teoria_igr_2
.doc
Содержание
Задача 1………………………………………………………………………………..3
Задача 2………………………………………………………………………………..4
Задача 3………………………………………………………………………………..6
Задача 4………………………………………………………………………………..6
Задача 5………………………………………………………………………………..8
Задача 6……………………………………………………………………………….10
№1.Решить игру с матрицей (тип 2хn). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.
|
6 |
2 |
-6 |
-7 |
7 |
|
-6 |
-5 |
5 |
8 |
-8 |
Найдем H(p,j):
H(p,1)=6р-6(1-р)
H(p,2)=2р-5(1-р)
H(p,3)=-6р+5(1-р)
H(p,4)=-7p+8(1-р)
H(p,5)=7р-8(1-р)
Строим графики
H(p,j)
для p
[0;1]:
Точка L лежит на пересечении H(p,2) и H(p,3).
|
А= |
-6 |
2 |
|
5 |
-5 |
р1:р2= -5-5:-6-2=-10:-8 = -5:-4. -5-4=-9, -5/9,-4/9
q1:q2 = -5-2:-6-5 = -7:-11. -7-11=-18, -7/18,-11/18
v= (-6*-5)-(2*5)/(-6-5)-(2+5)= -20/18 = -1 1/9.
Ответ: р = (-5/9, -4/9),
q=(0,-7/18,
-11/18,0,0) ,
№2.Решить игру с матрицей (тип mх2). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.
|
0 |
8 |
|
6 |
1 |
|
5 |
2 |
|
-9 |
9 |
|
9 |
-8 |
Найдем H(i,q):
H(1,q)=0q+8(1-q)
H(2,q)= 6q+1(1-q)
H(3,q)=5q+2(1-q)
H(4,q)=-9q+9(1-q)
H(5,q)=9q-8(1-q)
Строим графики
H(i,q)
для q
[0;1]:
Точка М лежит на пересечении прямых H(1,q) и H(2,q).
|
А= |
0 |
8 |
|
6 |
1 |
p1р2= 1-6:0-8 = -5:-8. -5-8=-13. 5/13, 8/13.
q 1:q2 = 1-8:0-6 = -7:-5, -7-5=12, 7/12,5/12
v= (0*1)-(8*6)/0+1-8-6 = 48/13 = 3 9/13
Ответ: р=(5/13,8/13,0,0,0), q = (7/12, 5/12), v=3 9/13
№3.Найти точки равновесия в биматричной игре (А-матрица выигрышей игрока 1, В – матрица выигрышей игрока 2)
|
А= |
6 |
9 |
|
В= |
6 |
11 |
|
9 |
16 |
|
1 |
-3 |
|
(6;6) |
(9;11) |
|
(9;1) |
(16;-3) |
-
c1n1. Рассмотрим первого игрока, если второй будет делать то же самое, то первый уходит. (6-9). Если же второй думает, что первый будет делать то же самое, второй игрок тоже уйдет, так кА может получить больше (6-11).
-
c1n2 (9,11)первый меняет 9 на 16 и уходит, второй остается(11-6).
-
C2n1 (9,1). первый игрок остается (9-6), второй тоже остается (1на -3 менять не будет). Это точка является точкой равновесия.
-
C2n2 (16,-3). Первый остается(16-9) второй уходит(-3 на 1).
Ответ: точка (9,1)- точка равновесия.
№4.Имеются три предприятия (I, II,III); которые выпускают продукцию №1, продукцию №2 и продукцию №3. Следующая таблица представляет общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед.№1, 1ед.№2 и ед.№3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс.руб. Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли.
|
|
#1 |
#2 |
#3 |
|
I |
200 |
800 |
0 |
|
II |
400 |
0 |
500 |
|
III |
0 |
500 |
300 |
Подсчитаем выигрыши коалиций, т.е. доход, который они получат при объединении. Для 3 игроков имеем 23=8 коалиций.
Так как каждое из предприятий не выпускает одного из типов продукции, то без объединения никто ничего не заработает, т.е.
v(Ø)=v(I)=v(II)=v(III)=0
При объединении I и II предприятий, их общий выпуск равен:
|
|
#1 |
#2 |
#3 |
|
I |
200 |
800 |
0 |
|
II |
400 |
0 |
500 |
|
Итого: |
600 |
800 |
500 |
Они могут сформировать 500 комплектов и выручить за них 500тыс.руб.
При объединении I и III предприятий, их общий выпуск равен:
|
|
#1 |
#2 |
#3 |
|
I |
200 |
800 |
0 |
|
III |
0 |
500 |
300 |
|
Итого: |
200 |
1300 |
300 |
Они могут сформировать 200 комплектов и выручить за них 200тыс.руб.
При объединении II и III предприятий, их общий выпуск равен:
|
|
#1 |
#2 |
#3 |
|
II |
400 |
0 |
500 |
|
III |
0 |
500 |
300 |
|
Итого: |
400 |
500 |
800 |
Они могут сформировать 400 комплектов и выручить за них 400тыс.руб.
