АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ «ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И.Н. Реутова

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Часть 2.

учебное пособие

Мариуполь ГВУЗ «ПГТУ»

2012

УДК 519.612: 517.951(042.4)

Утверждено на заседании кафедры высшей математики Протокол № 1 от 07.09.2011г.

Рекомендовано к изданию учебно-методической комиссией факультета информационных технологий

Протокол №2 от 11.10.2011г.

Рецензент:	С.П. Десятский, кандидат	физик-математических		наук,
	доцент, государственное	высшее	учебное	заведение
	«Приазовский государственный технический университет»

Реутова И.Н.

Конспект лекций по алгебре и геометрии. Часть 2: учебное пособие / И.Н. Реутова. Часть 2. – Мариуполь: ПГТУ, 2011. – 111 с.

Учебное пособие содержит 17 лекций по курсу «Алгебра и геометрия» в объеме программы этого курса для студентов специальности«Прикладная математика».

В него вошли такие разделы как многочлены от одной переменной, линейные и евклидовы пространства, линейные операторы, линейные операторы в евклидовом пространстве, билинейные и квадратичные формы. Изложение материала сопровождается примерами решения типовых задач.

2

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1.	Многочлены от одной переменной. Деление многочленов.
	Алгоритм Евклида. Корни многочленов……………………								4
ЛЕКЦИЯ 2.	Основная теорема алгебры. Интерполяция. Теорема Виета.
	Приводимость		многочленов.				Рациональные
	дроби……………………………………………………..........								13
ЛЕКЦИЯ 3.	Линейные пространства………………………………………								22
ЛЕКЦИЯ 4.	Изоморфизм линейных пространств. Подпространство
	линейного	пространства.		Сумма			и	пересечение
	подпространств……………………………………………….								29
ЛЕКЦИЯ 5.	Евклидовы		пространства.		Неравенство			К-
	Буняковского.	Ортогональный			и	ортонормированный
	базис. Процедура ортогонализации векторов…………......								34
ЛЕКЦИЯ 6.	Изоморфизм		евклидовых		пространств. Унитарные
	пространства.	Разложение		евклидовых			пространств		в
	прямую сумму подпространств и их							ортогональных
	дополнений.	Ортогональная			проекция			вектора	на
	подпространство. Метод наименьших квадратов…………..								41
ЛЕКЦИЯ 7.	Линейные операторы, их матрицы и простейшие свойства.
	Операции над линейными операторами и матрицами. Ядро
	и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного
	оператора…………………………….....................................								50
ЛЕКЦИЯ 8.	Инвариантные подпространства и клеточн -диагональные
	матрицы. Собственные векторы и собственные значения
	линейного оператора………………………………………….								57
ЛЕКЦИЯ 9.	Линейные	операторы		в	идовом		пространств.
	Сопряженые операторы и их свойства. Самосопряженные
	операторы и их свойства……………………………………..								63
ЛЕКЦИЯ 10.	Унитарные и ортогональные операторы и их свойства.								69
ЛЕКЦИЯ 11.	Билинейные	и	квадратичные .формыПриведение
	квадратичной формы к каноническому виду………………								75
ЛЕКЦИЯ 12.	Приведение квадратичной формы к каноническому ви
	методом ортогонального преобразования………………….								81
ЛЕКЦИЯ 13.	Закон инерции		квадратичных			. формОпределенные
	квадратичные формы. Критерий сильвестра……………….								85
ЛЕКЦИЯ 14.	Приведение общего уравнения кривой второго порядка
	каноническому виду…………………………………………..								89
ЛЕКЦИЯ 15.	Инварианты кривой второго порядка……………………….								95
ЛЕКЦИЯ 16.	Определение центра и главных осей центральной кривой.
	Отыскание вершины и оси параболы…………....................								101
ЛЕКЦИЯ 17.	Исследование	общего уравнения				повер		второго
	порядка…………………………………………………………								105
РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА………………………………………									111

3

ЛЕКЦИЯ 1.

МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ.

Многочлены от одной переменной.

Def. Комплексным многочленом называется множество всех формальных конечных сумм

f ( X ) = a0 + a1 X + a2 X 2 +... + an X n

(1.1)

где ai ÎC.

то f ( X )

называется вещественным многочленом.

