Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы_III-IV.doc
Скачиваний:
97
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
1.36 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тобольская государственная социально-педагогическая академия

им. Д.И. Менделеева”

Кафедра математики, ТиМОМ

Валицкас А.И.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

НАУК

Тобольск – 2012

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Глава III.

Евклидовы пространства . . . . . .

3

§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства . .

3

§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах . .

6

§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств . .

8

§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств . .

10

Глава IV.

Линейные операторы в векторных пространствах .

13

§ 1. Определение и простейшие свойства . . . .

13

§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах .

19

§ 3. Матрица перехода от базиса к базису . . . .

24

§ 4. Матрица линейного оператора . . . . .

27

§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора . .

31

§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора .

36

§ 7. Собственные числа и векторы линейного оператора .

39

§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи . .

45

§ 9. О подобии матриц . . . . . .

47

§ 10. Спектр симметричного оператора . . . .

55

Глава V.

Дифференцирования в банаховых пространствах .

63

§ 1. Метрические и банаховы пространства . . .

63

Литература

. . . . . . . . . . .

74

Глава III. Евклидовы пространства

§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства

Пусть V – векторное пространство над R . Скалярным произведением на V называется отображение от двух аргументов (_ , _) : VV R , обладающее следующими свойствами:

1. свойство неотрицательности: v V \ {0} (v , v) > 0,

2. свойство аддитивности по первому аргументу:

u, v, w V (u + v , w) = (u , w) + (v , w),

3. свойство однородности по первому аргументу:

u, v V R (u , v) =  (u , v),

4. свойство симметричности: u, v V ( u , v) = ( v , u) .

Примеры: 1. Пусть V = R2. Если для u = (x1 , x2) V, v = (y1 , y2) V определить (u , v) формулой (u , v) = x1y1 + x2y2 , то нетрудно понять, что таким образом будет задано скалярное произведение на R2 (?!). Это скалярное произведение не единственно: например, можно было задать на V другое скалярное произведение (u , v) = x1 y1 + 2x2y2 .

2. Пусть V = V2(O, R) – векторное пространство всех направленных отрезков плоскости, отложенных от фиксированной точки О. Тогда скалярное произведение на V можно задать формулой (u , v) = |u||v|cos, где угол между векторами u и v. В этом можно убедиться, например, так: введя на плоскости прямоугольную систему координат с центром в точке О (см. рис.), получим

(u, v) = x1y1+x2y2 = |u|cos(+)|v|cos + |u|sin(+)|v|sin =

= |u||v|[cos(+)cos + sin(+)sin] = |u||v|[coscos2 – sinsincos +

+ sinsincos + cossin2] = |u||v|cos .

Поэтому можно воспользоваться предыдущим примером. А как можно проще проверить свойства этого скалярного произведения ?

3. Предыдущие примеры можно обобщить на другие пространства, например, на V = R3 и V = V3(O, R) (как ?!).

4. Формула (u, v) = x1y1 + … + xnyn задаёт скалярное произведение векторов u = (x1 ; … ; xn), v = (y1 ; … ; yn) пространства Rn, называемое стандартным. Аналогично определяется стандартное скалярное произведение векторов пространства nR .

5. Пусть V = { f : [0, 1] R | f непрерывна и интегрируема на [0, 1]}. Тогда формула (f, g) = задаёт скалярное произведение на V.

Упражнения: 1. При каких условиях на коэффициенты a, b, c, d, e R формула ( u , v) = ax1y1 + bx1y2 + cx2y1 + dx2y2 + e задаёт скалярное произведение в R2 ?

2. Будет ли ( u , v) = x1y1 + … + xn–1yn–1 – xnyn скалярным произведением в Rn ?