АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ «ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И.Н. Реутова

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Часть 1.

учебное пособие

Мариуполь ГВУЗ «ПГТУ»

2011

УДК 519.612: 517.951(042.4)

Утверждено на заседании кафедры высшей математики Протокол № 1 от 07.09.2011г.

Рекомендовано к изданию учебно-методической комиссией факультета информационных технологий

Протокол №2 от 11.10.2011г.

Рецензент: С.П. Десятский, кандидат физико-математических наук, доцент, государственное высшее учебное заведение «Приазовский государственный технический университет»

Реутова И.Н.

Конспект лекций по алгебре и геометрии. Часть 1: учебное пособие / И.Н. Реутова. Часть 1. – Мариуполь: ПГТУ, 2011. – 130 с.

Учебное пособие содержит 18 лекций по курсу «Алгебра и геометрия» в объеме программы этого курса для студентов специальности «Прикладная математика».

В него вошли такие разделы как системы линейных уравнений, определители, матрицы, комплексные числа, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Изложение материала сопровождается примерами решения типовых задач.

2

	СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 1.	Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение
	системы линейных уравнений к ступенчатому виду
	(метод гаусса)……………………………………………...	4
ЛЕКЦИЯ 2.	Перестановки и подстановки. Определитель n-го
	порядка …………………………………………………….	8
ЛЕКЦИЯ 3.	Свойства определителей ………………………………….	14
ЛЕКЦИЯ 4.	Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление
	определителей. Правило Крамера ……………………….	19
ЛЕКЦИЯ 5.	Матрицы. Операции над матрицами …………………….	27
ЛЕКЦИЯ 6.	Обратная матрица. Элементарные матрицы и их
	применение ………………………………………………..	32
ЛЕКЦИЯ 7.	Векторное n-мерное пространство. Линейная
	зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория
	систем линейных уравнений ……………………………..	37
ЛЕКЦИЯ 8.	Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных
	чисел. Геометрическая интерпретация комплексных
	чисел ……………………………………………………….	50
ЛЕКЦИЯ 9.	Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
	Действия с комплексными числами в тригоно-
	метрической форме. Извлечение корня n-ой степени из
	комплексного числа ………………………………………	57
ЛЕКЦИЯ 10.	Основные понятия векторной алгебры. Линейные
	операции над векторами и их свойства. Линейно
	зависимые (независимые) системы векторов. Базис.
	Координаты вектора ……………………………………...	61
ЛЕКЦИЯ 11.	Проекция вектора на ось. Геометрический смысл	70
	декартовой системы координат. Скалярное
	произведение векторов …………………………………...
ЛЕКЦИЯ 12.	Векторное, смешанное и двойное векторное	75
	произведение векторов …………………………………...
ЛЕКЦИЯ 13.	Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости …..	81
ЛЕКЦИЯ 14.	Плоскость в пространстве ………………………………..	91
ЛЕКЦИЯ 15.	Прямая в пространстве. Взаимное расположение
	прямой и плоскости в пространстве ……………………..	96
ЛЕКЦИЯ 16.	Кривые второго порядка ………………………………….	103
ЛЕКЦИЯ 17.	Кривые второго порядка (продолжение)………………...	110
ЛЕКЦИЯ 18.	Поверхности второго порядка …………………………...	115
	Рекомендованная литература …………………………….	130

3

ЛЕКЦИЯ 1.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ МАТРИЦЫ. СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУ (МЕТОД ГАУССА)

Системы линейных уравнений и их матрицы.

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными. Условимся употреблять следующую символику: неизвестные будем

обозначать x j ( j 1, n) , уравнения будем считать перенумерованными (1-е, 2-е, …, s-е), коэффициент i-го уравнения при неизвестной j будем обозначать aij (i 1, s; j 1, n) , свободный член i-го уравнения будем обозначать

bi ( j 1, n) . Тогда рассматриваемая система линейных уравнений (СЛУ) запишется в виде:

a11 x1 a12 x2 ...			a1n xn b1 ,
			a2n xn b2
a21 x1 a22 x2 ...						,	(1.1)
.............................................
a	x a	x ...	a	x b ,
	s1 1	s 2 2		sn n	s

Def. Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется упоря-

доченный набор чисел 1 , 2 ,..., n , которые, будучи подставленными в (1.1) вместо x1 , x2 ,..., xn соответственно, обращают все уравнения в верные равенства.