Если ai Î R "i =

,

0, n

Множество

всех

комплексных

многочленов

обозначаетсяС[X], а

множество всех вещественных многочленов – R[X].

Def. Суммой многочленов f ( X ) из (1.1) и

g( X ) = b + b X + b X 2

+... + b X m

(1.2)

называется многочлен

0

1

2

m

f + g = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) X + (a2 + b2 ) X 2 +...

(1.3)

Def. Произведением многочленов

f ( X )

из (1.1) и g( X )

из (1.2) называется

многочлен fg = c

+ c X + c X 2

+...,

где

0

1

2

k

ck

= åai bk -i

"k =

0; n + m

(1.4)

i =0

Th.1.1 (свойства сложения и умножения многочленов)

Сложение многочленов коммутативно ассоциативно, т.е.

"f , g, h Î С[X]:

1.	f + g = g + f ;	3.	f + (g + h) = ( f + g )+ h;
2.	fg = gf ;	4.	f (gh) = ( fg )h.

Кроме того выполняется закон дистрибутивности, .т.е. 5. f (g + h) = fg + fh "f , g, h Î С[X]:

При этом сумма и произведение вещественных многочленов вещественны.

Доказательство (непосредственными вычислениями)

4

Def. Пусть задан многочлен (1.1) и an ¹ 0.

Степенью многочлена называют

число n. Обозначают

deg f

= n

или fn .

Степень нулевого многочлена ( f

= 0) не определена.

Коэффициент

an называется

старшим

коэффициентом многочлена

f ( X ),

а коэффициент a0

называется свободным членом.

Многочлены

нулевой

степени

и

нулевой

многочлен называются

константами.

Th.1.1

Старший

(свободный)

коэффициент

произведения

многочленов

fg

равен

произведению старших(свободных)

коэффициентов сомножителей f

и g.

Доказательство (вытекает непосредственно из определения произведения

многочленов).

Следствия.

1. Если

f , g ÎС[X] \ 0, то deg ( fg ) = deg f + deg g.

2.Если

f , g, f + g ¹ 0, то deg ( f + g ) £ max {deg f ; deg g}.

Деление многочленов

Th.1.2

(деление с остатком)

Пусть

f , g ÎС[X] и g ¹ 0.

Тогда существуют и единственные

q, r ÎС[X] такие, что

1.

f = gq + r;

(1.5)

2.

r = 0 или deg r < deg g.

(1.6)

Если f , g Î R[X],то и q, r Î R[X].

Доказательство.

Существование. Если

f = 0,

то полагаем q = r = 0 и теорема доказана.

Если deg f < deg g,

то

полагаемq = 0, r = f и

тогда

утверждение

теоремы очевидно.

Пусть deg f = n > deg g

и

для

меньших степеней теорема доказана.

Пусть

an f , а bm

– старший

коэффициент

многочлена g.

Рассмотрим

многочлен

an

h = f -

X n-m g.

(1.7)

bm

5

Очевидно, что deg h < deg f .						¢	¢
			По доказанному h = q g + r . Тогда из (1.7)
	an	æ		an		ö
имеем f = q¢g + r¢ +		X n-m g = ç q¢ +			X n-m	÷ g + r¢ .
	bm			bm
		è				ø

Единственность. Пусть многочлен может быть представлен в виде f = gq + r = gq¢ + r¢,

где deg r, deg r¢ < deg g. Тогда gq + r = gq¢ + r¢

g (q - q¢) = r¢ - r.

Если q - q¢ ¹ 0,

то r¢ - r ¹ 0. Очевидно, что

сл.1из Th1.1

deg g > deg (r¢ - r ) = deg (g(q - q¢))

= deg g + deg (q - q¢) ³ deg g.

Получили противоречие. Значит, представление многочлена в виде(1.5)

единственно .

Def. В соотношении(1.5)

многочлен

q (X )

называется частным,

а

многочлен r

– остатком от деления

f на g.

Def. Если в (1.5)

r = 0,

то

многочлен g

делит f

или g

– делитель

f .

Пишут f Mg или g

f .

Th.1.2

(свойства делимости многочленов)

Пусть f , g, h ÎС[X]. Тогда:

1. Если f Mh,

gMh,

то ( f ± g )Mh.

2. Если f Mh, то fg Mh

"g ÎС[X].

