АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. В. Лиманский, Д. В. Лиманский

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (линейная алгебра и аналитическая геометрия)

Методическое пособие

ДОНЕЦК 2008

ÓÄÊ 514.14

Алгебра и геометрия (линейная алгебра и аналитическая геометрия). Методическое пособие для студентов специальности "Прикладная математика" дневной и заочной формы обучения / В. В. Лиманский, Д. В. Лиманский. - Донецк, ДонНУ, 100, 84 с.

Пособие содержит дидактические материалы по линейной алгебре и аналитической геометрии, предназначенные для студентов специальности "Прикладная математика" дневной и заочной формы обучения. Приведены краткие теоретические сведения, решения типовых задач и предложены тексты индивидуальных заданий. Содержание всех материалов соответствует программе курса "Алгебра и геометрия" в объеме II семестра.

Печатается по решению Ученого совета математического факультета ДонНУ (протокол N66 от 22 ноября 2007 г.)

Составители:	В. В. Лиманский,	ê.ô.-ì.í., äîö.
	Д. В. Лиманский,	ê.ô.-ì.í., äîö.
Рецензент:	В. В. Штепин,	ê.ô.-ì.í., äîö.
Отв. за выпуск:	Ã. Â. Ãîðð,	ä.ô.-ì.í., ïðîô.

Компьютерный набор и верстка в LATEX 2ε: Д. В. Лиманский

c ДонНУ

c В. В. Лиманский, Д. В. Лиманский, 2008

3

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III. Линейные операторы и их матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IV. Спектральная теория линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 V. Линейные операторы в евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . . 38 VI. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 VII. Канонические уравнения кривых и поверхностей

второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Образцы тестовых заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Тематическое содержание курса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее методическое пособие содержит тексты индивидуальных заданий в 12 вариантах по линейной алгебре и некоторым разделам аналитической геометрии.

Перечень основных понятий и фактов в каждом из разделов пособия, их краткое изложение, наличие вопросов для самопроверки, а также образцов решения типовых задач способствует успешному усвоению материала. Каждое индивидуальное задание состоит из серии однотипных и одинаковых по сложности задач, а приводимые в каждом разделе дополнительные задания усиливают творческую, неалгоритмическую часть курса. В конце пособия приведены образцы тестовых заданий и перечень тем, иллюстрирующих тематическое содержание курса.

Содержание всех материалов пособия соответствует программе курса "Алгебра и геометрия" в объеме 2-го семестра для студентов 1-го курса специальности "Прикладная математика", а также требованиям, предъявляемым к методическому обеспечению курсов для студентов, обучающихся по кредитномодульной системе.

5

I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Понятия:

1)линейные пространства, подпространства;

2)линейная комбинация векторов, линейная оболочка;

3)линейная зависимость (независимость) векторов;

4)размерность пространства, базис, координаты векторов;

5)матрица перехода к новому базису;

6)ранг системы векторов;

7)элементарные преобразования систем векторов;

8)сумма и пересечение подпространств;

9)прямая сумма;

10)изоморфизм линейных пространств.

Факты:

1)простейшие следствия из аксиом линейного пространства;

2)критерий подпространства;

3)свойства линейной зависимости;

4)сохранение ранга при элементарных преобразованиях;

5)независимость числа базисных векторов от выбора базиса;

6)свойства матрицы перехода;

7)связь между размерностями суммы и пересечения подпространств;

8)критерий прямой суммы;

9)теорема об изоморфизме.

Линейным пространством над полем P называется множество V , для элементов (векторов) которого определены операции сложения и умножения на элементы поля P (т. е. для любых векторов a, b V и любого λ P îïðå-

делены векторы a + b V è λa V ), удовлетворяющие аксиомам линейного

пространства:

1) a + b = b + a;

2) (a + b) + c = a + (b + c);

3)существует вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого a;

4)для любого a существует вектор −a такой, что a + (−a) = 0;

5)(λ + µ)a = λa + µa;

6)λ(a + b) = λa + λb;

7)(λµ)a = λ(µa);

8)1 · a = a, ãäå 1 единица поля P .

Здесь a, b, c V , λ, µ P .

6

Примеры вещественных линейных пространств: пространство Rn; прост-

ранство квадратных матриц n-го порядка с вещественными элементами; пространство многочленов R[x]; пространство вещественнозначных функций, определенных на отрезке [a, b].

