Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
физика / Atom_vodoroda.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
497.15 Кб
Скачать

Фудун В.И. Конспект лекций по физике. Лекция 3.6

Атом водорода. Квантовые числа

  1. Атом водорода

Ранее были отмечены проблемы физики XXвека, одной из которых является устойчивость атома и оптический спектр его излучения. Рассмотрим

поставленную задачу в рамках квантовой механики. Начнем с самого простого по своему строению атома водорода. Будем полагать, что ядро атома неподвижно, поскольку его масса в 1836 раз больше массы электрона.

Также не будем учитывать релятивистские эффекты. Тогда можно говорить, что электрон находится в бесконечно глубокой потенциальной яме, в центре

которой расположено положительное ядро. Эту яму (потенциальную энергию электрона) можно описать выражением

(1)

где е – величина элементарного заряда,r – расстояние от центра ямы.

Выражение (1) указывает на необходимость проведения решения в сферических координатах (см. рис. 1) Тогда уравнение Шредингера примет вид:

, (2)

где - угловая часть Лапласиана.

Подробнее решение уравнения (2) требует серьезной математической подготовки. Поэтому приведем лишь некоторые моменты его решения.

Во-первых, укажем на ограничения, накладываем на некоторую волновую функцию :

  1. функция везде должна быть однозначной

  2. функция должна быть ограниченной

  3. предел

Удовлетворяющие этим требованиям волновые функции называются собственными функциями, а соответствующие им значения полной энергии Е -собственными значениями.

Во-вторых: для решения уравнения (2) волновую функцию удобно представить в виде произведения функций ль одного аргумента.

=(3)

Сама постановка задачи указывает на то, что решение должно обладать симметрией относительно оси z, т.е. функциядолжна иметь вид:

(4)

  1. Пространственное квантование

Величиной Lzвходящей в показатель экспоненты в формулу (4) является проекция момента импульса электронана осьz.

Обратим внимание на следующее свойство функции . При замене аргументанаее значение не должно изменяться. Этому требованию удовлетворяют только целочисленные значения отношения.

Следовательно, проекция момента импульса на выбранное направление может принимать только кратные постоянной Планка значения (в том числе и отрицательные).

(5)

Где me – целое число ( название дадим ему чуть позже).

Иными словами в атоме наблюдаются строго определенные ориентации момента импульса. Данная особенность в ориентации векторных величин в квантовой механике получила название пространственного квантования.

  1. Гиромагнитные соотношения. Магнитное квантовое число

Выясним смысл числа . Обратимся к классической физике, а именно к гипотезе Ампера о молекулярных токах, что было нами рассмотрено ранее.. При рассмотрении этого вопроса было показано, что заряженная частица при движении по окружности с угловой скоростьювызывает эквивалентный ток, величина которого

при этом магнитный момент такого кругового тока

, (7)

где r– радиус орбиты.

Поскольку момент импульса частицы

,

то (7) запишем так

Отсюда

(8)

Это соотношение в физике получило название гиромагнитного соотношения. Для электрона его следует записать так

(9)

где е- величина заряда электрона. Здесь знак «минус» говорит о том, что векторы магнитногои механическогомоментов имеют противоположные направления.

Выражение (9) справедливо и для проекции моментов. Тогда проекция магнитного момента на выбранное направление

или с учетом (5)

(10)

здесь - магнетон Бора (0,927 10-232)

Таким образом, число определяет среднее значение проекции магнитного момента электрона. Данное число получило названиемагнитного квантового числа.

Следует отметить, что квантовая механика показывает, что магнитный момент электрона никогда не может совпадать по направлению с внешним магнитным полем (см. рис.2).

  1. Момент импульса электрона. Орбитальное квантовое число

Если атом абсолютно свободен от внешних воздействий, то любое направление zявляется равновероятным. Одновременные измерения всех составляющих момента импульса по трем взаимно перпендикулярным направлениям будут одинаковы. При этом средние квадратические отклонения полученных величин будут подчиняться соотношению неопределенностей

Тем не менее, в силу равноправности направлений среднее значение проекций момента равны друг другу <Lx>=<Ly>=<Lz>. Тогда квадрат модуля момента имеет среднее значение

<>=<Lх>2+<Ly>2+<Lz>2=,

где - среднее значение квадрата.

Обозначим через lмаксимально возможное значение.

Тогда

и

(6)

Из (6) видно, что число lопределяет среднее значение (орбитального) импульса электрона. По этому, данное числоl называюторбитальным квантовым числом.

  1. Собственные волновые функции. Энергия электрона в атоме водорода. Главное квантовое число

Подробное решение уравнения (2) и его анализ показывают, что собственные волновые функции уравнения (2) ( при Е<0) имеют вид

(7)

где - радиальная составляющая волновой функции,—сферические функции,—присоединенные полиномы Лежандра.

Пример:

при

, ,

м — радиус Бора

При этом сферические функциизависят двух квантовых чиселl и .

Радикальная функция Rn,l, зависит от двух чисел: орбитальногоlи главного квантовогоn. При этом решения возможны, еслиn>l

Соседние файлы в папке физика