3. Алгебра логики

3.1. Понятие о простом и сложном высказывании

Основным понятием математической логики является простое логическое высказывание. Под логическим высказыванием понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо и принимающее истинное (И) или ложное (Л) значение в данных условиях места и времени. Например, даны высказывания: “собака – животное”, “Париж – столица Италии”, “3 < 5”. В соответствии с приведенным определением первое из этих высказываний является истинным, второе – ложным, третье – истинным.

Иногда в определении простого высказывания опускают слова “в данных условиях места и времени”. Возникает вопрос: правомочны ли мы это делать? Ответ на этот вопрос не является однозначным. Дело в том, что одно и то же высказывание в разных местах (Земли, континента, страны, города и т.п.), а также в разные интервалы времени может принимать различные логические значения. Действительно, высказывание: “Средняя продолжительность жизни человека не превышает 70 лет” для России является истинным, а для Японии – ложным (по данным Обзорно-географического атласа мира, М., 2003 г. средняя продолжительность жизни россиян составляла 67,2 года, за последние годы она стала еще меньше, а средняя продолжительность жизни японцев-мужчин – 77,5 года, женщин – 84 года).

Высказывание: “Сборная команда СССР по баскетболу – лучшая в мире” для одних промежутков времени является истинным, а для других - ложным. С 1971г. по 1974 г. она была чемпионом мира, поэтому приведенное высказывание было истинным, если его рассматривать относительно указанного промежутка времени, и ложным - для других промежутков времени, т.е. тех, когда она не становилась чемпионом мира.

Таким образом, истинность или ложность высказывания является достаточно условным понятием, и поэтому для однозначности логического значения высказывания условия места и времени нужно учитывать. Существуют, однако, высказывания, которые всегда и везде являются истинными или ложными (вечные истины). Так, например, высказывание “5 меньше 10” является всегда и везде истинным, поэтому для такого высказывания условия места и времени можно не учитывать.

Все простые высказывания, когда они объединяются грамматическими связками “И”, “ИЛИ”, “если, то…” и др. дают новые сложные высказывания. Например, высказывание “Если число иррационально, тотоже иррационально” получается связыванием двух простых высказываний сложным союзом “если…, то…”.

Простые высказывания в дальнейшем будем обозначать малыми буквами латинского алфавита:или буквами с индексами:Истинное значение высказывания будем обозначать цифрой “1”, а ложное- цифрой “0”.