Биофизика / 21_der_pr Примері решения производных

Тема: Производная.

Краткие теоретические сведения.

0

Таблица производных.

1

(c)

(arcsin x)

x 1

1 x

2

( x

)

x

1

1

(arccos x)

(sin x) cos x

1 x2

(cos x) sin x

(arctgx)

1

(tgx)

1

1 x2

cos2

x

1

1

(arcctgx)

1 x2

(ctgx)

v v

sin 2 x

v

vln u

e

vln u

(ex ) ex

(u ) (e

)

(vln u)

u

u

v ln

(shx) chx

u

(a

x

a

x

ln a,

a const

)

shx

1

(loga

loga e

(chx)

x)

x

1

1

(ln x)

(thx)

ch2 x

x

1

(cthx)

sh2 x

(cx) c

(u v)

u

v

(uv)

u v uv

u

u v v u

v

2

v

Производная постоянной равна нулю: 5 0 или 15 0 Производная х равна единице: x 1

(2x) 2

(3x) 3 (18x) 18

xn n xn 1

Например. (x2 ) 2x

(x3 ) 3x2 (x4 ) 4x3

(2x2 ) 2(x2 ) 2 2x 4x (4x3 ) 4(x3 ) 4 3x2 12x2 (3x4 ) 3(x4 ) 3 4x3 12x3

u

1

																				1									1				1			1								1				1									1 1																	1																					1
																																																																																	, т.е. ( x)
Пример 160.															x2																	x2															x		2
																																																																	1
																													2															2																												2				x																		2 x
																																																									2 x2
																																																		2
																				1									1					1 1									1													1 1																		1
Пример 161.															x3																	x3													x				3
																																																																	2
																																																																									3				2
																													3														3																												3				x
																																																								3 x3
																							1														1																				1																					2
Пример 162.																																																				1								1												1												2
															6x3													6					x3														6								x3										6									x			3
																																																																																			3			2
																																																				3																				3													x
																																				1												1
Пример 163. 2																							x					2
																																	2						x											x
																													3															3				1											3
																				3													3			1
Пример 164.															x4																	x4															x		4
																																																																	1
																													4															4
																																																									4x4
Производная суммы двух дифференцируемых функций u и v :
(u v)							u						v .
(16x 5)										(16x)																		16 0 16
																					5
(x2 x) (x2 ) (x) 2x 1
(3x2 2x) (3x2 ) (2x) 3 (x2 ) 2 x 3 2x 2 6x 2
(x2 4x) 2x 4
(x3 x2 x) 3x2 2x 1
(4x			2		3x				3						8x 9x												2
											)
	7x					x	2					7							1				2x 7 x
																				2
					2
	x	3			2x							3x						2		2 x2 2
	3														3
x2														2x
					5x																		5 x 5
	2														2
																										x4								x6																															4x3									6x5																		x3
Пример 165.																																														2																																																					5
															8x																								3x														8																													6x 8												3x						6x
																										8							2																																	8								2																		2
Пример 166.
																			8x 3) 4 3x																														6 5x																		7 2x 8 12x																								30x					14x 8
(4x					6x						7x
			3						5							2																															2																	4																								2							4
Пример 167. (x																			2						2								x				2 1							2x										3
																							)
Пример 168. (x																			4						4x										4 1						4x											5
																							)
															x2																								2x
Пример 169.																							x					3																( 3)x													3 1									x								3x				4
																		2																					2

2

x3

3x2

x2

8

4

5

Пример 170.

2x

8x

6

2

x

5

6

Пример 171. (x3 2x sin x) 3 x2 2 cos x

Пример 172.

(x

2

x

2

)

(cos x)

2 x 1 ( sin x) 2 x 1 sin x

cos x) (x

x

Пример 173. (2x3 x2

cos x) 2 3x2

2x ( sin x) 6x2

2x sin x

Пример 174. (7x3 2x sin x) 7 3x2

2 cos x 21x2 2

cos x

Пример 175. (x2 sin x) ( x2) (sin x) 2 x cos x

Пример 176. ( x

2

2

(cos x)

2 x ( sin x) 2 x sin x

cos x)

( x )

3

3

2

2sin x

Пример 177. (x

2 cos x)

( x

)

2(cos x)

3 x

Пример 178. (x4 3sin x) ( x4) 3(sin x) 4 x3

3cos x

1 3cos x 2sin x

Пример 179. (x 3sin x 2 cos x)

x 3(sin x)

2(cos x)

Пример 180. (4

1

4

2 cos x sin x) 4 x

2 cos x sin x

x

4

1

1

3

1

4

x4

2(cos x) (sin x) 4

x

4 2( sin x)

cos x

2sin

x cos x.

