Вища математика1 / lin_alg_1k2s

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка

О.О.Безущак, О.Г.Ганюшкiн

ЗАВДАННЯ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З ЛIНIЙНОЇ АЛГЕБРИ (ВЕКТОРНI ПРОСТОРИ )

для студентiв унiверситетiв

Київ Видавничо–полiграфiчний центр “Київський унiверситет“

2010

О.О.Безущак, О.Г.Ганюшкiн. Завдання до практичних занять з лiнiйної алгебри (векторнi простори): для студентiв унiверситетiв. – К.: Видавничо–полiграфiчний центр “Київський унiверситет”, 2010. – 257 с.

Рецензенти: д-р фiз.-мат. наук, проф. Ю.В.Боднарчук д-р фiз.-мат. наук, проф. М.Ф.Городнiй д-р фiз.-мат. наук, проф. Ю.А.Дрозд

Наведено завдання для практичних занять з лiнiйної алгебри у другому семестрi в обсязi, передбаченому навчальними планами механiко

– математичного факультету. Посiбник мiстить завдання для аудиторної роботи i задачi для домашнiх завдань. Наявнiсть великої кiлькостi задач рiзної складностi дозволяє використовувати посiбник як збiрник задач.

Рекомендовано до друку вченою радою механiко – математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (протокол № 2 вiд 12 жовтня 2009 року)

Змiст

Передмова		4
Позначення		5
Заняття 1. Простори та їх пiдпростори		7
Заняття 2. Координати та розмiрностi		15
Заняття 3. Дiї з пiдпросторами		26
Заняття 4. Лiнiйнi вiдображення та їх матрицi		38
Заняття 5.	Дiї над вiдображеннями	51
Заняття 6.	Власнi числа та вектори	60
Заняття 7.	ЖНФ: нiльпотентний випадок	74
Заняття 8.	ЖНФ: загальний випадок	95

Заняття 9. Мiнiмальний многочлен та функцiї вiд матриць118

Заняття 10. Iнварiантнi та кореневi пiдпростори		126
Заняття 11. Лiнiйнi функцiї. Спряжений простiр		139
Заняття 12.	Бiлiнiйнi функцiї	148
Заняття 13.	Квадратичнi функцiї	161
Заняття 14.	Геометрiя евклiдових та унiтарних просторiв	173
Заняття 15.	Ортогоналiзацiя й проектування	184

Заняття 16. Оператори в евклiдових та унiтарних просторах199

Заняття 17. Нормальнi оператори	214
Вiдповiдi та вказiвки	231
3

Передмова

Навчальнi завдання повнiстю охоплюють теми практичних занять, що проводяться у другому семестрi при вивченнi на механiко–матема- тичному факультетi нормативного курсу лiнiйної алгебри.

Кожне завдання складається з чотирьох частин. Спочатку наводяться приклади розв’язання типових задач. Друга й третя частини мiстять задачi, що розглядаються на практичних заняттях (задачi другої частини є обов’язковими, третьої розрахованi на сильнiших студентiв), а четверта задачi для домашнього завдання. Важчi задачi позначено зiрочками, причому кiлькiсть зiрочок є мiрою складностi задачi. До задач наведено вiдповiдi, а для багатьох з них i вказiвки до розв’я- зання.

При посиланнi на задачу використовується подвiйна нумерацiя: перша цифра номер заняття, а друга номер задачi.

Пiсля кожного заняття наведено посилання на найбiльш доступнi пiдручники, у яких можна знайти необхiдний теоретичний матерiал.

4

Позначення

НСД(a; b) найбiльший спiльний дiльник чисел a та b; НСК(a; b) найменше спiльне кратне чисел a та b; A> матриця, транспонована до матрицi A;

jAj потужнiсть множини A;

(a) база векторного простору, що складається з векторiв a1; : : : ; an; A µ B A є пiдмножиною B;

A ½ B A є власною пiдмножиною B (тобто A µ B i A =6 B); B(M) множина всiх пiдмножин n–елементної множини M;

C множина, або адитивна група, або поле комплексних чисел; C¤ мультиплiкативна група поля комплексних чисел;

Cn група за множенням усiх комплексних коренiв степеня n з 1; def(') дефект лiнiйного вiдображення ';

diag(a1; : : : ; an) дiагональна матриця з a1; : : : ; an на дiагоналi; dim V розмiрнiсть векторного простору V ;

