Биофизика / Методичка по математике

Московская Медицинская Академия им И.М.Сеченова

Кафедра медицинской и биологической физики

Заведующий кафедрой – профессор В.Ф. Антонов

М.С.Федорова Методическая разработка для самоподготовки

по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного, медико-профилактического, стоматологическо-

го факультетов и факультета военного образования.

Под редакцией доцента Е.Ю.Смирновой

Москва – 2004 г.

Настоящая методическая разработка написана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика, информатика» и учебником Ю.В.Морозова «Основы высшей математики и статистики» 1998 г.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодар-

ность заведующему кафедрой, профессору В.Ф.Антонову за интерес, про-

явленный к работе, профессору А.М.Чернышу, сделавшему ряд ценных за-

мечаний, заведующему кафедрой медицинской информатики и статистики,

доценту А.Н.Герасимову за любезно предоставленные статистические ма-

териалы к теме 7, профессору А.А.Аносову и М.В.Крупновой за помощь в подготовке компьютерной версии методической разработки.

1

Содержание
Тема 1.	Производная функции одной переменной
Тема 2.	Функция нескольких переменных.
	Дифференцирование функций нескольких
	переменных
Тема 3.	Дифференциалы функций одной и нескольких
	переменных
Тема 4.	Неопределенный интеграл
Тема 5.	Определенный интеграл
Тема 6.	Дифференциальные уравнения
Тема 7.	Элементы обработки медико-биологической
	информации
Тема 8.	Об использовании гистограмм в задачах
	медицинской диагностики
Тема 9.	Использование метода наименьших квадратов
	в процессе статистической обработки медико-биологических дан-
	ных
Тема 10.	Корреляционная зависимость. Коэффициент линейной корреляции

2

Т е м а 1

Производная функции одной переменной

Понятие производной - одно из основных понятий математического анализа. Производная характеризует быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. В частности, производные применяются при математическом описании кинетики химических реакций, динамики движения, при нахождении градиента скорости, давления, температуры и других величин.

Литература для подготовки к занятию по теме:

Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.19-28, 37-50.

В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:

1. Повторить следующие теоретические вопросы:

1)Понятие функции.

2)Понятие предела функции (аналитическая форма записи предела функции в точке)

II. Изучить по указанной литературе следующие вопросы:

1)Понятие производной функции.

2)Физический смысл производной (привести примеры на вычисление скорости и градиента).

3)Геометрический смысл производной (пояснить с помощью графика).

4)Основные формулы дифференцирования - производная постоянной, степенной, экспоненциальной, логарифмической, тригонометрических функций. Таблицу производных этих функций необходимо перенести в рабочую тетрадь.

5)Правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения, частного двух функций.

6)Понятие сложной функции.

7)Правило дифференцирования сложных функций (пояснить на примере, как выбирается промежуточная переменная).

Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля

Задача 1. Вычислить производную функции y = 5x4 Решение

Данное выражение является степенной функцией вида

y = xn , умноженной на постоянный коэффициент. В соответствии с правилом дифференцирования функции, умноженной на константу, постоянный коэффициент можно выносить за знак производной, поэтому:

y′ = 5 (x4 )′

Далее в соответствии с формулой (xn ) = n xn−1 , получим: y = 5 4x4−1 = 20x3

3

	Найти самостоятельно производную функции	y = −	1	x5 .
			5

Задача 2. Найти производную функции y = x12 − x + 2

Решение Для решения задачи необходимо применить правило дифферен-

цирования алгебраической суммы:

(U ±V ±W )′ =U ′±V ′±W ′

и формулу производной степенной функции. Тогда получим:

y′ = (

1

− x + 2)′ = (x

−2

)′−(x)′+ (2)′

x2

или

y = −2x

−2−1

− x

1−1

− 0 = −2x

−3

−1 = −

2

−1

x3

слагаемого суммы

Здесь

при вычислении

производной

первого

и записи

результата использована

возможность представления

дроби

1

в

виде

степенной

функции

с

отрицательным показателем

x2

степени:

1

= x−2

(в

общем

случае

1

= x−n ), и

наоборот - сте-

2

n

x

x

пенной функции с отрицательным показателем степени в виде дроби. Производная второго слагаемого равна - 1, производная константы равна нулю.

y′ = ( x12 − x + 2) = − x23 −1

Найти самостоятельно производные следующих функций:

1.y = x3 + x −6

2.y = − x13 + 1x +1

Задача 3. Найти производную функции y = 3 x2 Решение

Для решения задачи необходимо сначала представить эту функцию в виде степенной функции с дробным показателем степе-

m

ни, по формуле: n xm = x n

2

В нашем случае имеем: y = 3 x2 = x 3

Далее, применив правило дифференцирования степенной функ-

ции, с показателем степени n = 23 , найдем:

4

y′

2

(

2

−1)

2

−

1

2

=

3 x

3

=

3 x

3 =

33 x

Найти самостоятельно производные следующих функций:

1. y = 55 x2

3.

y =

1

3

x

2.

y =

1

4.

y =

3 1

2

x

7

x

Задача 4. Найти производную функции y = ex sin x

Решение

Данная функция является произведением экспоненциальной

функции е

и тригонометрической функции sin x .

