Федун В.И. Конспект лекций по физике Механические колебания и волны

Лекция 10.

9. 1. Сложение гармонических колебаний.

9.1. Сложение колебаний одного направления одинаковой частоты.

Наиболее простым примером является сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которые можно представить в аналитическом виде

	(9.1)
и .	(9.2)

В векторном виде эти колебания представлены на рисунке 9.1.

A A2 2-1 02 2 A1 011 x1 x2	Поскольку оба слагаемых вектора вращаются с одинаковой частотой, то суммарный вектор также будет вращаться с этой же частотой. Следовательно, результатом суммы ибудет гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого находится как диагональ параллелограмма, построенного на векторахи:
Рисунок 9. 1.
		(9.3)

Определим разность начальных фаз из рисунка 9.1. Выразим тангенс начальной фазырезультирующего колебания так:

,

(9.4)

где и-проекции амплитуды суммарного колебания на осии, соответственно. Как следует из рисунка 5, значениеравно сумме проекций на оськаждого из слагаемых колебаний:

(9.5)

Аналогичное получаем выражение для суммарной проекции на ось

(9.6)

Тогда

(9.7)

Таким образом, определены основные параметры суммарного колебания: амплитуда, частота и начальная фаза.

9. 1. 1. Сложение колебаний одного направления с близкими частотами. Биения.

Несколько сложнее найти сумму двух колебаний одного направления, если их частоты отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие незначительно, т.е.

и

,

причем . Получим аналитически результат такого сложения.

Биения. Сначала рассмотрим достаточно простой случай токого сложения, когда амплитуды таких колебаний равны (=). Тогда имеем колебания

(9.8)

и

(9.9)

Поскольку , то

(9.10)

Здесь величину можно рассмат­ривать как медленно меняющуюся амплитуду. Пусть для простоты начальные

	фазы обоих колебаний одинаковы. Результат суммы таких колебаний, представленный на рис. 9.2, называется биениями. Примером биений является известное «завывание» двигателей много­моторных самолетов.
Рисунок 9. 2.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда амплитуды слагаемых колебаний неодинаковы.

Пусть амплитуда второго колебания больше амплитудыпервого колебания. Тогда имеем колебания

(9.11)

и

(9.12)

Поскольку , то

и

(9.13)

Получили достаточно сложное для восприятия аналитическое выражение. Результат приобретает более наглядный вид при построении графика такого сложения колебаний (см. рис. 9.3).

	Картина наблюдающихся биений отличается от предыдущей, т.к. теперь суммарная амплитуда изменяется от значения до. Важно отметить, что в обоих случаях суммарное колебание не является гармоническим, хотя оно и записывается в виде произведения гармонических функций, т.к. его амплитуда не остается постоянной и медленно изменяется с течением времени.(рис. 9.3).
Рисунок 9. 3.