Подмножество U линейного пространства V над полем P называется линейным подпространством, если оно непусто и выполнены условия:

1) a, b, U a + b U; 2) a U, λ P λa U.

Любое линейное подпространство U V само будет линейным простран-

ством относительно операций, определенных в V .

Важным примером подпространства является линейная оболочка L(e1, . . . , en) векторов e1, . . . , en V . Это подпространство состоит из всевоз-

можных линейных комбинаций λ1e1 + · · ·+ λnen этих векторов. Здесь λ1, . . . , λnвсевозможные наборы элементов из P .

Система векторов e1, . . . , en èç V называется линейно зависимой, åñëè íà-

йдется хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация λ1e1 + · · · + λnen этих векторов, равная нулю. Нетривиальность означает, что среди коэффицие-

íòîâ λ1, . . . , λn найдется хотя бы один ненулевой. Система e1, . . . , en называется линейно независимой, если она не будет линейно зависима, т. е. если из соот-

ношения λ1e1 + · · · + λnen = 0 следует, что λ1 = . . .= λn = 0. Например, система, состоящая из одного вектора e1, линейно зависима в точности тогда, когда e1 =0.

Рангом системы векторов называется наибольшее число линейно независимых векторов в этой системе. Таким образом, ранг матрицы это ранг системы ее строк (или столбцов), рассматриваемых как векторы из соответствующего пространства.

Свойства линейной зависимости:

1)система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из ее векторов линейная комбинация остальных;

2)система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама линейно зависима;

3)система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима;

4)если система e1, . . . , en линейно независима, а система e1, . . . , en, en+1 ëèíå- йно зависима, то вектор en+1 линейная комбинация векторов e1, . . . , en.

Элементарные преобразования системы векторов бывают трех типов:

1)умножение одного из векторов системы на ненулевой элемент поля;

2)прибавление к одному из векторов системы какого-нибудь другого вектора этой же системы;

3)перестановка двух векторов системы.

Элементарные преобразования не меняют ранг системы векторов.

будет его базисом в точности тогда, ко-

7

Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем найдутся линейно независимые системы, состоящие из сколь угодно большого числа векторов, и конечномерным в противном случае. Базисом конечномерного линейного пространства называется любая максимальная линейно независимая

система его векторов. Более точно, система векторов e1, . . . , en базис прост- ранства V , если она линейно независима, и для любого вектора v V система

e1, . . . , en, v линейно зависима. В этом случае имеет место разложение вектора

v по базису e1, . . . , en: v = λ1e1 + · · · + λnen. При этом числа λ1, . . . , λn

P определены однозначно и называются координатами вектора v в базисе

e1, . . . , en. Отметим, что изменение порядка следования векторов, составляющих базис, приводит к новому базису.

Любые два базиса конечномерного пространства V состоят из одинакового

числа векторов. Это число называется размерностью пространства V и обозначается dim V . Åñëè dim V = n, то пространство V называется n-мерным. Äëÿ

бесконечномерного пространства V считается, что dim V = ∞. Свойства размерности:

1)åñëè dim V = n < ∞, то любые n + 1 векторов из V составляют линейно зависимую систему;

2)любая линейно независимая система векторов конечномерного пространства может быть дополнена до базиса;

3)åñëè dim V = n < ∞, то любая линейно независимая система n его векторов базис V .

Система n строк пространства P n

гда определитель n-го порядка, составленный из этих строк, отличен от нуля.

	Пример 1. Пусть A = 1				1 , B = 1			0 , C = 0		1 , H = 1		1 .
			1		1		0	1	0	1	0	0
				T =		9	8 в указанном базисе, проверив
Найдите координаты матрицы
						1	4
предварительно, что данная система матриц действительно образует
базис пространства всех			(2 × 2)			- матриц над R.
	В пространстве V		âñåõ (2×2)-матриц над R базисом будет систе-
ма матричных единиц E11			= 0 0 , E12 = 0					0 , E21	= 1 0 , E22		= 0	1 ,
			1		0		0	1	0	0	0	0

так как она линейно независима, и для		любой матрицы X= x21	x22 ñïðà-
		x11	x12
ведливо	разложение X = x11E11+x12E12+x21E21+x22E22. Поэтому dim V = 4.
Система	A, B, C, H линейно независима (доказательство предоставляется
читателю) и, значит, является базисом		V .