Применяя правило дифференцирования произведения функций и

используя правила дифференцирования функций e x

и

sin x , найдем

производную произведения

(e

x

sin x) = (e

x

)

′

′ x

= e

x

sin x

+ cos x e

x

= e

x

(sin x + cos x)

sin x + (sin x) e

Найти самостоятельно производные функций :

1)y = x2 cos x

2)y = x ex

3)y = x3 (sin x −1)

4)y = x2 ln x

Задача 5. Найти производную функции

y =

ln x − 2

x

Решение

Применяя формулу дифференцирования частного функций:

U

′

′

−UV

′

=

U V

V 2

V

и основные формулы дифференцирования, получим:

ln x − 2

(ln x − 2)′x −(ln x − 2) x′

(

1

−0) x −(ln x − 2) 1

1 −ln x + 2

3 −ln x

)′ =

x

(

=

=

=

x

x2

x2

x2

x2

Найти самостоятельно производные функций

1)

y =

cos x

3)

y =

ln x

x

x

e

2)

y =

ex −1

4)

y =

sin x

x

ln x

равна

5.

Доказать, что производная функции

y = ctgx

(− sin12 x)

5

Задача 6. Найти производную функции y = sin 2x .

Решение Данная функция отличается от табличной множителем а=2 при

переменной х. Производная пишется по правилу дифференцирования сложной синусоидальной функции

(sin U )′ = cosU U ′

Применяя правило дифференцирования сложной синусоидальной функции, получим:

y = (sin 2x)′ = (cos 2x) 2 = 2 cos 2x

Найти самостоятельно производные функций:

1.y = sin( x2 +1)

2.y = cos(2x +1)

Задача 7.

Найти производную функции y = eax , где а - константа. Решение.

Данная функция отличается от табличной множителем "а" при переменной х и является сложной.

Применяя правило дифференцирования сложной экспоненциальной функции

(eax )′ = eax (ax)′, получим:

(eax )′ = eax (ax)′ = aeax

Найти самостоятельно производную функции: 1. y = e5 x 2. y = e x

Задача 8. Найти производную функции y = x3 + 2 Решение

Данная функция может быть представлена в виде сложной степенной

1

y= (x3 + 2) 2

Всоответствии с формулой производной сложной степенной

функции

(U n )′ = nU n−1 U ′

в данном случае имеем:

3

1

′

1

3

1

−1

3

3x2

y′ = (x

+ 2) 2

=

(x

+ 2) 2

(x

+ 2)′ =

2

2 x3 + 2

Найти самостоятельно производные сложных функций:

6

1.y = 13 cos 3x

2.y = e−x2

3.y = 1 + ln x

Задача 9. Точка совершает колебания по закону S = So sin(πt + π4 ) ,

где So = 2 (м). Определить скорость тела в момент времени t = 14

с. Решение

Скорость тела в любой момент времени t определяется производной S′(t) . Функция S(t) является сложной функцией.

Применяя формулу дифференцирования сложной функции, в нашем случае получим (sinU )′ = cosU U ′

v(t) = S′(t) = So cos(πt + π4 ) (πt + π4 )′ = πSo cos(πt + π4 )

Скорость тела в момент времени t = 14 с есть v( 14) = S′( 14) = 2π cos(π 14 + π4 ) = 2π cos π2 = 0

Ответ: скорость тела в момент времени t = 14 с равна нулю.

Задание. Определить самостоятельно ускорение тела в мо-

	мент времени t =	1	с, если скорость тела	v(t) = 2π cos(πt +	π )	и
		4
					4

измеряется в м/с.

Задача 10. Определить величину градиента концентрации, если зависимость концентрации от координаты задана функцией

C(x) = Co e−kx , где k - константа, а Co - есть концентрация веще-

ства при x = 0 . Решение

Величина градиента определяется выражением C′(x) = dCdx и

характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты.