Def. Если СЛУ имеет решения, то она называется совместной, в противном случае она называется несовместной.

Def. Если СЛУ имеет единственное решение, то она называется определенной, если же более, чем одно, то она называется неопределенной.

N. Система	x y 3,		определенная,	поскольку			имеет единственное
	x y 1
решение (1;2).
N. Система	x y 0,		неопределенная, поскольку имеет					множество
	2x	2 y 0
решений вида (-k,k) где k R .
Def. Если в	СЛУ	bi 0 для любых		i 1, s , то			система	называется
однородной.

4

Def. Таблицу составленную из коэффициентов aij системы (1.1) называют

матрицей СЛУ:

		a11	a12 ...		a1n
			a22 ...
	A	a21			a2n	(1.2)
		.	.	.	.
		as1	as 2 ...		asn
	Если матрица состоит из s строк и				n столбцов, то говорят, что она имеет

размер s n . Обозначают матрицы большими латинскими буквами (А, B,C)

или указывая общий вид элементов( (aij ) , (bij )	и т.д.) Если s n , то матрица
называется квадратной.
Элементы a11 , a22 ,..., ann квадратной	матрицы образуют главную

диагональ, а элементы a1n , a2n 1 ,..., an1 - побочную диагональ.

Def. Если к матрице СЛУ приписать столбец свободных членов, то полученную матрицу называют расширенной матрицей системы (при этом столбец свободных членов часто отделяют вертикальной чертой).

Обозначают расширенную матрицу СЛУ A . Таким образом:

			a		a		...	a		b
			11		12			1n		1
			a21		a22		...	a2n		b2
	A											(1.3)
			.		.		.	.		...
			a	s1	a	s 2	...	a	sn	b
										s

Заметим, что расширенная матрица содержит всю информацию о СЛУ.

Def. Две СЛУ с одним и тем же числом неизвестных называют

равносильными (или эквивалентными), если они имеют одни и те же решения или обе несовместны.

Если СЛУ (1) равносильна СЛУ (2), то записывают: (1) (2).

Очевидно, что равносильность СЛУ обладает следующими свойствами:

1.(1) (1), т.е. СЛУ равносильна сама себе (закон рефлексивности).

2.	Если (1)	(2), то (2) (1) (закон симметричности)
3.	Если (1)	(2) и (2) (3), то (1) (3) (закон транзитивности)

Def. Элементарными преобразованиями СЛУ называют следующие:

умножение обеих частей любого из уравнений на число k 0 ;

перемену мест любых двух уравнений;

прибавление к частям любого из уравнений СЛУ соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число k R .

5

Th.1.1 Если к СЛУ (1.1) применить конечное число элементарных преобразований, то получим равносильную СЛУ.

Доказательство.

Для первых двух преобразований утверждение очевидно. Покажем, что оно справедливо и для третьего вида преобразований. Поскольку любые два уравнения можно переместить на 1-е и 2-е место, то, не нарушая общности, проведем доказательство для первых двух уравнений. Умножим обе части второго уравнения на k R и прибавим к соответствующим частям первого уравнения. Имеем:

a11 x1 a12 x2 ...

a1n xn b1 ,

a22 x2

a2n xn b2 ,

k

a21 x1

.............................................

a

x a

x ...

a

x b ,

s1 1

s 2 2

sn n

s

(a11 ka21 )x1 (a12 ka22 )x2 ...

(a1n ka2n )xn b1 kb2 ,

a22 x2

a2n xn b2 ,

a21 x1

(1.4)

.............................................

a

x a

x ...

a

x b ,

s1 1

s 2 2

sn

n

s

Пусть 1 , 2 ,..., n

– произвольное решение СЛУ (1.1). Покажем, что

1 , 2 ,..., n является

и

решением (1.4). Поскольку все

уравнения, кроме

первого не изменились, то 1 , 2 ,..., n очевидно удовлетворяет им. Покажем,

что этот набор чисел удовлетворяет и первому уравнению. Перегруппируем слагаемые в первом уравнении следующим образом:

(a11 1 a12 2 ... a1n n ) k(a21 1 a22 2 ... a2n n ) b1 kb2 .