3

4

x4

Производная произведения двух дифференцируемых функций u и v: (u v) u v uv Пример 181. Вычислим производную: (x3 sin x) . Это производная от произведения двух функций. Пусть u x3 , v sin x . Воспользуемся формулой: (uv) u v uv .

(x3 sin x) ( x3 ) sin x x3(sin x) 2 x2 sin x x3cos x

Пример 182. (x cos x)

x

cos x x(cos x)

cos x xsin x

Пример 183.

2

(3x 2))

2

2

2 x(3 x 2)

2

(x

( x ) (3 x 2)

x (3 x 2)

x3 2 x(3 x 2)

uv

u

u v

Производная частного:

2

v

v

x2

u x2

(x2 ) (3x 2) x2(3x 2)

Пример 184.

3x

2

v

3x

2

(3x 2)

2

2x(3x 2) 3x2

2x(3x

2) 3 x2

6 x2 4 x 3x2

3x2 4 x

.

(3x 2)2

(3x 2)2

(3x 2)2

(3 x 2) 2

Пример 185.

x2

1

(x2 1) x (x2 1) x

2x x ( x2 1)

2x2 x2 1

x2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

2

Пример 186. Найти производную

x

sin x

3 x2

1

3

В данном случае имеем: u x2 ;

v sin x

x

2

(x

2

2

(sin x)

2 xsin x

x

2

cos x

) sin x x

sin

2

x

sin

2

x

sin x

x

3

3x

3

(x

3

Пример 187.

(x

3x) cos x

3x)(cos x)

cos x

cos2 x

(3x2

3) cos x (x3 3x)( sin x)

(3x2

3) cos x ( x3 3x)sin x

cos2 x

cos 2 x

x cos x

2

2

2 x)

Пример 188.

( x cos x) ( x

2 x) ( x cos x)( x

2

2

x

2

2x

(x

2x)

(1 sin x)(x2 2x) ( x cos x)(2 x 2)

(x2 2x)2

x2

2x x2 sin x 2 xsin x (2 x2

2 x 2 xcos x 2 cos x)

(x2 2x)2

x2

2x x2 sin x 2 xsin x 2 x2

2 x 2 xcos x 2 cos x

(x2 2x)2

x2

x2

sin x 2x(sin x cos x) 2 cos x

(x2 2x)2

Пример 189. Найдём производную степенно-показательной функции y xx . Пролога-

рифмируем обе части равенства: ln y ln xx . Возьмем производные от обеих частей равенства.

(ln y) (x ln x)

Вычислим эти производные:

(x ln x) x ln x x(ln x) ln x x 1x ln x 1

Функция lny - сложная функция. Функция y вложена в функцию ln. Так как производная

от lnx

1

1

1

- производная от внешней функции;

равна: (ln x)

x

(lny )

y

y , где

y

y - производная от внутренней функции, т.е. от y. Значит,

1 y ln x 1. Отсюда нахо-

y

ln x 1 .

x

x

дим y

y ln x 1 . Осталось подставить значение y, т.е. y

Сложная функция.

При нахождении производной сложной функции сначала берется производная внешней функции, затем она умножается на производную внутренней функции.

Таблица производных сложных функций.

(u ) u 1u , где u — функция, const

4

(sin u) cos u u

u

u

ln a

(cos u) sin u u

(a ) u a

1

1

(loga u)

u

loga e u

1

(tgu)

cos2 u u

ln u

u

(e

u

u

u

)

e u

Пример 190.

(5x 1)2

2(5x 1)(5x 1) 2(5x 1)5 10(5x 1)

50 x 10

Пример 191. (5x 1)3

3(5x 1)2 (5x 1) 3(5x 1)2 5 15(5x 1)2

Пример 192.

2

2

2

2

2

2

2

2

3)

3

3(x

3(x

(x

3) (x

3)

3) 2x 6x (x

3)

Пример 193.

. Внешняя функция корень квадратный

5x 1

1

1

5

5x 1

Т.к. (

x) 2 x ,

то

2

5x 1

(5x 1) 2

5x 1

Пример 194.