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции

(eU )′ = eU U ′

в данном случае получим:

dCdx = Coe−kx (−kx)′ = −k Co e−kx

7

	Ответ: градиент концентрации	dC	= −k Co e−kx
		dx

Решить самостоятельно задачу:

При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жид-

кости	имеют			различную скорость в зависимости от расстояния x
от оси трубы.
v(x) =	P	(R	2	− x	2	) ,
	4ηl
где	P - разность давлений на участке трубы длиной l

R - радиус трубы,

η - коэффициент вязкости.

Найти величину градиента скорости на расстоянии x от оси трубы.

Задачи для решения на практическом занятии

1.	y = 3x2		+ 2
2.	y =	13 +	1	+ x
		x	x

3.y = sin x − ctgx

4.y = lnxx

5.y = ln5xx

6.y = sin 2 4x

7.	y =	1−		x
		1+		x
8.	y = sin ex
9.	y =		esin x
			cos 2x
10.				y = cos ex
11.				y = ln		1 + x
						1 − x
12.				y = 5sin(3x + 2)
13.				y = 5 e−x2
14.				y = x		1 + x2
15.				y = 3cos2 x

16.y = 4 x2 sin x

17.y = 8 cos(3t − π3 )

18.y = 5 ln(2x −3)

19.y = 3sin(t + π2 )

20.y = e−3x cos 5x

21.y = cos5 3x

y = esin2 x

22.

e−3x

23.y = 1 − x3

24.y = ln sin x

25.y = x2 − a2

26.y = e4 x + x4

27.y = x2x−2 1

28.y = Ae−βt cos(wt +γo )

29.y = 0.5 e−2 x

30.y = ctgx −tgx

8

31) Найти скорость изменения во времени концентрации C лекарственного вещества при выведении его из организма, если процесс описывается формулой

C(t) = Co e−at ,

где C0 = 2 мг/л, ( C0 - концентрация вещества при t =0), a = 0.05

1/c.

32) Зависимость барометрического давления от высоты при условии постоянства температуры определяется барометрической формулой

p = po	e−kh ,		po - давление при h
где k	- константа, h - высота,			= 0.
Получить формулу для градиента давления.
33) Количество электричества, прошедшего через проводник,
начиная с		момента времени	t = 0 , определяется	формулой
q = 2t 2	+ 3t +1	. Вычислить силу тока в конце пятой секунды.

Т е м а 2

Функция нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных.

До сих пор мы изучали функцию одного аргумента (одной независимой переменной), т.е. функции вида y = f (x) . Вместе с тем в физике, химии, биологии большинство процессов подчинено законам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Например,

площадь прямоугольника S = xy есть функция двух аргументов - сторон х и y .

Любая из переменных уравнения состояния PV = RT есть функция двух аргументов, например, P = RTV . Здесь функция P

зависит от двух переменных: температуры Т и объема V.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Литература для подготовки к занятию:

Морозов Ю.В. "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.52-56.

В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:

1. Повторить следующие теоретические вопросы:

1)Понятие сложной функции одной переменной.

2)Понятие приращения аргумента и функции одной перемен-

ной.

3) Дифференцирование сложной функции.

9

П. Изучить по указанной литературе следующие вопросы:

1)Понятие частного приращения функции нескольких пере-

менных.

2)Понятие частной производной функции нескольких пере-

менных.

Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля

Задача 1. Найти частные приращения функции f (xy) = x2 + xy Решение

Частное приращение по x , аргумент y не изменяется x f = f (x + x, y) − f (x, y) = (x + x)2 + (x + x) y − x2 − xy =

= x2 + 2x x + ( x)2 + xy + xy − x2 − xy = (2x + y) x + ( x)2

Частное приращение по y , аргумент x не изменяется y f = x2 + x( y + y) − x2 − xy = x y

Найти самостоятельно частные приращения функций по х и по у:

1)Z = 2x2 + y2

2)Z = 5x −3xy3

Задача 2. Найти частные производные функции Z = xy

Решение Данная функция является функцией двух аргументов: х и у. При

нахождении производной по одному аргументу другой аргумент рассматривается как постоянная величина.

Тогда Z x′ =

∂Z

=

∂

(

x

) =

1 ∂x

=

1

∂x

∂x

y ∂x

y

y

Z ′y =

∂Z

∂

x

∂

−1

x

=

(

) = x

( y

) = −

∂y

∂y

y

∂y

y2

Найти самостоятельно частные производные следующих функций:

1)	Z = x e y	3) Z = cos(2x + 2 y)
2)	Z = ln(x + y)	4) Z = 2x2 y3

Задача 3. Найти частные производные функции Z = e x+2 y Решение

Частная производная по аргументу x . Аргумент y считаем постоянной величиной.

Z x′ =	∂Z	=	∂	(e	x+2 y	) = e	x+2 y ∂		(x + 2 y) = e	x+2 y
	∂x		∂x					∂x

10