3. Если f Mh,

hMg, то

f Mg.

4.

f MC,

где C = const.

5. Если

fn Mgn , то g = Cf ,

где C = const.

Доказательство.

Все

свойства

непосредственно

вытекают (1из.5) при

r = 0.

Докажем

свойство 5.

Необходимость.

Пусть fn Mgn ,

тогда

f

= gq.

Учитывая,

что

степени

многочленов

f

и

g

равны и

следствие

1 теоремы 1.1

получаем, что

deg q = 0,

т.е. q = C = const Þ f = gC Þ g = C -1 f

.

Достаточность. Пусть g = Cf , тогда

f = C-1Cf = C-1 g Þ f Mg

.

6

Def. Наибольшим общим делителем многочленов

f(1) , f(2) ,...,

f(m) , не все из

которых равны нулю, называется многочлен d

такой что:

1) f(i) Md "i =

;

1; m

2) если d ¢ÎС[X] и f(i) Md ¢ "i =

,

то d Md ¢.

1; m

Наибольший общий

делитель

многочленов f(1) ,

f(2) ,...,

f(m)

обозначается

( f(1) , f(2) ,..., f(m) ).

Непосредственно

из

определения

наибольшего

общего

делителя

многочленов вытекает следующая теорема.

Th.1.3

Наибольший

общий

делитель

многочленовf , f

,..., f

(m) )

(

(1) (2)

определен

однозначно, с

точностью

до

множителя

нулевой

степени (ненулевой константы). Кроме того

( f(1) , f(2) ,..., f(m) ) = ( f(1) ,( f(2) ,..., f(m) )).

Изложим алгоритм

Евклида для нахождения наибольшего

общего

делителя двух многочленов( f , g ),

g ¹ 0.

Выполняем

последовательное

деление с остатком:

f = gq1 + r1 ,

deg r1 < deg g;

g = r1q2 + r2 ,

deg r2

< deg r1;

r1 = r2q3 + r3 ,

deg r3

< deg r2 ;

(1.8)

......................................................

rk -1

= rk qk +1 + rk +1 ,

deg rk +1 < deg rk ;

rk = rk +1qk +2 .

Отметим, что в (1.8) число k существует (на некотором шаге мы получим нулевой остаток), т.к. степени остатков уменьшаются.

Th.1.4		( f , g ) = rk +1.		(1.9)
	Т.е. наибольший	общий	делитель	двух многочленов	равен
	последнему отличному от		нуля остатку в алгоритме Евклида.

Доказательство.

Для доказательства проверим выполнение двух условий из определения набольшего общего делителя многочленов.

1. Из последнее строки (1.8) следует, что rk Mrk +1 , тогда из предпоследней строки (1.8) следует, что rk -1 Mrk +1. Поднимаясь вверх, получаем, что gMrk +1 и f Mrk +1.

7

2. Пусть

¢

Из

первого

равенства(1.8) следует,

что

¢

из

f , g Md .

r1 Md ,

второго равенства (1.8)

следует,

что

¢

Опускаясь вниз,

получаем,

что

r2 Md .

¢

rk +1 Md .

rk +1 = ( f , g )

Значит,

.

Следствия.

1. Если

f , g ÎС[X], ( f , g ) = d и

старший

коэффициентd

равен 1,

то

d ÎС[X].

2. Если d = ( f1 , f2 ,...,

fm ), то существуют многочлены u1 , u2 ,..., um ,

что

d = u1 f1 + u2 f2 + ... + um fm .

(1.10)

(здесь индексы обозначают порядковый номер многочлена, а не его степень)

Доказательство.

Следствие 1 очевидно. Докажем

следствие 2. В

силу

теоремы1.3

достаточно

доказать

теорему для m = 2. Таким образом докажем,

что если

d = ( f , g ),

то $ u, v такие, что d = ug + vf .

Воспользуемся

алгоритмом

Евклида(1.8). Тогда

d = rk +1.

Положим

u1 = 1, v1 = -qk +1. Согласно последней строке (1.8)

d = rk +1 = rk -1 - qk +1rk

= 1×rk -1 - qk +1rk = u1rk -1 + v1rk .

(1.11)

Из (1.8) rk

= rk -2 - rk -1qk . Подставим это выражение в (1.11):

d = rk +1 = u1rk -1 + v1 (rk -2 - rk -1qk ) = v1rk -2 + (u1 - v1qk )rk -1.

