для ИПК / ЛЕКЦИИ / РАЗДЕЛ_7 / лекции БОН / Лекция 02-f-

Лекция №2

(Буланчук О.Н., каф. физики ПГТУ )

Соотношение неопределенностей Гейзенберга¹

Наличие противоречий при рассмотрении движения микрочастиц потребовало фундаментального изменения в основных классических представлениях и законах. Наличие волновых свойств у частиц должно накладывать определенные ограничения на применимость по отношению к ним понятий классической физики: импульс, координата, траектория. В пользу этого утверждения можно привести следующие аргументы:

1. В соответствии с гипотезой Де Бройля импульс зависит только от длины волны : , а в классическом случае должно зависеть от (фазовая траектория).

2. Из предыдущей лекции известно, что ширина волнового пакета и интервал волновых чисел требуемых для его представления в виде суперпозиции гармонических волн связаны соотношением: . Умножив левую и правую часть на и воспользовавшись гипотезой Де Бройля получим:

Здесь под будем подразумевать область пространства, в котором локализована частица, —разброс значений (погрешность) импульса частицы.

3. Оценим неточность (погрешность) при определении координаты и импульса частицы при прохождении через щель ширины (Рис.2.1). Будем полагать, что слева на щель падает моноэнергетический пучок электронов с импульсом (, —координата является совершенно неопределенной). В момент прохождения щели координата частиц вдоль оси известна с ошибкой , что достигается ценой утраты определенности . Действительно, при наличии волновых свойств у электронов, на экране будет наблюдаться система дифракционных полос (в отличие от одной полосы ширины в классическом случае). Направления на дифракционные минимумы определяются по формуле . Таким образом, размер изображения щели на экране (определяемый направлением на первый дифракционный минимум ) будет больше ширины щели, что возможно в случае, если частицы после щели имеют компоненту импульса вдоль . Обозначим максимальное значение компоненты импульса при движении электрона в направлении первого дифракционного минимума. По физическому смыслу определяет погрешность в определении -компоненты импульса после прохождения частиц через щель. Тогда получим:

Таким образом, видно, что попытка точно определить координату приводит к появлению дополнительного импульса вдоль оси . В данном случае также понятно, что координата частицы оказывается неопределенной, зато известна точно. При измерении координаты квантового объекта мы неизбежно сбиваем его с курса, теряя при этом информацию о направлении его движения и фазе.

Вывод: произведение погрешностей в определении координат и соответствующих импульсов . Это означает, что при уменьшении погрешности (увеличении точности измерений) в определении координаты мы увеличиваем погрешность при определении импульса . Таким образом, процесс воздействия измерения на исследуемый объект (в отличие от классической физики) нельзя сделать сколь угодно малым: чем точнее измерение тем сильнее его воздействие. С точки зрения квантовой механики, процесс измерения заключается в следующем: физический прибор, подчиняющейся законам классической физики, взаимодействует с квантово-механическим объектом. До взаимодействия прибор и объект находятся в своих состояниях, которые в результате взаимодействия изменяются. По характеру и величине изменения состояния прибора (которые определяются по его показаниям) можно судить о состоянии объекта до взаимодействия. Нетрудно видеть, что изменение состояния объекта в процессе измерения приводит к невоспроизводимости результатов эксперимента: если мы при первом измерении величины определили что она равна , и сразу же после этого, произвели ее повторное измерение, то полученное значение , уже не будет совпадать с результатом первого эксперимента. Таким образом, в самой природе процесса измерения заложена необратимость (стрела времени)—различие между прошлым и будущим. По отношению к прошлому оно “верифицирует” (проверяет) вероятности различных возможных состояний, а по отношению к будущему создает новое состояние.

Таким образом, из , следует вывод о невозможности одновременного сколь угодно точного определения импульса и соответствующей координаты частицы. А это означает, что в общем случае движение частицы нельзя представить в виде фазовой траектории.

Более точные квантово механические расчеты показали, что должны выполнятся соотношения

, ,

где – имеют смысл среднеквадратичных отклонений координат и импульсов от их средних значений (или стандартных отклонений координат и импульсов от их математических ожиданий) при одновременном определении импульсов и координат (их часто называют неопределенностями соответствующих физических величин). В эксперименте неопределенности—среднеквадратичные ошибки выборочного среднего.

Однако можно заметить, что при наблюдениях в пузырьковой камере (а также при движении электронов в электронно-лучевой трубке) явно видны треки (траектории) частиц. Почему же тогда траектория микрочастицы не должна существовать? Дело в том, что при попадании электрона в пузырьковую камеру диаметр наблюдаемых пузырьков воздуха (м) обозначающих траекторию движения оказывается значительно больше размера атома (неопределенность координаты порядка радиуса пузырька). Это означает, что движение происходит в области пространства, которая значительно превышает размеры микрочастицы (м) и говорить о траектории частицы в строгом смысле слова не совсем корректно. Однако с практической точки зрения можно полагать, что электрон движется по траектории.

Оценим неопределенность координаты электрона в электронно-лучевой трубке, если ось направлена параллельно экрану. Найдем неопределенность импульса , полагая что ширина электронного луча равна диаметру зерна на экране монитора (или телевизора) с электронно-лучевой трубкой длины и ускоряющим напряжением : м кгм/с.

Тогда

кгм/с,м

Таким образом, хотя неопределенность координаты с практической точки зрения оказывается достаточно малой (что и позволяет рассчитывать траекторию), однако она все же значительно больше размера электрона.