Eij матрична одиниця (матриця, в якої в i–му рядку на j–му мiсцi стоїть 1, а решта елементiв нулi);

Eij(k) матриця, яка вiдрiзняється вiд одиничної матрицi E тим, що додатково на мiсцi (i; j) стоїть k;

Ei(k) матриця, яка вiдрiзняється вiд одиничної матрицi E тим, що на мiсцi (i; i) стоїть k;

GLn(P ) повна лiнiйна група група за множенням усiх невироджених матриць порядку n з коефiцiєнтами з поля P ;

Hom(V; W ) множина всiх лiнiйних вiдображень з простору V у простiр W ;

Im ' = fw 2 W j iснує такий v 2 V; що '(v) = wg образ лiнiйного вiдображення ' : V ! W ;

Ker ' = fv 2 V j '(v)=0g ядро лiнiйного вiдображення ':V !W ; L(S) або hSi лiнiйна оболонка системи векторiв S;

Mn£m(P ) множина усiх матриць розмiру n £ m з коефiцiєнтами з поля P ;

Mn(P ) множина усiх квадратних матриць порядку n з коефiцiєнтами з поля P ;

N0 множина N [ f0g; 0 нульовий вектор;

5

Pij матриця, яка вiдрiзняється вiд одиничної матрицi E тим, що на (i; i)–му та (j; j)–му мiсцях стоять нулi, а на (i; j)–му та (j; i)–му мiсцях стоять одиницi;

P n арифметичний векторний простiр розмiрностi n над полем P ; P [x] векторний простiр усiх многочленiв вiд x з коефiцiєнтами з

поля P ;

Pn[x] векторний простiр усiх многочленiв вiд x степеня не бiльшого нiж n з коефiцiєнтами з поля P ;

Pn[x1; : : : ; xk] простiр усiх многочленiв степеня не бiльшого нiж n вiд змiнних x1; : : : ; xk з коефiцiєнтами з поля P ;

P(n)[x1; : : : ; xk] простiр усiх однорiдних многочленiв степеня n вiд змiнних x1; : : : ; xk з коефiцiєнтами з поля P ;

Q+ мультиплiкативна група всiх додатних рацiональних чисел; Q¤ мультиплiкативна група поля рацiональних чисел;

R+ мультиплiкативна група всiх додатних дiйсних чисел; R¤ мультиплiкативна група поля дiйсних чисел;

r(') або rank(') ранг лiнiйного вiдображення '; T(a)!(b) матриця переходу вiд бази (a) до бази (b); tr A слiд матрицi A;

V'(¸) кореневий пiдпростiр перетворення ', що вiдповiдає власному числу ¸;

V'(¸) власний пiдпростiр перетворення ', що вiдповiдає числу ¸; [v](e) координати вектора v в базi (e);

v; w; : : : вектори лiнiйного простору V ;

Zn множина класiв лишкiв за модулем натурального числа n; O нульове перетворення або нульова матриця;

" тотожне перетворення;

['] матриця лiнiйного вiдображення ';

' ± à або 'à композицiя вiдображень ' i à (тобто (' ± Ã)(x) =

Ã('(x)) ).

6

Векторнi простори та їх пiдпростори позначатимуться великими буквами латинського алфавiту V , W , U, : : : , вектори малими жирними буквами v; w; u; : : : . Для елементiв поля скалярiв P використовуватимемо малi букви грецького алфавiту ®; ¯; ¹; : : : . n–вимiрний арифметичний векторний простiр над полем P позначатимемо символом

P n:

Якщо поле скалярiв (коефiцiєнтiв) в умовi задачi явно не вказане, вважається, що ним є поле дiйсних або поле комплексних чисел.

Заняття 1. Простори та їх пiдпростори

Необхiднi поняття. Непорожня множина V елементiв довiльної природи називається векторним (лiнiйним) простором над полем скалярiв P , якщо на множинi V введено дiї додавання та множення на скаляри, якi задовольняють аксiоми векторного простору:

(1)дiя додавання кожнiй впорядкованiй парi u, v елементiв з V ставить у вiдповiднiсть однозначно визначений елемент w = u + v з V так, що:

(a)для будь-яких елементiв u та v маємо: u + v = v + u (комутативнiсть додавання векторiв);

(b)для будь-яких елементiв u; v та w маємо: (u + v) + w = u + (v + w) (асоцiативнiсть додавання векторiв);

