шляхом розкладанням за рядком (стовпцем);

−виконувати дії над матрицями;

−виконувати дії над векторами та застосовувати вектори до розв'язання задач з геометрії;

−застосовувати властивості рівнянь прямих та площин до розв'язання задач з геометрії;

−виконувати обчислення у евклідових просторах;

−знаходити власні числа та власні вектори матриць;

−приводити квадратичні форми до канонічного вигляду;

−приводити рівняння кривих та поверхонь другого порядку до канонічного вигляду.

СТРУКТУРА ДИСЦИПЛІНИ І ОБСЯГ ПІДГОТОВКИ

Дисципліна вивчається протягом двох семестрів в обсязі 144 години аудиторних занять і має у складі, такі різновиди учбової роботи: лекції (72 години), практичні заняття (72 години). Лекції є основним засобом отримання студентами необхідних знань з дисципліни, надають основні напрямки для самостійного вивчення матеріалу, а також проблеми, які ще не розв'язані.

Практичні заняття є засобом закріплення знань, які отримані студентами на лекціях і під час самостійної підготовки, формування практичних вмінь та навичок.

З метою закріплення практичних навичок та формування самоосвітньої діяльності майбутнього фахівця студенти мають самостійно засвоїти частину матеріалу дисципліни, визначену робочою програмою.

3

Форми контролю якості одержаних знань:

−поточний рейтинговий контроль за допомогою контрольних завдань, тестів та навчаючих програм;

−опитування під час практичних занять та теоретичних колоквіумів;

−модульний контроль знань наприкінці кожного з чотирьох навчальних модулів;

−підсумковий контроль у формі іспиту наприкінці кожного

семестру.

За результатами контролю якості навчання студенти отримують бали рейтингу, які є підґрунтям для остаточної оцінкиЕлементами. змісту підготовки фахівців з дисципліни «Алгебра і геометрія» є навчальні тематичні модулі, кожний з яких може змінюватися чи заміщатися. Це забезпечує можливість удосконалення програми дисципліни згідно з умовами діяльності та вимогами підприємств, науководослідних і проектних інститутів та інших спеціалізованих закладів - замовників фахівців.

Розподіл матеріалу дисципліни за модулям наведено у таблиці:

№	Назва тематичного модуля	Кількість годин
п/п
		лк.	пр.	всього
1	Визначники і системи лінійних	8	8	16
	рівнянь.
2	Алгебра матриць	4	4	8
3	Комплексні числа	4	4	8
4	Векторна алгебра	6	6	12
5	Аналітична геометрія на площині	6	6	12
6	Аналітична геометрія у просторі	6	6	12
7	Многочлени від одного невідомого	4	4	8
8	Лінійні простори	6	6	12
9	Евклідові простори	4	4	8
10	Квадратичні форми	4	4	8
11	Лінійні оператори	6	6	12
12	Лінійні оператори в евклідовому	6	6	12
	просторі
13	Лінії та поверхні другого порядку	6	6	12

4

ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ЙОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Тема 1. Визначники і системи лінійних рівнянь

№		Зміст матеріалу			Література
п/п
1	Лінійні системи та їх матриці.				[1] §1
	Елементарні перетворення			систем і	[4] §14, 15
	матриць, зведення їх до ступінчатого
	виду. Визначені, невизначені та
	несумісні	системи.	Застосування
	лінійних	систем	до	розв’язання
	геометричних та алгебраїчних задач.
2	Визначники ІІ і ІІІ порядків. Переста-				[1] § 2,3
	новки та підстановки.				[11] п. 1.2
3	Визначники n-го порядку, властивості.				[1] §4,5,6,7
	Мінори та алгебраїчні доповнення.				[3] §2 (п.1,2,3),
	Теорема Лапласа. Методи обчислення				§4 (п.4)
	визначників. Визначник Вандермонда.				[4] §11;
	Правило Крамера.				[11] п.1.2
4	n-вимірний векторний простір. Лінійна				[1] § гл.2
	залежність векторів. Ранг матриці.				[3] §5
	Системи лінійних рівнянь. Системи				[4] §16-21
	лінійних однорідних рівнянь

Питання для самоперевірки: [12] стор.36 питання 1-10, стор. 57 питання 1-12.

Індивідуальне завдання: [12] стор.33-35 завдання 1-5, стор. 56 завдання 1-8.