Кроме , существует еще одно соотношение (имеющее несколько отличающийся смысл):

Соотношения и называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Соотношение имеет две интерпретации:

1. Если система находится в стационарном состоянии, то энергию системы можно измерить лишь с точностью , где —длительность процесса измерения. Причиной этого является взаимодействие системы с измерительным прибором. Энергию взаимодействия можно учесть лишь с точностью до .

2. – неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, —характерное время, в течении которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе. В этом случае соотношение приводит следующим выводам:

1. О возможности нарушения закона сохранения энергии на величину в течении времени . Например: если в момент частица не существовала и ее энергия в вакууме равнялась нулю , затем она появилась, а в момент , когда она исчезла . Тогда из следует, что в течении возможно нарушение закона сохранения энергии на величину , которая определяет энергию родившейся и затем исчезнувшей частицы (точнее пары­: частица–античастица). С этой точки зрения вакуум не является пустотой: в нем постоянно происходят процессы рождения и уничтожения частиц. Такие частицы называются виртуальными и не поддаются непосредственному наблюдению, однако проявляются себя косвенным образом (например, вокруг электрона в вакууме образуется облако виртуальных позитронов, которые экранируют его заряд). Эксперимент с двумя пластинками в вакууме подтверждает этот вывод. Виртуальные частицы играют особую роль в теоретической физике: они являются переносчиками взаимодействий. В космологии появление виртуальных частиц вблизи черной дыры приводит к выводу об её излучении и испарении.

2. Если – время жизни частицы на энергетическом уровне с энергией (например, атом в возбужденном состоянии), —энергия основного состояния для которого , тогда – ширина возбужденного уровня. Т.е., энергии возбужденных уровней не могут быть строго определенными. Аналогично можно получить величину энергетического разброса испускаемых альфа частиц при альфа-распаде.

Соотношение неопределенностей —фундаментальный принцип квантовой механики, который устанавливает содержание и структуру ее математического аппарата. Многие задачи квантовой механики могут быть оценены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределенностей. В связи с этим рассмотрим задачу об устойчивости атома водорода. В соответствии со вторым законом Ньютона на электрон, движущийся по круговой орбите с центростремительным ускорением , действует сила Кулона:

.

Если допустить неопределенность координаты электрона в пределах половины радиуса орбиты , а неопределенность скорости в пределах скорости , тогда из соотношения неопределенностей Гейзенберга следует:

Подставив в значение скорости из получим

м,

Следовательно, движение электрона по орбите с (—радиус Бора) невозможно, электрон не может упасть на ядро—атом устойчив.

Принцип дополнительности Бора²

Следует отметить, что с точки зрения классической физики, из соотношения неопределенностей следует, что сущность микрочастиц является вещью принципиально непознаваемой (и это фактически ставит под сомнение теорию познания). Выход из этой затруднительной ситуации был найден Бором, который предложил свой знаменитый принцип дополнительности (имеющий кроме физического и общефилософское значение):

Сущность микро частиц в принципе непознаваема в рамках понятий классической физики, поскольку получение экспериментальной информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах (дополнительных к первым). Природа микрочастиц такова, что существует возможность получения информации о ней либо только как о волне, либо как о частице. В совокупности эта информация, являясь взаимно дополнительной, дает полное описание свойств микрочастицы (т.е. это все, что мы о ней можем узнать).

Взаимно дополнительными величинами (они дополняют друг друга в том смысле, что их одновременное задание дает полное описание с классической точки зрения), кроме , , являются: —кинетическая и потенциальная энергия, , – напряженность электрического поля и число фотонов. Впоследствии было выяснено, что принцип дополнительности связан с невозможностью существования такого состояния квантово-механической системы, в котором взаимно дополнительные величины имели бы одновременно точно определенные значения.

Замечание (о характере предсказаний): квантовая механика в большинстве случаев не может делать точных предсказаний, все предсказания носят вероятностный характер. Это означает, что в отличие от классической физики, при заданном начальном состоянии электрона процесс измерений может дать различные результаты (при прочих равных условиях).

Многообещающим направлением использования принципа дополнительности является квантовая криптография. Это метод обеспечивает намного более высокую надежность, нежели используемые сегодня методики защиты данных. Информация о ключе кодируется в одном единственном фотоне света, который затем должен быть передан получателю по волоконно-оптическому кабелю. Причем, согласно прнципу дополнительноси, невозможно измерить один параметр фотона, не исказив при этом другой. Иными словами, попытка перехвата ключа неминуемо спровоцирует нарушения в квантовой системе и приведет к искажению отправленной информации. Таким образом, факт проникновения в систему можно достаточно легко установить, а обменивающимся сторонам в этом случае придется только лишь повторить сеанс связи с другим ключом.

Впрочем, в настоящее время новая технология шифрования далека от совершенства. В частности, пока протяженность волоконно-оптических линий связи, использующих квантовую криптографию, не может превышать 120 км. В противном случае, прочитать ключ становится просто-напросто невозможно.

1 Вернер Карл Гейзенберг (1901-1976). Германия. (нобелевская премия 1932 г. За создание квантовой механики).

2 Нильс Хендрик Бор (1885-1962). Дания. (нобелевская премия 1922 г. За заслуги в изучении строения атомов и испускаемого ими излучения).

3