Так как	1 , 2 ,..., n	– решение СЛУ (1.1), то		a11 1 a12 2 ... a1n n b1 , а
a21 1 a22 2	... a2n n	b2 . Таким	образом,	имеем	верное равенство
b1 kb2 b1 kb2 . Значит, 1 , 2 ,..., n			– решение СЛУ (1.4).
Покажем, что произвольное решение СЛУ (1.4) является решением СЛУ
(1.1). Умножим второе уравнение СЛУ (1.4) на число					( k ) и прибавим к

первому уравнению. В результате получим СЛУ (1.1). В силу доказанного, данное преобразование сохраняет решения СЛУ (1.4) решениями СЛУ (1.1). Значит, решения СЛУ совпадают и (1.1) (1.4).

Метод Гаусса

Рассмотрим СЛУ (1.1). Не нарушая общности, можем считать, что a11 0 . Преобразуем эту СЛУ так, чтобы исключить неизвестное x1 из всех

6

a b , 21

1

уравнений кроме первого. Для этого умножим первое уравнение на

прибавим ко i – му уравнению

	a12 x2		a1n xn
a11 x1
	a22 x2		a2n xn b2 ,
a21 x1
.............................................
	a	x	a	x b ,
a x
s1 1		s 2 2		sn n	s

(i 2, s)

a11

.

...

as1
	a11

			a
			i1		и
			a11

Приходим к эквивалентной СЛУ, в которой s уравнений и n неизвестных

(новые коэффициенты при неизвестных – a	, новые свободные члены –	b ):
ij		i

	a11 x1	a12 x2 ... a1n xn b1 ,
		a	x	... a	x	b ,
		22	2	2n	n	2	(1.5)
	.............................................
		a	x	... a	x	b ,
		s 2	2	sn	n	s

Если в СЛУ (1.5) есть уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то это уравнение не удовлетворяется ни при каких значениях переменных. Поэтому можем сделать вывод о несовместности системы. Если же в СЛУ (1.5) есть уравнение, в котором и все коэффициенты левой части и свободный член равны нулю, то очевидно это уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, поэтому, отбросив его, мы приходим к равносильной системе. Аналогично, избавляемся от переменной x2 во всех уравнениях

кроме первого и второго, затем x3 из всех уравнений кроме первых трех и

т.д. В результате таких преобразований система (1.1) приведется к ступенчатому виду:

a

x a x

a

x ... a

x

... a x

b

11 1

12 2

13 3

1k k

1n n

1

a x a x ,

a x

a x b

22 2

23 3

2k k

2n n

2

...

a

x

...

a

x

,

(1.6)

a x

b

33 3

3k

k

3n

n

3

...

...

,

...........................................................................(k 1) (k 1)

(k 1)

akk

xk ... akn

xn

bk ,

Эта

часть

решения

СЛУ

называется

«прямым

ходом». Здесь

a

0, a 0,..., a(k 1) 0 . Очевидно, что

k s

и k n . Дальнейшая часть

11

22

kk

решения

(непосредственное

нахождение

неизвестных)

носит название

«обратного хода». Рассмотрим возможные случаи.

1) Если в СЛУ (1.6) k n , то СЛУ сведется к «треугольному» виду:

7

a x

a x

a

x

... a x

b ,

11 1

12 2

13 3

1n n

1

a x

2

a x ... a

x

b ,

22

23

3

2n

n

2

a

x

... a

x

b ,

(1.7)

n

33

3

3n

3

........................................................

(n 1)

(n 1)

ann

xn

bn

.

Из последнего уравнения СЛУ (1.7) найдем xn . Подставляя его в предпоследнее уравнение, найдем xn 1 . Продолжая аналогичным образом, получим, что СЛУ (1.7), а значит и СЛУ (1.1), имеет единственное решение.

2) Если в СЛУ (1.6) k n , то система сводится к трапецеидальному виду. В

этом случае считаем переменные xk 1 , xk 2 , ... , xn				«свободными». Придавая
им произвольные значения, найдем из последнего уравнения xk ,						после чего,
двигаясь по	системе	снизу вверх,	как и	выше,	найдем	значения
xk 1 , xk 2 , ... , x1 .	Так как	значения для	«свободных»		переменных можно

выбрать бесконечным числом способов, то система (1.7), а значит и система (1.1) имеет бесконечное число решений, т.е. неопределенная.

Таким образом, метод Гаусса применим для решения любой СЛУ. При этом, если в процессе преобразований получаем уравнение, у которого все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член не равен нулю, то СЛУ несовместна. В противном случае СЛУ совместна.

Если совместная СЛУ приводится к треугольному виду, то она будет определенной, а если к трапецеидальному - то неопределенной.