1

1

2x 3

2

2

x

3x

(x

3x)

(2x

3)

2

x

2

3x

x

2

3x

2

x

2

3x

2

4

4

4

3

x4

Пример 195. x

x 1

(x

)

x

1 x

x 1

4x

x 1

,

2

x 1

1

так как x 1

2

x 1

1

1

1

Пример 196.

(x2 ) (x2

x2

(x2

2x)3

2x)3

2x)3

x2 (x2

2

1

2 1

2

2

2

1

x

2

(2x 2)

2x(x 2x)3 x

(x 2x)

3

(2x 2)

2x (x 2x )3

3

2

3(x2 2x)3

1

3

3

3

3x2

x 1 x3

x

x 1 x

x 1

2

x 1

Пример 197.

(x )

2

x 1

x 1

x 1

x3

2 3x2 (x 1)

x3

6x2 (x 1) x3

3x2

x 1

2 x 1

2 x 1

2 x 1

2 x 1

x

1

x 1

x 1

6x2 (x 1) x3

6x3

6x2 x3

5x3

6x2

2 x

1(x 1)

2 x 1(x 1)

2 x 1(x 1)

2

2

2

2

2

2x2

(2x

)

4x

2 2x

4x

Пример 198.

2

4x

2

4x2

2

5

1

(4x2 2)

x2

4x 4x2 2 2x2

4x 4x2 2

8x

2 4x2 2

4x2

2

4x2 2

4x2 2

8x3

4x

(4x2 2)

8x3

4x 4x2 2

4

x(4x2 2) 8x3

4x2 2

4x2 2

4x2 2

4x2 2

4x2 2

4x2 2(4x2 2)

16x3

8x 8x3

8x3 8x

4x2

2(4x2

2)

4x2 2(4x2 2)

Пример 199.

y (x sin x) 2

2(x sin x)(x sin

x)

2( x sin x)(1 cos x)

y

Пример 200. Найдём производную y

sin x

Так как внутренняя функция sinx, а внешняя — корень квадратный, а

1

1

cos x

x

,

то

y

(sin x)

2

x

2

sin x

2

sin x

Пример 201.

(e

) e

(2x) 2e

2x

2x

2x

Пример 202. (ex2 ) ex2 (x2 ) 2xex2

Пример 203. Найдём производную функции y sin2 x .

Это сложная функция: внутренняя функция - sinx, внешняя функция - квадрат. При взятии производной, сначала берем производную от внешней функции, а потом от внутренней.

2

x)

2sin x(sin x)

;

Имеем: y (sin

2sinx - производная от внешней функции,

sin x - производная от внутренней функции

2sin x(sin x)

2sin xcos x

y

1

(x3 x 2)

3x2 1

Пример 204.

x3 x 2

2 x3 x 2

2 x3 x 2

квадратный корень — внешняя функция;

x3 x 2 — внутренняя функция.

3

Пример 205. Найдём (x2 2x 4)

2

3

u

— внешняя функция

2

x2 2x 4 — внутренняя функция

3

3

1

3

1

3( x2

(x2 2x 4)2

(x2 2x

4)2

( x2 2 x 4)

2 x 4) 2 (2 x 2)

2

2

3

(2x 2) x2

2x 4

2

Производная от функции заданной неявно.

6

Пример 206. Найти производную функции

y(x) ,

заданной

неявно соотношением

ln x x2 .

y

Возьмем производные от обеих частей равенства:

(ln x x2 ) Вычислим эти производные.

y

1

Т.к. y зависит от x, то

y

- это производная левой части.

2

y

y

Производная правой части: (ln x x

2

2

1

2 x.

x

)

(ln x) (x )

1

1

2x

1

Значит,

y

. Отсюда находим, что

2

2x . Можно подставить

2

y

x

y

y

x

2(ln x x

2

1

вместо y его выражение через x: y

)

2x .