8

Пусть T =λ1A+λ2B+λ3C +λ4H, ò.å. 9 8 = λ1 +λ2 +λ4							λ1	+λ3	+λ4 .
				1 4		λ1	λ1	+λ2	+λ3
				λ1		= 1
Получаем систему линейных уравнений				λ1 + λ2 + λ3		= 4. Решив систему,
				λ1 + λ2 + λ4 = 9
T		A, B,			λ1 =1, λ2 =2, λ3 =1, λ4 =6
				λ1 + λ3 + λ4		= 8
получаем координаты	в базисе		C, H:					.

Пример 2. Разложите функцию f(x) = cos3 x + sin4 x по базису

1, cos x, cos 2x, cos 3x, cos 4x, проверив предварительно, что эти функции действительно образуют базис своей линейной оболочки.

Для проверки линейной независимости функций 1, cos x, cos 2x,

cos 3x, cos 4x достаточно показать, что тождество a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + a4 cos 4x = 0 возможно только при a0 = a1 = · · · = a4 = 0. Подставляя в это тождество пять различных значений x, получим однородную систему линейных уравнений относительно a0, a1, . . . , a4, решая которую, убедимся, что a0 = a1 = · · · = a4 = 0 (доказательство предоставляется

читателю).

Далее, используем тождества

cos3 x = 12(1 + cos 2x) cos x = 12 cos x + 14(cos x + cos 3x) = 34 cos x + 14 cos 3x, sin4 x = 14(1 − cos 2x)2 = 14(1 − 2 cos 2x + cos2 2x) = 38 − 12 cos 2x + 18 cos 4x.

Отсюда f(x) = 38 + 34 cos x − 12 cos 2x + 14 cos 3x + 18 cos 4x.

Пример 3. Разложите функцию f(x) = 5 sin x cos2 x + 2 sin3 x cos x ïî áà-

çèñó sin x, sin 2x, sin 3x, sin 4x, проверив предварительно, что эти функции действительно образуют базис своей линейной оболочки.

Проверка линейной независимости функций sin x, sin 2x, sin 3x, sin 4x

проводится так же, как и в примере 2. Далее, используем тождества

sin x cos2 x = 12 sin 2x cos x = 14(sin 3x + sin x),

sin3 x cos x = 12 sin 2x sin2 x = 14(cos x − cos 3x) sin x = 18(2 sin 2x − sin 4x).

Отсюда f(x) = 54 sin x + 12 sin 2x + 54 sin 3x − 14 sin 4x.

Пример 4. Найдите все значения параметра p, при каждом из которых вектор x = (3; 2; 1) принадлежит линейной оболочке векторов a = (2; 4; p), b = (p; −4; 2), c = (−3; p; −3).

e1, . . . , en,

9

Пусть x = x1a + x2b + x3c. Тогда получаем систему линейных ура-

2x1 + px2 − 3x3 = 3

2 p −3

−

внений 4x1 − 4x2 + px3 = 2. Определитель системы =

4 −4

p

= p3

px1 + 2x2 − 3x3 = 1

p 2 −3

4p

. Корнями уравнения

= 0

являются числа

p1

= 2

,

,

.

p2 = 0

p3 = 2

−

Поэтому при p 6 {−2; 0; 2} вектор x лежит в линейной оболочке

L(a, b, c).

2x1 − 2x2 − 3x3 =3

Ïðè p=

−

2 система

4x1 − 4x2 − 2x3 =2

несовместна, и x

(a, b, c).

2x1

+ 2x2

−

3x3 =1

6 L

−

Ïðè p = 0 система

2x1

−3x3 =3

несовместна, и x

(a, b, c).

4x1− 4x2

=2

2x2 −3x3 =1

6 L

2x1 + 2x2 − 3x3 = 3

Ïðè p = 2 система

4x1 − 4x2 + 2x3 = 2 несовместна, и x

(a, b, c).

2x1 + 2x2 − 3x3 = 1

6 L

Таким образом, x L(a, b, c) ïðè p 6 {−2; 0; 2}.