Отдельно стоит остановиться на однородных СЛУ. Такая система всегда совместна, поскольку имеет тривиальное решение (0, 0, ..., 0) .

Если однородной СЛУ число неизвестных больше числа уравнений, то она не может свестись к треугольному виду, поскольку в процессе «прямого хода» метода Гаусса число уравнений может лишь уменьшиться и не может увеличиться. Значит, однородная СЛУ в этом случае будет неопределенной.

При практическом решении СЛУ все преобразования проводят над строками расширенной матрицы системы.

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (30.04.1777 – 23.02.1855), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию.

Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии.

8

ЛЕКЦИЯ 2.

ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ n-ГО ПОРЯДКА

Перестановки

Def. Упорядоченное множество чисел 1 , 2 ,..., n , среди которых нет равных

и каждое из которых принимает одно из значений 1, 2, 3, …, n, называют

перестановкой.

Th.2.1 Общее число перестановок из n элементов равно n! .

Доказательство.

Элемент 1 может быть размещен в перестановке n способами, 2 – n-1 способами и т.д., n 1 – 2 способами, n – единственным способом.

Согласно правилу умножения комбинаторики все n элементов можно расположить n (n 1) (n 2)...3 2 1 n! способами.

Def. Говорят, что элементы i и j в перестановке образуют инверсию, если i j , но элемент i расположен левее.

Чтобы сосчитать число инверсий, образуемых элементами перестановки, поступают следующим образом. Сначала надо сосчитать сколько элементов стоит в перестановке перед 1 (именно они будут образовывать инверсию с 1). После этого вычеркиваем 1 и считаем количество чисел, стоящих перед 2 (это и будет количество инверсий, образуемых 2 с оставшимися элементами). Затем вычеркиваем 2 и т.д.

Общее число инверсий в перестановке 1 , 2 ,..., n обозначается inv( 1 , 2 ,..., n ) .

N. inv(5, 3, 2,1, 4, 6) 3 2 1 1 0 0 7 .

Def. Перестановка называется четной (нечетной), если ее элементы образуют четное (нечетное) число инверсий.

Def. Транспозицией называется операция перемены мест любых двух элементов.

Th.2.2	Одна транспозиция меняет четность перестановки на
	противоположную.
Доказательство.

9

1) Рассмотрим случай, когда меняются соседние элементы. Пусть перестановка до транспозиции имела вид: a1 , a2 ,..., am , , , b1 , b2 ,..., bn .

Поменяем местами и . Очевидно, что элементы ai и bj (i 1, m; j 1, n)

образуют такое же количество инверсий, что и до транспозиции. Если элементы и не образовывали инверсии, то и будут образовывать

инверсию и наоборот. Таким образом, общее число инверсий в результате такой транспозиции либо уменьшится на одну, либо увеличится на одну. Значит, четность перестановки изменится на противоположную.

2) Рассмотрим случай, когда меняются не соседние элементы. Пусть перестановка до транспозиции имела вид:

a1 , a2 ,..., am , , c1 , c2 ,..., ck , , b1 , b2 ,..., bn .

Поменяем местами элемент последовательно с элементами c1 , c2 ,..., ck . При этом имеем k транспозиций соседних элементов. Затем

поменяем местами		и (еще 1 транспозиция). И, наконец,	поменяем
местами элемент	последовательно с элементами ck , ck 1 ,..., c1 (k инверсий).
Таким образом поменялись местами элементы и поменялись местами в
результате 2k 1	транспозиции. Т.к. каждая транспозиция		соседних

элементов по доказанному меняет четность перестановки, то четность исходной перестановки изменится.

Th.2.3	Число четных перестановок из n элементов равно числу
	нечетных перестановок и равно n!/2 .

Доказательство.

Пусть p – число четных перестановок и q – число нечетных перестановок. В каждой четной перестановке выполним одну транспозицию. В силу Th.2.2 получим р нечетных перестановок. Поскольку общее число нечетных перестановок равно q, то очевидно p q . Аналогично, выполнив

одну транспозицию в каждой нечетной перестановки, то получим, что q p .

Следовательно, q p n!2 .

Очевидным является тот факт, что от любой перестановки можно перейти к любой другой путем конечного числа транспозиций.

Подстановки

Def. Подстановкой степени n называется взаимно однозначное отображение множества чисел 1, 2, 3, …, n на себя.

Записывают подстановку в виде двух перестановок, записанных друг под другом:

10