x

Пример 207. Найдём производную неявной функции: x3 y3																																																															3axy 0. Продифферен-
цируем обе части равенства по переменной x:
3x		2	2																																				2						2								3axy								0
			3y y (3ax) y 3axy																									0 3x														3y y 3ay
			3ay 3x2
y			3y2 3ax																		Примеры нахождения производной.
																																3
Пример 208. y 2																			4x 3
																														x3 x							1
									1																																																							3
																						3									1																									1						3				3
								2																								2																																2
																																											1 (4x 3)
y		2 [4x 3]																3 [x						x 1]													2												3												(x		x 1)		(x		x 1)
																																												1
																																											2
																																												(4x 3)2												2
			4					3 3x2 1																								4													9x2 3
			1					2 (x3 x 1)																		3
																															4x						3						2 (x3 x 1)3
	(4x 3)
				2																					2
Пример 209. y 3																																																1
																(2x 3)(3 x)2																			((2x 3)(3 x)2 )3
			1													2						2																	2
																						3
y			3 ((2x 3)(3 x)																	)			((2x 3)(3 x)																				)
			1																																	2	(2x 3)((3 x)														2
			2							4
																		(2x								3) (3 x)																											)
	3(2x 3)					3	(3 x)							3
	2(3 x)2 (2x 3)2(3 x)( 1)																																	2(3 x)(3 x (2x 3))
										2													4																					2				4
			3(2x 3)								3		(3 x)										3														3(2x 3)									3	(3 x)			3
		2(3 x)(6 3x)																								6(2 x)																					4 2x
			2							4																	2												1					2									1
	3(2x 3)3						(3 x)														3(2x 3)3										(3 x )													(2x 3)3				(3 x)
													3																											3															3

7

x

3

Пример 210. y

3 4x

x

2

x

x

2

x (3

4x) x(3 4x)

y 3

3

4x

3 4x

3

4x

(3 4x)

2

3

x

2

3 4x 4x

9x2

3

2

(3

4x)

(3 4x)

4

3 4x

Пример 211. y

x

4 x2

(4

x

2

2

2

4 x2

x

)

4

x

x 4 x

x

x

2 4 x2

y

4

x2

4 x2

4 x2

x( 2x)

x2

4 x

2

4 x

2

4 x2 x2

4

2 4 x2

4 x2

4 x2

4 x2

4 x2 (4 x2 )

4 x2 (4 x2 )

x

2

x

Пример 212. y

x

x

x) (x

x)(x

x)

x

x

x

x

y 2

2 x

x

(x

x) (x

(x x)2

x x

x x

x x

1

1

x

1

(x

x) (x

x)

1

x

2 x

2

2 x

(x x)2

x

x

2

1

(x

) (x

)

2

1

x

x

x

x

x

2 x

2 x

2

x

(x x)2

x

x

x

(2

1)(x

) (x

)(2

1)

2

x

x

x

x

x

2 x(x x)2

x

x

x

2x

2x x

(2x

x 2x

)

2

x

x

x

x

x

2 x(x x)

x

x

x

2x

x

2x

x

2

x

x

x

x

x

2

x(x x)2

x

x

x

2x

2

(x

)

2

x

x

x

2 x(x

x)2

( x x)3

x

x

y

9

9(x2

4x 5)

1

Пример 213.

6

6 x2 4x 5

8

						9						2																					7									2																													3											2																				7															3(x 2)
																																	6																																																																					6
y		6							(x						4x 5)																				(x														4x 5)																2										(x											4x 5)																	(2x 4)
																																																																																																															6
																																																																																																																	(x2 4x 5)7
Пример 214. y x2
																																	1 x2
							2																								2																																																									2					1
																				2																														2																													2
y		(x							)				1 x											x															1 x																		2 x 1 x																										x																							( 2 x)
																																																																																								2					1					x					2
																								2x3																																																		x3
2x 1 x2																																						2x 1 x 2
																	2								1 x2																																															1 x2																																	1
																																	1																																																							1
Пример 215.																	y																												5 5													x3 1									(x2 1) 2 5(x3																																				1)5
																														x2					1
																																																						4
						1							2									3																			3																				2													3x						2																				x
																						2																																5
y		2							(x							1)									2x (x																				1)											3x
																																																																			5
																																																																								(x3 1)4																						(x2 1)3
Пример 216. y																																	3 6x
																														3 4x																			5x2																																				(3 6x)
y											3 6x																												(3										6x) 3 4x 5x																																																									3 4x 5x
																																																																																																						2
								3 4x 5x2
																																																																												3 4x 5x																					2
																																																						4 10x
		6 3 4x 5x2 (3 6x)
																																															2 3 4x 5x2
																						3 4x 5x2
																									(3											6x)(4 10x																										)																																					12 30x 24x 60x2
		6 3 4x 5x2																																																																6									3 4x 5x2
																														2 3 4x 5x2																																																																												2 3 4x 5x2
																3						4x 5x2																																																																								3 4x 5x2
			6																						60											x2 6x 12																																		6																													30x2 3x 6
					3 4x 5x2																																																																						3 4x 5x2
																														2 3 4x 5x2																																																																											3 4x 5x2
																3																																																																								3
																						4x 5x2																																																																							4x 5x2
		6(3 4x 5x2 ) (30x2																																										3x 6)																		18											24 x 30 x2																								30 x2 3 x 6
							3 4x 5x2 (3 4x 5x2 )																																																																			3 4x 5x2 (3 4x 5x2 )
														27x 24																																																			24 27x
			3 4x 5x2																		(3 4x 5x2 )																																																																2 )3
Пример 217. y 3																													1 x2
																													1 x2
																	1																																					2																																														2
															2																																							3																																																																									2
							1 x										3											1						1				x								2													1 x							2													1						1	x						2								3		(1			x				2			2	) (1 x										2	)(1 x
															2																																																																																															) (1 x																	)
y							1 x																					3						1				x								2													1 x							2													3						1	x						2																		(1			x					2		)	2

