Вступ в нечітку логіку і системи нечіткого управління

Вступ в основи нечіткої логіки

Нечітка логіка виникла як найбільш зручний спосіб побудови систем управління метрополітенами і складними технологічними процесами, а також знайшла застосування в побутовій електроніці, діагностичних і інших експертних системах. Не дивлячись на те, що математичний апарат нечіткої логіки вперше був розроблений в США, активний розвиток даного методу почався в Японії, і нова хвиля знов досягла США і Європи. У Японії до цих пір продовжується бум нечіткої логіки і експоненціально збільшується кількість патентів, велика частина яких відноситься до простих додатків нечіткого управління.

Термін fuzzy (англ|.  нечіткий, розмитий) став ключовим словом на ринку. Нечітка логіка є багатозначною логікою, що дозволяє визначити проміжні значення для таких загальноприйнятих оцінок, як так|ні істинно|хибно, чорне|біле  і т.п. Вирази подібні таким, як злегка тепло  або досить холодно можливо формулювати математично і обробляти на комп'ютерах. Нечітка логіка з'явилася в 1965 в роботах Лотфі А. Заде (Lotfi A. Zadeh), професора технічних наук Каліфорнійського університету в Берклі.

Що таке нечітка множина?

Найголовніше поняттям систем, заснованих на нечіткій логіці, є поняття нечіткої (під) множини.

З класичної математики відоме поняття чітких (визначених)  множин.

Приклад:

Розглянемо множину X всіх чисел від 0 до 10, яку| назвемо універсумом міркування. Визначимо підмножину A множини X всіх дійсних чисел від 5 до 8.

  A = [5,8]

Покажемо характеристичну функцію множини A, ця функція ставить в відповідність| число 1 або 0 кожному елементу в X, залежно від того належить даний елемент підмножині A чи ні. Результат представлений на рис.1.

Рисунок 1 – належність до множини

Можна інтерпретувати елементи, яким поставлена у відповідність 1, як елементи, що знаходяться в мнолжині A, а елементи, яким поставлений у відповідність 0, як елементи, що не знаходяться в множині A.

Ця концепція використовується в багатьох областях додатків. Але можна легко виявити ситуації, в яких даній концепції бракуватиме гнучкості.

У даному прикладі опишемо множину молодих людей. Формальніше можна записати так

B = { множина молодих людей}

Оскільки, взагалі, вік починається з 0, то нижня межа цієї множини повинна бути нулем. Верхню межу визначити небагато складніше. На перший раз встановимо верхню межу, скажімо, рівним 20 рокам. Таким чином, отримуємо B як чітко обмежений інтервал, буквально:

B = [0,20]

Виникає питання: чому хтось в свій двадцятирічний ювілей| – молодою, а відразу наступного дня вже не молодою людиною? Очевидно, це структурна проблема, і якщо пересунути верхню межу в довільну крапку, то можна задатися таким самим питанням.

Природніший шлях отримання множини B полягає в ослабленні строгого розділення на молодих і не  молодих. Зробимо це, виносячи не тільки (чіткі) думки Так, він|вона належить множини молодих людей чи ні, він|вона не належить множині молодих людей|, але і гнучкіші формулювання  ТАК, він|вона належить до достатньо молодих людей чи ні, він|вона не дуже молода людина.

Як було сказано раніше ми використовуємо нечіткі множини, щоб зробити комп'ютер розумнішим. Представимо цю думку більш формалізованого. У першому прикладі ми кодували всі елементи універсуму міркування за допомогою 0 або 1. Простій спосіб узагальнити дану концепцію - ввести значення між 0 і 1. Реально можна навіть допустити нескінченне число значень між 0 і 1, зване одиничним інтервалом I = [0, 1].

Інтерпретація чисел при співвідношенні всіх елементів універсуму міркувань стає тепер складнішою. Звичайно, знову число 1 ставиться у відповідність (співвідноситься) тому елементу, який принедлежит| безлічі B, а 0 означає, що елемент точно не належить безлічі B. Всі інші значення визначають ступінь приналежності до безлічі B.

Рисунок 2 – характеристична функція множини молодих людей

Тобто 25-річні все ще молоді із ступенем 50 відсотків.

Операції з нечіткими множинами

Зараз, коли ми вже знаємо, що таке нечіткі множини, спробуємо визначити базові операції (дії) над нечіткими множинами. Аналогічно діям із звичайними множинами нам потрібно буде визначити перетин, об'єднання і заперечення нечітких множин. У своїй найпершій роботі по нечіткій безлічі Л. А. Заде запропонував оператора мінімуму для перетину і оператора максимуму для об'єднання двох нечітких множин. Легко бачити, що ці оператори співпадають із звичайним (чіткими) об'єднанням і перетином, тільки розглядаються ступені приналежності 0 і 1.

Щоб пояснити це, приведемо декілька прикладів. Хай A нечіткий інтервал від 5 до 8 і B нечітке число близько 4, як показано на малюнку.

Наступний приклад ілюструє нечітка множина між 5 і 8 І (AND) близько 4 (синя лінія).

Нечітка множина між 5 і 8 АБО (OR) близько 4 показано на наступному малюнку (знову синя лінія).

Наступний малюнок ілюструє операцію заперечення. Синя лінія - це ЗАПЕРЕЧЕННЯ нечіткої множини А.