Лекція №8-9 формалізація недостовірних і нечітких знань Модальна логіка предикатів

У буденній мові часто говорять про допустимість чого-небудь, про гіпотетичні події, цілі, які можна намагатися досягти, припущення про майбутнє. Велика частина фраз мови може бути то істинною те помилкової залежно від обставин, теперішнього моменту, точки зору кожного з нас. У природних мовах модальності «можливий», «необхідний» і «допустимий», виражаються допоміжними дієсловами, такими як «повинен» і «можу».

Можливість і необхідність називаються алетичними модальностями або модальностями можливості. Так само, як квантори «для всіх» і «існує» вводилися в синтаксисі логіки першого порядку, можна побудувати формальну мову, використовуючи пару понять „можливо”/„необхідно” як квантори, що діють на формули. Логічна система, що базується на операторах „можливо, щоб”, і „необхідно, щоб”, називається логікою можливого, або алетичною логікою.

Для позначення модальності «необхідно» використовується символ . Формула F читається «необхідно, щоб F» або «F необхідне». Подвійний  оператор позначається . Формула F читається «можливо, що F» або «F можливо». Один з цих операторів приймається за основний, а іншій визначається через нього і заперечення (еквівалентність àF   àù F можна встановити, застосовуючи доведення, подібні тим, які можна використовувати при доказі співідношень xF ºù xù F).

У буденній мові уживаються і інші модальні форми, які важливо перенести в логіку. Деонтічеськая логіка вводить модальності «дозволено» «обов'язково», реалізовуючі модальні мовні конструкції «вирішується» «треба, щоб». Епістемічна логіка, або логіка знання досліджує модальності «знання» і «віри», тоді як часова логіка вводить модальності «іноді» і «завжди» (в „майбутньому” і „минулому2) разом з їх запереченнями «часто» і «ніколи».

Зважаючи на формальну схожість між цими логічними системами їх часто вивчають всі разом або хоч би по групах. Часто використовують термін модальна логіка для позначення сукупності цих логік. Найстарша серед них – логіка можливого. Часто саме її називають модальною.

Назва модальна логіка походить від того, що модальні логічні системи вводять такі оператори над логічними формулами, які дозволяють модифікувати їх інтерпретацію. Наприклад, в твердженнях „Можливо, що F”, „Василь думає, що F”, „Часто правда, що F”, „В майбутньому, можливо, буде правда, що F”, вирази, що передують логічній формулі F є модальними операторами. Вони можуть відноситися до якої завгодно логічної формули F. Значення істинності цих формул залежить не тільки від значення істинності формули F, яку вони містять, але і від моменту проголошення модальної формули (часові логіки), від людини, яка думає, що F, або вірить, що F (логіки віри), або від необхідного, можливого або випадкового характеру деякого факту (логіки можливого).

Модальні оператори

Є схожість між визначеннями кожної з пар операторів (на зразок «можливо»/«напевно», „іноді”/„завжди” і т.д.) і визначенням пари кванторів існування/узагальнення в логіці першого порядку. Це підказує наступне загальне визначення модальних операторів.

Модальний оператор узагальнення  є:

– або іменем модального оператора

– або виразом, що складається з імені модального оператора, за яким слідує список (t₁, ..., t_n) термів t_і (­і = 1,...,n).

Модальний оператор існування  визначається через заперечення модального оператора узагальнення:

F=def ù ù F. (1)