9

															2																																																																																										2
	1			1 x2 3																	2x(1 x2 ) 2x(1 x2 )																																																						1									1 x2																														4x
																																																																																																									3
		3										2																																				2 2																											3																							2
				1			x																																																																													1 x																										(1 x							2 2
																																						(1 x												)																																																																				)
				1 x2											2																																																									2
	1														3											4x																								4x(1 x2 )																							3																																						4x																								4x
												2
		3		1			x												(1 x														2		)		2																								2																																																				2														4
																																																																																																																																			3 3 (1 x2 )2 (1 x2 )4
																																																							2																						2						2																											2														2
																																														3(1				x							)				3			(1 x																)													3(1 x																		)		3		(1 x										)		3
Пример 218.																				y x																	1 x2																			x2									x4
																																						1 x																				1 x
											1																	x				2			x										4						1											1				x														(x							2			x											4																								2		x				4	)(1 x)
y																																																																																																							) (1 x) (x
																															1 x																				2								x				2					x							4																																						(1 x)										2
										x2 x4
				2
											1 x
		1																	(2x 4x3 )(1 x) (x2																																																			x4 )( 1)																															1																					2x x2 4x3												3x4
									1 x																																																																																																						1 x
		2 x2 x4																																													(1 x)2																																																						2 x2 x4																														(1 x)2
								1	1 x								2x x2 4x3 3x4																																																	1										1 x																		2 x 4x2 3x3																																						2 x 4x2 3x3
		2x							1 x2																									(1 x)2																																2									1 x2																														(1 x)2
																																																																																																																																		2(1 x)				(1 x2 )(1 x)
Пример 219.																				y 3 3																					x5						5x4													5
																																																											x
																																							1																																																										2
									5																							5 3																			1 5																																				5										3 5																									5
																							4																																																						4																																							4
		3 x 5x																																													3								x											5x																																			x 5x
y																																																				3
																																x																																																							x																																			x
												1																						5x								4			20x							3									5														5																				x6 4x5 1
																												2																																					2
																			5																																									x																																																										5				2
					5								4														3																																																										2		3															5			5x									4
		x					5x																																																																									x																x
																																																																																																																						x
																				x
																																																																																															1								1
																																																						1
Пример 220.																				y 5 5																								2			x														5														2				x																								5
																																									x																													x
																																																					x																																										x
																																																																																																									1
																																						4																																														2x 1
									1																						1																														1																																								x2
		5												2	x																								5									2		x
											x																																		x
y									5																						x																														x
																																																																																								2					x														1						4
																																																																													5 x
																																																																																																											x
Пример 221.																																														1																				1
																				y (x2 1)2																												(x3										1)											3
				1															1																											1																				2
											2																			2																						3														3									3
																					2
		2						(x 1)																																					3 (x 1)
y																									(x 1)																																														(x 1)
		2x										1																	3x2																			1																							x																													x2
		2																	1													3																				2
																																																																				x2 1																				3 (x3 1)2
								(x2 1)2																																			(x3 1)3

Пример 222. y sin x xcos x

10