(c)знайдеться такий елемент 0, що для довiльного u 2 V виконується рiвнiсть: u + 0 = 0 + u = u (iснування нульового вектора);

(d)для кожного елемента u 2 V знайдеться такий елемент x 2 V , що u + x = x + u = 0 (iснування протилежного вектора);

(2)дiя множення на скаляри з поля P кожному елементу u 2 V i скаляру ® 2 P ставить у вiдповiднiсть однозначно визначений елемент v = ® ¢ v з V так, що:

(a) для будь-яких скалярiв ®; ¯ 2 P та елемента u 2 V маємо:

(®¯) ¢ u = ® ¢ (¯ ¢ u) (асоцiативнiсть множення на скаляри);

(b)для кожного елемента u 2 V та одиницi 1 поля P маємо: 1 ¢ u = u (унiтарнiсть множення на скаляри);

7

(3) i, нарештi, два дистрибутивнi закони:

(a) для будь-яких скалярiв ®; ¯ 2 P та елемента u 2 V маємо:

(® + ¯) ¢ u = ® ¢ u + ¯ ¢ u;

(b)для будь-яких скаляра ® 2 P та елементiв u; v 2 V маємо:

® ¢ (u + v) = ® ¢ u + ® ¢ v:

Нехай S деяка система векторiв. Множину всiх векторiв, якi можна подати у виглядi лiнiйної комбiнацiї якоїсь скiнченної пiдсистеми з S, називають лiнiйною оболонкою системи S i позначають L(S).

Система векторiв S називається системою твiрних векторного простору V , якщо лiнiйна оболонка системи S збiгається з простором V , тобто якщо L(S) = V .

Векторний простiр називається скiнченновимiрним, якщо в ньому iснує скiнчена система твiрних. У противному разi простiр називається

нескiнченновимiрним.

Лiнiйно незалежна система твiрних векторного простору називається його базою.

Кiлькiсть векторiв у базi простору V називається розмiрнiстю простору V i позначається dim V . Простiр розмiрностi n також називають n–вимiрним.

(Лiнiйним) пiдпростором векторного простору V називається непорожня множина векторiв з V , що сама утворює векторний простiр вiдносно тих дiй, якi заданi на V . Кожен простiр мiстить два тривiальнi пiдпростори нульовий пiдпростiр f0 g та сам простiр.

Необхiднi твердження. 1. Непорожня множина W векторiв з V утворює лiнiйний пiдпростiр тодi й лише тодi, коли виконуються такi двi умови:

a) для довiльних векторiв a та b з W їх сума a + b знову належить

W ;

b) для довiльних скаляра ® 2 P та вектора a 2 W добуток ® ¢ a знову належить W .

2. Кожна максимальна лiнiйно незалежна система векторiв простору V є його базою. Навпаки, кожна база простору V є максимальною лiнiйно незалежною системою векторiв.

Приклади розв’язання типових задач

8

Задача 1. На множинi R+ додатних дiйсних чисел наступним чином визначимо додавання i множення на скаляри з поля R :

a ¢ b = ab; ¹ ¯ a = a¹ :

Доведiть; що вiдносно цих дiй множина R+ є векторним простором над полем R.

Розв’язання. Сума додатних чисел i довiльний степiнь додатного числа знову є додатними. Тому дiї на множинi R+ визначенi коректно. Аксiоми векторного простору перевiряються безпосередньо:

1)(a ¢ b) ¢ c = ab ¢ c = a ¢ bc = a ¢ (b ¢ c).

2)Нульовий вектор x повинен для кожного a 2 R+ задовольняти рiвнiсть a = a ¢ x = ax. Отже, ним може бути лише число 1. I справдi, a ¢ 1 = a ¢ 1 = a = 1 ¢ a = 1 ¢ a.

3)Протилежний до a вектор b має задовольняти рiвнiсть 1 = a¢b = ab. Тому b має збiгатися з a¡1. I справдi, a¢a¡1 = a¢a¡1 = 1 = a¡1 ¢a = a¡1 ¢ a.

4)Дiя ¢ є комутативною, бо a ¢ b = ab = ba = b ¢ a.

5)Крiм того, 1 ¯ a = a1 = a.

