Тема: неопределенный интеграл

Цель темы: Освоить понятия первообразной и неопределенного интеграла, узнать их свойства, познакомиться с непосредственным интегрированием функций.

Усвоив тему, Вы сможете оперировать учебными элементами:

1) Первообразная:

• приводить примеры первообразных;

• формулировать свойства первообразных.

2) Неопределенный интеграл:

• приводить различные примеры неопределенных интегралов;

• определять подынтегральную функцию и подынтегральное выражение;

• приводить примеры непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Требования к знаниям и умениям по учебным элементам:

1) Первообразная:

• знать определение первообразной функции.

2) Неопределенный интеграл:

• уметь пользоваться таблицей первообразных (неопределенных интегралов).

Учебные результаты:

1. Освоить понятия первообразной функции и неопределенного интеграла.

2. Освоить свойства первообразной функции и неопределенного интеграла.

3. Уметь находить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Теоретический материал

Раздел 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

А) Охарактеризуйте в нескольких фразах понятие первообразная:_____________

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство F׳(x) = f(x) для любого х из заданного промежутка

Первообразная - первообразная функция, функция производная от которой равна данной функции.

Б) Прочитайте текст «Свойства первообразной и неопределенного интеграла» (Задание 1). По ходу чтения текста, обозначьте свое понимание данного материала с помощью специальных пометок. Знаком «галочка» (V) отмечается в тексте информация, которая вам уже известна. При этом источник информации и степень достоверности не имеет значения. Знаком «плюс» (+) отмечается новое знание, новая информация. Знаком «вопрос» (?) отмечается то, что осталось непонятным и требует дополнительных сведений, вызывает желание узнать поподробнее. Знаком «восклицательный знак» (!) отмечается то, что вызывает сомнение, что было бы интересно обсудить, сравнить с мнением других.

Задание 1

Свойства первообразной и неопределенного интеграла

Место для пометок

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство F׳(x) = f(x) для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)׳ = f(x). Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функцииf(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу. Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интеграломотf(x). и обозначается ∫ f(x) dx. Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то ∫ f(x) dx = F(x) + C, где С - произвольная постоянная. Выражение f(x) dxназываютподынтегральным выражением,аf(x) –подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функцииf(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенныминтегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функцияF(x), а множество ее первообразныхF(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной). , т.е. производная результата интегрирования равна подынтегральной функции. , т.е. неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы. , гдеk – произвольная константа. Следовательно, коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла. , т.е. неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций. Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: , Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах. Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь: первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно; второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

V

В) Заполните таблицу, обозначив в ней результаты изучения текста:

V	+	?	!
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство F׳(x) = f(x) для любого х из заданного промежутка.	Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интеграломотf(x). и обозначается ∫ f(x) dx. Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то ∫ f(x) dx = F(x) + C, где С - произвольная постоянная.	На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной). 1., т.е. производная результата интегрирования равна подынтегральной функции. 2., т.е. неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы. 3., гдеk – произвольная константа. Следовательно, коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла. 4., т.е. неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)׳ = f(x). Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.	Выражение f(x) dxназываютподынтегральным выражением,аf(x) –подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функцииf(x).	Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: , Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функцииf(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу.	Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенныминтегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функцияF(x), а множество ее первообразныхF(x)+C.	Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь: первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно; второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.