Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
физика / 12_uprugie_volny.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
778.75 Кб
Скачать

Федун В.И. Конспект лекций по физике Механические колебания и волны

Лекция 12.

11. Волны.

Волной принято называть распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Изменения величины могут носить как периодический, так и непериодический характер. Для того, чтобы эти изменения могли распространяться в некоторой области пространства, необходимо наличие некоторых условий; в частности, в каждой точке рассматриваемой области физическая величина должна иметь определенное значение (принято говорить, что величина имеет полевой характер). Кроме того должна осуществляться взаимосвязь изменения физической величины в одной точке пространства с изменением этой же величины в соседних точках. Скорость распространения изменения (возмущения) определяется как природой изменяемой величины, так и свойствами среды, в которой распространяется это изменение. При этом определенную роль играет направление колебаний в волне. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такие волны называют продольными волнами. Если же колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то такие волны являются поперечными волнами. Например, распространение звука - это продольные волны. Примером поперечных волн могут служить волны на поверхности воды.

Если относительное изменение величины (т.е. изменение, деленное на саму величину) мало по сравнению с единицей, то такое изменение называют возмущением физической величины. Примером распространения возмущения могут служить волны на поверхности воды, возникающие при бросании в воду камешка. Образовавшиеся искажения поверхности воды распространяются во все стороны, образуя своеобразные кольцевые структуры. Возникшая волна достигнет некоторой точки, отстоящей на расстояние от места падения камня в воду через время, где- скорость распространения возмущения по поверхности воды.

11. 1. Упругие волны в безграничной среде.

11. 1. 1. Вывод волнового уравнения.

(Для усвоения этого материала необходимо повторить лекцию «Элементы механики сплошных сред»). Пусть в покоящейся среде, например жидкости или газе, на некоторую ее область будет оказано определенное воздействие. Тогда в среде будут наблюдаться отклонения величин от ранее существовавших. В этом случае плотность среды, скоростьи давлениев элементарном объеме жидкости можно представить в виде сумм данных величин, определяющих состояние жидкости в невозмущенном состоянии, и их отклонений от этого состояния, т.е.

(11.1)

Здесь - значения плотности, давления и скорости жидкости в элементарном ее объеме в невозмущенном состоянии, а- отклонения этих величин при возмущении.

Опишем динамику этого возмущения с помощью основных уравнений гидродинамики. Для простоты будем полагать, что жидкость невязкая. Тогда уравнение непрерывности

(11.2)

и дифференциальное уравнение движения

(11.3)

примут вид

(11.4)

и

(11.5)

Отметим, что в нашем рассмотрении отклонения величин при возмущении много меньше их равновесных значений. К тому же скоростьбудем считать очень маленькой по сравнению с некоторой скоростью. (Смысл последней величиныраскроем позже).

Тогда уравнения (11.2) и (11.3) после отбрасывания слагаемых второго порядка малости примут вид

(11.6)

и

(11.7)

Из школьного курса физики известно уравнение Менделеева – Клапейрона, которое можно записать в виде . Это уравнение также называютуравнением состояния. Вообще, уравнением состояния называют любое уравнение, которое указывает на некоторую функциональную зависимость между параметрами среды. Следовательно, давление в среде можно выразить через плотность среды, т.е.. Тогда (11.7) можно записать в виде

(11.8)

Теперь продифференцируем уравнение (11.6) по времени, а уравнение (11.8) умножим на оператор Гамильтона . Получаем систему дифференциальных уравнений:

или

(11.9)

Уравнение вида (11.9) называют волновым уравнением. Нетрудно видеть, что в этом уравнении вторая производная по времени некоторой величины (в данном случае плот­ности) равна произве­дению второй производ­ной этой величины по коорди­натам на квадрат некоторой величины, имеющей размерность скорости.

Как показывает математика (и в чем нетрудно убедиться самим), решением уравнения (11.9) в одномерном случае может служить любая функциятакая, что

,

(11.10)

Хотя волновое уравнение (11.9) получено для частного случая продольных упругих волн, оно имеет достаточно общий вид. Его можно получить сравнением вторых производных любой функции по координате и времени соответственно, если эта функция зависит от аргумента вида .

Тогда (при ) первые производные функции сложного аргумента равны

=и

соответственно, а вторые производные равны:

==

(11.11)

и

=;

(11.12)

где ; ; .

Сравнивая (11.11) и (11.12), получаем:

=,

(11.13)

откуда следует, что скорость распространения продольных упругих волн равна:

(11.14)

Таким образом, решением волнового уравнения являются функции от аргумента . Эти функции характеризуют плоскую волну,

распространяющуюся вдоль оси (см. рис. 11.1). Если же аргументом функции взять, то эти функции будут характе­ризовать плоскую волну, распространяющуюсяпротив положительного направления оси .

Рисунок 11.1.

Аргумент функции (11.10) показывает, что в сопутствующей (т.е. движущейся относительно лабораторной системы координат со скоростью )системе координат форма возмущения не изменяется, а само возмущение неподвижно относительно сопутствующей системы координат.

Следовательно, скорость есть скорость распространения возмущений илискорость звука в среде.

Отметим, что процесс распространения звука носит адиабатический характер. Тогда скорость распространения звука в газе

(11.15)

где - показатель адиабаты.

(Вывод волнового уравнения для возмущений в струне и стержне на лекции или самостоятельно с помощью рекомендуемой литературы)

Соседние файлы в папке физика