Тема 2. Алгебра матриць

№	Зміст матеріалу	Література
п/п
1	Лінійні перетворення і матриці. Дії над	[1] §13, 15
	матрицями, кільце матриць. Теорема	[3] §1; [4] §10;

5

	про множення визначників.			[11] п.1.1
2	Обернена	матриця, умови	існування.	[1] §14
	Елементарні перетворення і елементарні			[3] §4 (п. 1-3)
	матриці,	знаходження	оберненої	[4] §13
	матриці.			[11] п.1.1

Питання для самоперевірки: [12] стор.45 питання 1-12. Індивідуальне завдання: [12] стор.43-45 завдання 1-7.

Тема 3. Комплексні числа

№		Зміст матеріалу					Література
п/п
1	Побудова	поля	комплексних		чисел.		[1] §17-19
	Алгебраїчна форма комплексних чисел,						[4] §1-3
	операція спряження, властивості.
	Тригонометрична форма			комплексного
	числа.	Дії	над	числами		в
	тригонометричній		формі. Формула
	Мавра. Корені із комплексних чисел.
2	Поняття	про	показникові		форму		[1] §17-19
	комплексних чисел. Геометричний зміст						[4] §1-3
	дій над комплексними числами,
	нерівності для модулів.

Питання для самоперевірки: [12] стор.64 питання 1-12. Індивідуальне завдання: [12] стор.63-64 завдання 1-6.

Тема 4. Векторна алгебра

№	Зміст матеріалу	Література
п/п
1	Вектори, лінійні операції над векторами	[3] §6 (п. 1-4)
	та їх властивості. Лінійно незалежні та	[7] гл. 8 §48-52
	лінійно залежні системи векторів,	[8] гл.2 §1 (п.1-
	колінеарність, компланарність векторів,	7)
	базис, координати векторів, ортонор-

6

	мований базис.
2	Модуль вектора, додавання векторів,				[3] §6( п.5), §6
	множення на число, скалярний добуток				[7] гл. 8 §52, гл.
	векторів, кут між векторами в				9
	координатній формі.				[8] гл. 2 §1 (п.8-
					9), гл. 2 §2;
					[11] п.7.4
3	Векторний	та	мішаний	добуток	[3] §8-9;
	векторів, геометричний зміст, умова				[7] гл. 10
	компланарності векторів.				[8] гл. 2 §3
					[11] п.7.4

Питання для самоперевірки: [12] стор.9 питання 1-12 Індивідуальне завдання: [12] стор.8-9 завдання 1-6.

Тема 5. Аналітична геометрія на площині

№	Зміст матеріалу			Література
п/п
1	Декартові	прямокутна	система	[3] §6( п.6,8)
	координат на площині, полярна система			[7] гл.1 §3,4
	координат на площині. Поділ відрізка у			[8] §2, §3 (п. 3)
	заданому відношенні.
2	Рівняння прямої в декартовій системі			[3] §12
	координат на площині: загальне, з			[7] гл. 4 §16-23
	кутовим коефіцієнтом, у відрізках,			[8] гл. 5 §1-2
	відстань від точки до прямої. Взаємне			[11] п.7.1
	розташування прямих, кут між двома
3	Кривіп ямимидругого.	порядку.		[3] §13
				[7] гл. 5 §24-36
				[8] гл. 6 §1-3
				[11] п.8

Питання для самоперевірки: [12] стор.15 питання 1-12, стор. 79 питання 1-12 Індивідуальне завдання: [12] стор.15-16 завдання 1-9, стор. 76 завдання 1-7.

7

Тема 6. Аналітична геометрія у просторі

№	Зміст матеріалу	Література
п/п
1	Площина у просторі: рівняння площини	[3] §15
	в декартовій системі координат,	[7] гл. 12 §63-65
	відстань від точки до площини, взаємне	[8] гл. 5 §3
	розташування площин, кут між	[11] п.7.2
	площинами.
2	Пряма у просторі: рівняння прямої,	[3] §16
	взаємне розташування прямих, кут між	[7] гл. 12 §66-67
	двома прямими.	[8] гл.5§4
		[11] п.7.3
3	Взаємне розташування прямої та	[3] §17
	площини.	[8] гл. 5 §5

Питання для самоперевірки: [12] стор.21 питання 1-12, стор. 26 питання 1-12 Індивідуальне завдання: [12] стор.20-21 завдання 1-9, стор. 25 завдання 1-6.