Пусть e1, . . . , en è f1, . . . , fn два базиса конечномерного линейного пространства V . Матрицей перехода от первого базиса ко второму называется квадратная матрица A порядка n, j-é столбец которой состоит из координат вектора fj в базисе j {1, . . . , n}. Åñëè v = x1e1 + · · · + xnen = y1f1 +· · ·+ynfn, òî X = AY . Здесь X è Y одностолбцовые матрицы координат

вектора v в первом и втором базисах соответственно. Свойства матрицы перехода:

1)åñëè A матрица перехода от базиса e1, . . . , en к базису f1, . . . , fn, à B матрица перехода от базиса f1, . . . , fn к базису g1, . . . , gn, òî AB матрица перехода от базиса e1, . . . , en к базису g1, . . . , gn;

2)матрица перехода невырождена, и если A матрица перехода от базиса

e1, . . . , en к базису f1, . . . , fn, òî A−1 матрица перехода от базиса

f1, . . . , fn к базису e1, . . . , en.

Пример 5. Найдите матрицу перехода от базиса 1, x−5, (x−5)2, (x−5)3 к базису 1, x−3, (x−3)2, (x−3)3 в пространстве многочленов над R степени

íå âûøå 3.
Если положить x−5=t, то базисы имеют вид 1, t, t2, t3			è 1, t + 2, (t +
2)2, (t+2)3. Поэтому искомая матрица перехода имеет вид	0		1	4	12 .
		1	2	4	8
	0		0	0	1
		0	0	1	6

Åñëè U è W два подпространства линейного пространства V , то множес-

тва векторов U + W = {u + w : u U, w W } è U ∩W = {v V : v U, v W }

= U W .

c1, . . . , cn

c1, . . . , cn+m

è

будет

e1, . . . , en

прямой суммой

10

называются соответственно суммой è пересечением подпространств U è W . U + W наименьшее линейное подпространство, содержащее U è W , à U ∩ W

наибольшее подпространство, содержащееся в U è â W .

Справедливо соотношение dim(U ∩ W ) + dim(U + W ) = dim U + dim W . Если каждый вектор v U +W однозначно записывается в виде v = u+w,

u U, w W , то сумма U+W называется и обозначается U W . Свойства прямой суммы:

1) сумма H = U + W будет прямой, если выполнено одно из следующих двух свойств: а) U ∩ W = {0}; á) dim H = dim U + dim W . Обратно, если H = U W , то свойства а) и б) справедливы;

2) åñëè H = U W , и в пространствах U è W выбраны базисы

è f1, . . . , fm соответственно, то их объединение e1, . . . , en, f1, . . . , fm базисом H. Обратно, если в подпространстве некоторый базис представлен в виде двух непересекающихся подмножеств

cn+1, . . . , cn+m, è U = L(c1, . . . , cn), W = L(cn+1, . . . , cn+m), òî H

	Аналогичные определения суммы, пересечения и прямой суммы можно
сформулировать для любого конечного числа подпространств.
	Пример 6. Разложите вектор v =		(2; 5; 5; 7)	в сумму векторов v1 + v2,
				V1 V2 = R4. Здесь V1
v1 V1, v2 V2, предварительно доказав, что					-
			x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
множество решений однородной системы			2x1 + 5x2 − 2x3 + x4 = 0, à V2		-

линейная оболочка векторов f3 = (2, 1, −1, 1) è f4 = (1, 3, 5, 7).

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы

линейных уравнений: f1 = (−19; 8; 1; 0), f2 = (−18; 7; 0; 1). Для проверки того, что V1 V2 = R4, достаточно показать, что f1, f2, f3, f4 - базис R4. Для этого достаточно убедиться, что определитель, составленный из этих векторов как из столбцов, отличен от нуля.

Разлагая вектор v по базису f1, f2, f3, f4, v = x1f1 + x2f2 + x3f3 + x4f4, получим систему линейных уравнений с расширенной матрицей

−8		−7	1			3	5 . Решая систему, получим												x1		= 1, x2 =			1, x3 = 1,
	19	18	2			1	2																	−
	1	0		1		5	5
			−
	0	1	1			7	7
	= 1				1	= f				f	2	= ( 1; 1; 1;		1)	v	2	=		3	+		4	= (3; 4; 4; 8)
4								1	−			−	−
x		, ò. å. v												,				f			f				.

Два линейных пространства V1 è V2 над полем P называются изоморфными, если найдется такое взаимно однозначное отображение ϕ : V1 → V2, ÷òî:

1) ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2);	2) ϕ(λv) = λϕ(v).
Здесь v, v1, v2 V1, λ P .