- •Лекция 12.
- •11. Волны.
- •11. 1. Упругие волны в безграничной среде.
- •11. 1. 1. Вывод волнового уравнения.
- •11. 1. 2. Уравнение плоской бегущей волны.
- •11. 2. Энергия волны.
- •11. 3. Звук.
- •11. 4. Интерференция волн
- •11. 4. 1. Принцип суперпоиции. Интерференция.
- •11. 4. 2. Стоячие волны
- •11. 4. 2. 1. Основные положения.
- •11. .4. 2. 2. Представление стоячих волн.
- •11. 4. 2. 3. Собственные частоты и характеристические длины волн.
- •11. 4. 2. 4. Собственные колебания и формы колебаний.
- •11. 4. 2. 5. Фигуры Хладни.
- •11. 5. Распространеиие волн в средах с дисперсией. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости.
- •11. 6. Эффект Доплера для звуковых волн.
- •Понятие о солитонах.
Федун В.И. Конспект лекций по физике Механические колебания и волны
Лекция 12.
11. Волны.
Волной принято называть распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Изменения величины могут носить как периодический, так и непериодический характер. Для того, чтобы эти изменения могли распространяться в некоторой области пространства, необходимо наличие некоторых условий; в частности, в каждой точке рассматриваемой области физическая величина должна иметь определенное значение (принято говорить, что величина имеет полевой характер). Кроме того должна осуществляться взаимосвязь изменения физической величины в одной точке пространства с изменением этой же величины в соседних точках. Скорость распространения изменения (возмущения) определяется как природой изменяемой величины, так и свойствами среды, в которой распространяется это изменение. При этом определенную роль играет направление колебаний в волне. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такие волны называют продольными волнами. Если же колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то такие волны являются поперечными волнами. Например, распространение звука - это продольные волны. Примером поперечных волн могут служить волны на поверхности воды.
Если относительное изменение величины (т.е. изменение, деленное на саму величину) мало по сравнению с единицей, то такое изменение называют возмущением физической величины. Примером распространения возмущения могут служить волны на поверхности воды, возникающие при бросании в воду камешка. Образовавшиеся искажения поверхности воды распространяются во все стороны, образуя своеобразные кольцевые структуры. Возникшая волна достигнет некоторой точки, отстоящей на расстояние от места падения камня в воду через время, где- скорость распространения возмущения по поверхности воды.
11. 1. Упругие волны в безграничной среде.
11. 1. 1. Вывод волнового уравнения.
(Для усвоения этого материала необходимо повторить лекцию «Элементы механики сплошных сред»). Пусть в покоящейся среде, например жидкости или газе, на некоторую ее область будет оказано определенное воздействие. Тогда в среде будут наблюдаться отклонения величин от ранее существовавших. В этом случае плотность среды, скоростьи давлениев элементарном объеме жидкости можно представить в виде сумм данных величин, определяющих состояние жидкости в невозмущенном состоянии, и их отклонений от этого состояния, т.е.
(11.1) |
Здесь - значения плотности, давления и скорости жидкости в элементарном ее объеме в невозмущенном состоянии, а- отклонения этих величин при возмущении.
Опишем динамику этого возмущения с помощью основных уравнений гидродинамики. Для простоты будем полагать, что жидкость невязкая. Тогда уравнение непрерывности
(11.2) |
и дифференциальное уравнение движения
(11.3) |
примут вид
(11.4) |
и
(11.5) |
Отметим, что в нашем рассмотрении отклонения величин при возмущении много меньше их равновесных значений. К тому же скоростьбудем считать очень маленькой по сравнению с некоторой скоростью. (Смысл последней величиныраскроем позже).
Тогда уравнения (11.2) и (11.3) после отбрасывания слагаемых второго порядка малости примут вид
(11.6) |
и
(11.7) |
Из школьного курса физики известно уравнение Менделеева – Клапейрона, которое можно записать в виде . Это уравнение также называютуравнением состояния. Вообще, уравнением состояния называют любое уравнение, которое указывает на некоторую функциональную зависимость между параметрами среды. Следовательно, давление в среде можно выразить через плотность среды, т.е.. Тогда (11.7) можно записать в виде
(11.8) |
Теперь продифференцируем уравнение (11.6) по времени, а уравнение (11.8) умножим на оператор Гамильтона . Получаем систему дифференциальных уравнений:
или
(11.9) |
Уравнение вида (11.9) называют волновым уравнением. Нетрудно видеть, что в этом уравнении вторая производная по времени некоторой величины (в данном случае плотности) равна произведению второй производной этой величины по координатам на квадрат некоторой величины, имеющей размерность скорости.
Как показывает математика (и в чем нетрудно убедиться самим), решением уравнения (11.9) в одномерном случае может служить любая функциятакая, что
, |
(11.10) |
Хотя волновое уравнение (11.9) получено для частного случая продольных упругих волн, оно имеет достаточно общий вид. Его можно получить сравнением вторых производных любой функции по координате и времени соответственно, если эта функция зависит от аргумента вида .
Тогда (при ) первые производные функции сложного аргумента равны
=и |
|
соответственно, а вторые производные равны:
== |
(11.11) |
и
=; |
(11.12) |
где ; ; .
Сравнивая (11.11) и (11.12), получаем:
=, |
(11.13) |
откуда следует, что скорость распространения продольных упругих волн равна:
(11.14) |
Таким образом, решением волнового уравнения являются функции от аргумента . Эти функции характеризуют плоскую волну,
распространяющуюся вдоль оси (см. рис. 11.1). Если же аргументом функции взять, то эти функции будут характеризовать плоскую волну, распространяющуюсяпротив положительного направления оси . | |
Рисунок 11.1. |
Аргумент функции (11.10) показывает, что в сопутствующей (т.е. движущейся относительно лабораторной системы координат со скоростью )системе координат форма возмущения не изменяется, а само возмущение неподвижно относительно сопутствующей системы координат.
Следовательно, скорость есть скорость распространения возмущений илискорость звука в среде.
Отметим, что процесс распространения звука носит адиабатический характер. Тогда скорость распространения звука в газе
(11.15) |
где - показатель адиабаты.
(Вывод волнового уравнения для возмущений в струне и стержне на лекции или самостоятельно с помощью рекомендуемой литературы)