- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава III. Евклидовы пространства
- •§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства
- •Свойства скалярного произведения
- •§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах
- •Свойства длины в евклидовых пространствах
- •§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
- •§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств
- •Глава IV. Теория линейных операторов в векторных пространствах
- •§ 1. Определение и простейшие свойства
- •Простейшие свойства линейных операторов
- •§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах
- •Простейшие свойства матричного формализма
- •§ 3. Матрица перехода от базиса к базису
- •Свойства матрицы перехода
- •Изменение координатного столбца при переходе от базиса к базису
- •§ 4. Матрица линейного оператора
- •Координатная форма записи линейного оператора
- •Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису
- •Свойства матрицы линейного оператора
- •§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора
- •§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора
- •§ 7. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи
- •§ 9. Post Scriptum : о подобии матриц
- •§ 10. Спектр симметричного оператора Ортогональные дополнения подпространств евклидова пространства
- •Симметричные линейные операторы
- •Глава V. Дифференцирования в банаховых пространствах
- •§ 1. Метрические пространства
- •Матричные нормы
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Тобольская государственная социально-педагогическая академия
им. Д.И. Менделеева”
Кафедра математики, ТиМОМ
Валицкас А.И.
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
НАУК
Тобольск – 2012
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Глава III. |
Евклидовы пространства . . . . . . |
3 |
|
§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства . . |
3 |
|
§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах . . |
6 |
|
§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств . . |
8 |
|
§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств . . |
10 |
|
|
|
Глава IV. |
Линейные операторы в векторных пространствах . |
13 |
|
§ 1. Определение и простейшие свойства . . . . |
13 |
|
§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах . |
19 |
|
§ 3. Матрица перехода от базиса к базису . . . . |
24 |
|
§ 4. Матрица линейного оператора . . . . . |
27 |
|
§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора . . |
31 |
|
§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора . |
36 |
|
§ 7. Собственные числа и векторы линейного оператора . |
39 |
|
§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи . . |
45 |
|
§ 9. О подобии матриц . . . . . . |
47 |
|
§ 10. Спектр симметричного оператора . . . . |
55 |
|
|
|
Глава V. |
Дифференцирования в банаховых пространствах . |
63 |
|
§ 1. Метрические и банаховы пространства . . . |
63 |
|
|
|
Литература |
. . . . . . . . . . . |
74 |
Глава III. Евклидовы пространства
§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства
Пусть V – векторное пространство над R . Скалярным произведением на V называется отображение от двух аргументов (_ , _) : VV R , обладающее следующими свойствами:
1. свойство неотрицательности: v V \ {0} (v , v) > 0,
2. свойство аддитивности по первому аргументу:
u, v, w V (u + v , w) = (u , w) + (v , w),
3. свойство однородности по первому аргументу:
u, v V R (u , v) = (u , v),
4. свойство симметричности: u, v V ( u , v) = ( v , u) .
Примеры: 1. Пусть V = R2. Если для u = (x1 , x2) V, v = (y1 , y2) V определить (u , v) формулой (u , v) = x1y1 + x2y2 , то нетрудно понять, что таким образом будет задано скалярное произведение на R2 (?!). Это скалярное произведение не единственно: например, можно было задать на V другое скалярное произведение (u , v) = x1 y1 + 2x2y2 .
2. Пусть V = V2(O, R) – векторное пространство всех направленных отрезков плоскости, отложенных от фиксированной точки О. Тогда скалярное произведение на V можно задать формулой (u , v) = |u||v|cos, где – угол между векторами u и v. В этом можно убедиться, например, так: введя на плоскости прямоугольную систему координат с центром в точке О (см. рис.), получим
(u, v) = x1y1+x2y2 = |u|cos(+)|v|cos + |u|sin(+)|v|sin =
= |u||v|[cos(+)cos + sin(+)sin] = |u||v|[coscos2 – sinsincos +
+ sinsincos + cossin2] = |u||v|cos .
Поэтому можно воспользоваться предыдущим примером. А как можно проще проверить свойства этого скалярного произведения ?
3. Предыдущие примеры можно обобщить на другие пространства, например, на V = R3 и V = V3(O, R) (как ?!).
4. Формула (u, v) = x1y1 + … + xnyn задаёт скалярное произведение векторов u = (x1 ; … ; xn), v = (y1 ; … ; yn) пространства Rn, называемое стандартным. Аналогично определяется стандартное скалярное произведение векторов пространства nR .
5. Пусть V = { f : [0, 1] R | f непрерывна и интегрируема на [0, 1]}. Тогда формула (f, g) = задаёт скалярное произведение на V.
Упражнения: 1. При каких условиях на коэффициенты a, b, c, d, e R формула ( u , v) = ax1y1 + bx1y2 + cx2y1 + dx2y2 + e задаёт скалярное произведение в R2 ?
2. Будет ли ( u , v) = x1y1 + … + xn–1yn–1 – xnyn скалярным произведением в Rn ?