6)Також легко бачити, що

¹¯ (¯ ¯ a) = ¹ ¯ a¯ = (a¯)¹ = a¹¢¯ = (¹ ¢ ¯) ¯ a :

Перевiримо виконання дистрибутивних законiв:

7) для довiльних скалярiв ¹; ¯ 2 R та вектора a 2 R+

(¹ + ¯) ¯ a = a¹+¯ = a¹ ¢ a¯ = a¹ ¢ a¯ = (¹ ¯ a) ¢ (¯ ¯ a) ;

8) для довiльних скаляра ¹ 2 R та векторiв a; b 2 R+

¹¯ (a ¢ b) = ¹ ¯ (ab) = (ab)¹ = a¹ ¢ b¹ = a¹ ¢ b¹ = (¹ ¯ a) ¢ (¹ ¯ b) :

Задача 2. Доведiть; що для довiльних попарно рiзних дiйсних чисел a1; a2; : : : ; an система функцiй ea1x; ea2x; : : : ; eanx є лiнiйно незалежною.

Розв’язання. I спосiб. Це очевидно для n = 1. Далi застосуємо iндукцiю за n. Припустимо, що

¹1ea1x + ¢ ¢ ¢ + ¹n¡1ean¡1x + ¹neanx = 0 :

(1)

9

Диференцiюючи рiвнiсть (1), отримаємо:

a1¹1ea1x + ¢ ¢ ¢ + an¡1¹n¡1ean¡1x + an¹neanx = 0 :

(2)

Якщо тепер вiд (2) вiдняти рiвнiсть (1), помножену на an, то одержимо рiвнiсть

(a1 ¡ an)¹1ea1x + ¢ ¢ ¢ + (an¡1 ¡ an)¹n¡1ean¡1x = 0 :

(3)

За припущенням iндукцiї функцiї ea1x, : : : ; ean¡1x є лiнiйно незалежними. Тому

(a1 ¡ an)¹1 = ¢ ¢ ¢ = (an¡1 ¡ an)¹n¡1 = 0 :

(4)

Оскiльки числа a1; a2; : : : ; an попарно рiзнi, то жоден з множникiв a1 ¡

an, : : : ; an¡1 ¡ an не дорiвнює 0. Тому ¹1 = ¢ ¢ ¢ = ¹n¡1 = 0. Але тодi з

(1) одразу випливає, що й ¹n = 0. Отже, рiвнiсть (1) виконується лише тодi, коли всi коефiцiєнти ¹1; ¹2; : : : ; ¹n дорiвнюють 0. Тому функцiї ea1x, ea2x, : : : ; eanx лiнiйно незалежнi.

II спосiб. Для доведення лiнiйної незалежностi функцiй ea1x, ea2x,

: : : ; eanx потрiбно показати, що рiвнiсть (1) виконується для довiльних дiйсних x лише тодi, коли всi коефiцiєнти ¹1; ¹2; : : : ; ¹n дорiвнюють 0. Зокрема, (1) має виконуватися i при x = 0; x = 1; x = 2; : : : ; x = n ¡ 1, тобто:

¹1(ea1 )0 ¹1(ea1 )1 ¹1(ea1 )2

: : : : : :

¹1(ea1 )n¡1

+¢ ¢ ¢ +

+¢ ¢ ¢ +

+¢ ¢ ¢ +

: : : :

+¢ ¢ ¢ +

¹n¡1(ean¡1 )0 ¹n¡1(ean¡1 )1 ¹n¡1(ean¡1 )2

: : : : : : : :

¹n¡1(ean¡1 )n¡1

+¹n(ean )0

+¹n(ean )1

+¹n(ean )2

:: : : : : : :

+¹n(ean )n¡1

=0;

=0;

= 0; (5)

:: :

=0:

Система (5) є системою n лiнiйних однорiдних рiвнянь вiдносно невiдомих ¹1; : : : ; ¹n¡1; ¹n. Така система має ненульовий розв’язок лише тодi, коли її визначник дорiвнює нулю. Визначник

¯	(ea11 )1	¢ ¢ ¢	(ean¡1 )1	(ean )1	¯
¯	(ea1 )2	¢ ¢ ¢	(ean¡1 )2	(ean )2	¯
¯			1	1	¯
	: : : : :	¢:¢ ¢: : : : : : : : : : : :				(6)
¯					¯
¯	(ea1 )n¡1		(ean¡1 )n¡1 (ean )n¡1		¯
¯					¯
¯		¢ ¢ ¢			¯
¯					¯
¯					¯
¯			10		¯