Тема 7. Многочлени від одного невідомого

№			Зміст матеріалу					Література
п/п
1	Кільце	многочленів			від	одного		[1] §20-22
	невідомого,		подільність		з	остачею.		[4] §4-6
	Властивості		подільності		многочленів.
	Найбільший		спільний		дільник		і
	алгоритм Евкліда. Взаємно прості
	многочлени,		критерій.			Зведеність
	многочленів, основна теорема. Корені
2	Кратнімногочленівкорені, схема, звГорнера'язок із.					похідною.		[1] §22,25
	Основна	теорема		алгебри,		наслідки.		[4] §7,8
	Формула Лагранжа, Вієта, Тейлора.
	Многочлени над полем дійсних чисел,
	зведеність. Поле			раціональних дробів,

8

розкладання раціональних дробів в суму елементарних.

Питання для самоперевірки: [12] стор.70 питання 1-12. Індивідуальне завдання: [12] стор.69-70 завдання 1-4.

Тема 8. Лінійні простори

№		Зміст матеріалу			Література
п/п
1	Поняття		лінійного	простору,	[1]
	найпростіші		наслідки	аксіом.	§29,30,32,9,10
	Підпростори, лінійні оболонки. Сума і				[2] §1
	перетин підпросторів. Пряма сума.				[4] §22,23,25,17,
	Лінійна залежність векторів, еквівалент-				18
	ні системи, основні теореми. Базис				[11] п.2.1-2.5
	простору,	вимірність,		координати
	Мавекторівсимальні.		лінійно	незалежні
	підсистеми, ранг системи векторів.
2	Зв'язок	між	базисами	простору,	[1] §30 cт. 191-
	перетворення		координат.	Вимірність	194;
	суми	підпросторів.		Ізоморфізм	[2] §1;[4] §22
	просторів.				[11] п.2.6-2.7
3	Критерій	сумісності лінійних систем.			[1] §11,12
	Однорідні системи, базисні розв’язки.				[4] §19-21
	Тлумачення підпросторів, як розв’язків				[11] п.3
	однорідних систем.

Питання для самоперевірки: [13] стор.12 питання 1-12. Індивідуальне завдання: [13] стор.11-12 завдання 1-6.

Тема 9. Евклідові простори

№		Зміст матеріалу	Література
п/п
1	Евклідові	та унітарні простори.	[1] §34
	Довжина	векторів, нерівність Коші-	[2] §2,3

9

Буняковського. Процедура ортогона- [4] §27,28 лізації, ортонормований базис. Ізоморфізм [11] п.4.1-4.2 евклідових просторів.

2Розкладання евклідових просторів в [2] §3 пряму суму підпросторів та їхніх [4] §31

ортогональних доповнень. Ортогональ- [11] п.4.3 на проекція вектора на підпростір, визначник Грама. Метод найменших квадратів.

Питання для самоперевірки: [13] стор.19 питання 1-12. Індивідуальне завдання: [13] стор.18-19 завдання 1-6.

Тема 10. Квадратичні форми

№		Зміст матеріалу		Література
п/п
1	Лінійні	функціонали,	спряжені	[1] §26, 28
	простори. Білінійні форми, їх матриці.			[2] §4-6
	Квадратичні форми. Канонічний вид			[3] §22 (п.1)
	квадратичних форм, метод Лагранжа.			[4] §32
	Метод Якобі побудови		канонічного	[11] п.6.1-6.3
	базису. Додатньо визначені квадратичні
	форми, критерій Сильвестра.
2	Закон інерції квадратичних форм. Ранг			[1] §27
	квадратичних форм і ранг їхніх			[2] §7
	матриць. Півторалінійні форми в
	унітарних	просторах,	ермітові

квадратичні форми.

Питання для самоперевірки: [13] стор.53 питання 1-12. Індивідуальне завдання: [13] стор.51-53 завдання 1-4.

Тема 11. Лінійні оператори

№	Зміст матеріалу	Література
п/п
1	Лінійні оператори та їхні матриці,	[1] §31,32
	найпростіші властивості. Ядро і ранг	[2] §9

10