(1.12)

Положив в (1.12) u2

= v1 , v2 = u1 - v1qk имеем

d = rk +1 = u2 rk -2 + v2 rk -1.

Поднимаясь в (1.8) вверх по цепочке, получим

d = rk +1 = ug + vf .

Def.

Многочлены

f1 ,

f2 ,..., fm

называются взаимно

простыми, если

( f1 ,

f2 ,...,

fm ) = 1.

Тогда имеет место теорема, которая является

непосредственным

следствием (1.10).

Th.1.5

Если

f1 , f2 ,...,

fm

взаимно

простые,

то

существуют

многочлены u1 , u2 ,..., um , что

1 = u1 f1 + u2 f2 + ... + um fm .

(1.10)

(здесь индексы обозначают порядковый номер многочлена, а не

его степень)

8

N.	Найти	( f , g ),	если	f (x) = x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3	и
g(x) = 3x3 +10x2 + 2x - 3.
Решение.		старший коэффициент( f , g ) можно принять равным единице, то,
	Так как

применяя алгоритм Евклида к двум многочленам с целыми коэффициентами, мы можем избежать появления в процедуре дробных коэффициентов. Для этого мы будем в процессе реализации алгоритма умножать (или делить)

делимое или делитель на произвольные ненулевые константы. Это будет приводить, разумеется, к искажению частного, но все остатки при этом будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени.

Разделим f (x) на g(x), предварительно умножив f (x) на 3:

´3

x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3

3x3 +10x2 + 2x - 3

3x

4

+ 9x

3

-

3x

2

-12x -

9

x +1

3x4 +10x3 + 2x2 - 3x

´(-3)

- x3 - 5x2 - 9x - 9

3x3 +15x2 + 27x + 27

3x3 +10x2 + 2x - 3

: 5

5x2 + 25x + 30

x2 + 5x +

6 = r

1

Делим g(x) на r1.

3x3 +10x2 + 2x - 3

x2 + 5x + 6

3x3 +15x2 +18 x

3x - 5

-5x2 -16 x - 3

-5x2 - 25 x - 30

:9 9x + 27

x + 3 = r2

Разделим теперь r1 на r2 :

x2		+ 5x + 6	x + 3
x	2	+ 3x	x + 2

2x + 6

2x + 6

0

9

r2 = x + 3 – последний отличный от нуля остаток. Следовательно,

( f , g ) = r2 = x + 3.

Ответ. x + 3.

							Корни многочлена.
Def.		Пусть		f ÎС[X] и				c	– комплексное	число. Положим
f (c) = a	0	+ a c + a			c2	+... + a	cn .	Элемент c называется корнем многочлена
		1		2		n
f , если		f (c) = 0.
Th. 1.6
			(теорема Безу)
			Пусть c – комплексное число и f ÎС[X]. Тогда остаток от
			деления			f на x - c равен			f (c).

Доказательство.

Делим f на x - c.

Получаем

f = q(x - c) + r,

где r = const.

f (c) = q(c - c) + r = r .

Следствие.

c – корень многочлена f

тогда и только тогда, когда

f M(x - c).

Отметим, что если c – комплексное число, то деля любой многочлен f

последовательно с остатком на x - c,

получаем для f

разложение Тейлора

f = b

+ b (x - c) + b (x - c)2 + ... + b (x - c)n .

(1.11)

0

1

2

n

Изложим схему Горнера для быстрого вычисления коэффициентовbi в

разложении Тейлора (1.11). Разделим

f на x - c , получим

f

= (x - c)q + r,

(1.12)

где r Î C, q = s + s x + s x2 +...

+ s

xn-1. Подставим выражение для q в (1.12):

0

1

2

n-1

a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn

= (x - c) (s0 + s1 x + s2 x2 +... + sn-1 xn-1 )+ r.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

xn

an = sn-1 ,

sn-1 = an ,

xn-1

a

= s

n

-2

- cs

,

s

n-2

= a

+ cs

,

n-1

n-1

n -1

n-1

...

......................

Þ ........................

(1.13)

x

a1 = s0 - cs1 ,

s0 = a1 + cs1 ,

x0

a0 = r - cs0 ;

r = a0 + cs0 .

10