При объединении всех трех предприятий, их общий выпуск равен:
|
|
#1 |
#2 |
#3 |
|
I |
200 |
800 |
0 |
|
II |
400 |
0 |
500 |
|
III |
0 |
500 |
300 |
|
Итого: |
600 |
1300 |
800 |
Они могут сформировать 600 комплектов и выручить за них 600тыс.руб.
Занесем полученную информацию в таблицу выигрышей коалиций:
|
S |
v(S) |
|
S |
v(S) |
|
{ Ø } |
0 |
|
{I,II} |
500 |
|
{I} |
0 |
|
{I,III} |
200 |
|
{II} |
0 |
|
{II,III} |
400 |
|
{III} |
0 |
|
{I,II,III} |
600 |
Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая каждому участнику ту дополнительную прибыль, которую он приносит в эту коалицию. Всего существует 3!=6 порядков формирования коалиций.
|
Порядок входа в коалицию |
Сколько получает коалиция |
Сколько получает каждый участник |
||||||
|
первый |
второй |
третий |
один |
двое |
трое |
I |
II |
III |
|
I |
II |
III |
0 |
500 |
600 |
0 |
500 |
100 |
|
I |
III |
II |
0 |
200 |
600 |
0 |
400 |
200 |
|
II |
I |
III |
0 |
500 |
600 |
500 |
0 |
100 |
|
II |
III |
I |
0 |
400 |
600 |
200 |
0 |
400 |
|
III |
I |
II |
0 |
200 |
600 |
200 |
400 |
0 |
|
III |
II |
I |
0 |
400 |
600 |
200 |
400 |
0 |
|
Итого: |
|
|
|
1100 |
1700 |
800 |
||
Итак, вектор справедливого платежа:
№5.Располагая информацией о количестве голосов, которыми располагают партии и о размере выигрывающей коалиции, найти веса парий при голосовании.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Размер выигрывающей коалиции |
|
34,3% |
27,6% |
23,1% |
15,1% |
64,0% |
Используем схему решения игры, аналогичную расчету вектора Шепли. Представим данную игру в виде таблицы.
|
S |
v(S) |
|
S |
v(S) |
|
S |
v(S) |
|
S |
v(S) |
|
Ø |
0 |
|
{4} |
0 |
|
{2,3} |
0 |
|
{1,2,4} |
1 |
|
{1} |
0 |
|
{1,2} |
0 |
|
{2,4} |
0 |
|
{1,3,4} |
1 |
|
{2} |
0 |
|
{1,3} |
0 |
|
{3,4} |
0 |
|
{2,3,4} |
1 |
|
{3} |
0 |
|
{1,4} |
0 |
|
{1,2,3} |
1 |
|
{1,2,3,4} |
1 |
Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции. Всего существует 4!=24 порядка формирования коалиций.
|
вход |
Накопленные голоса (%) |
выигрыш |
|||||||||
|
первый |
второй |
третий |
четвертый |
первый |
двое |
трое |
все |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
34,3 |
61,9 |
85 |
100,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
34,3 |
61,9 |
77 |
100,1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
34,3 |
57,4 |
85 |
100,1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
3 |
4 |
2 |
34,3 |
57,4 |
72,5 |
100,1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
4 |
2 |
3 |
34,3 |
49,4 |
77 |
100,1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
34,3 |
49,4 |
72,5 |
100,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
27,6 |
61,9 |
85 |
100,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
27,6 |
61,9 |
77 |
100,1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
27,6 |
50,7 |
85 |
100,1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
27,6 |
50,7 |
65,8 |
100,1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
27,6 |
42,7 |
77 |
100,1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
27,6 |
42,7 |
65,8 |
100,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
23,1 |
57,4 |
85 |
100,1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
23,1 |
57,4 |
72,5 |
100,1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
2 |
1 |
4 |
23,1 |
50,7 |
85 |
100,1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
2 |
4 |
1 |
23,1 |
50,7 |
65,8 |
100,1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
23,1 |
38,2 |
72,5 |
100,1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
23,1 |
38,2 |
65,8 |
100,1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
15,1 |
49,4 |
77 |
100,1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
15,1 |
49,4 |
64,5 |
100,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
2 |
1 |
3 |
15,1 |
42,7 |
77 |
100,1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
15,1 |
42,7 |
65,8 |
100,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
15,1 |
38,2 |
72,5 |
100,1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
15,1 |
38,2 |
65,8 |
100,1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Итого: |
|
|
|
|
6 |
6 |
6 |
6 |
|||
№6. Найти гарантированные выигрыши игроков без кооперирования. Парето-оптимальное множество, переговорное множество, точку Нэша для задач из темы 4.
|
А= |
6 |
9 |
|
В= |
9 |
11 |
|
9 |
16 |
|
16 |
-3 |
|
(6;6) |
(9;11) |
|
(9;1) |
(16;-3) |