Методичка_погрешности

21

где i – граница i-той составляющей НСП. Такая оценка величины НСП явно является завышенной, т.к. маловероятно, чтобы все компоненты НСП одно - временно имели максимальное значение одного знака.

При значительном числе источников систематической погрешности, n 4, величину НСП оценивают с вероятностно-статистической точки зрения. При этом полагается, что величина НСП может равновероятно принимать любые значения в пределах своего максимального значения (нижней и верхней границ), Т.е. неустраненная систематическая погрешность рассматривается как случайная величина, подчиняющаюся нормальному закону распределения. Тогда при n 4 граница НСП результата измерений с вероятностью 0,95 принимают равной:

		n
1,1	i		(17)
	i 1
а с вероятностью 0,99 равной:
		n
1,4		i	(18)
		i 1

При большом количестве поправок, каждая из которых имеет конечную погрешность, необходимо, чтобы значение поправок не увеличивало общей погрешности измерений.

Полная погрешность измерений

Полная величина погрешности измерений (абсолютная погрешность) складывается из случайной погрешности и неисключенного остатка систематической погрешности :

= + .

Если учесть, что усредненное по большому количеству реализаций значение случайной погрешности равно нулю, а НСП суть постоянная величина, то среднеквадратическое значение полной погрешности измерений будет равно:

2 ( )2 ( 2 2 2 ) 2 2 2 2 2

22

5. ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Результат косвенных измерений получается в итоге выполнения некой вычислительной процедуры над данными двух или более прямых измерений, каждое из которыхи включает в неявном виде систематическую и случайную составляющие. Очевидно, что результирующая погрешность косвенных измерений должна быть связана с погрешностью прямых измерений некой функциональной зависимостью.

Пусть определяемая в процессе косвенных измерений неизвестная величина Z есть функция нескольких (i) величин Xi, значения которых можно получить из опытных данных.

Z F(X1 , X 2 X i )

(19)

Пусть систематическая и случайная составляющие погрешностей определе-

ния величин Xi являются малыми и равны соответственно i и i., а полная погрешность прямого измерения равна Xi= i+ I и ее тоже можно считать

малой, Хi/Хi <<1. Для погрешности косвенного измерения величины Z мож-
но аналогично записать

Возможны два подхода к оценке величины результирующей погрешности измерений величины Z.

1). При первом подходе, который наиболее часто используется в обычной практике, оценивается результирующая (суммарная) погрешность косвенного измерения без раздельного выделения систематической и случайной погрешностей косвенного измерения.

Если продифференцировать уравнение (19) и перейди от дифференциалов к конечным приращениям, то для приращения Z получим:

Z	F	X1	F	X 2	F	Xi	(20)
			X 2
	X1				Xi

По физической сущности полученное приращение Z есть абсолютная погрешность косвенных измерений величины Z, выраженная через абсолютные погрешности измерения Xi величин Xi.

Соответственно относительная погрешность косвенных измерений будет равна:

									23
Z	F1	X1	F2	X 2 Fi				Xi	(21)
Z		X1		X 2				Xi
		где: F		X i		F
			i	Z X i

Рассмотрим два типичных случая.

а). Пусть Z=Xn Ym.

Тогда относительная погрешность косвенного измерения величины Z,

выраженная через случайные погрешности измерения величин X и Y,					со-
гласно формуле (21) будет равна:
Z n	X	m	Y	n x m y .	(22)
Z	X		Y

Отсюда видно, что при значениях показателей степени n,m>1 вклад погрешности прямого измерения в результирующую относительную погрешность косвенного измерения будет усиливаться пропорционально показателю степени.

б). Пусть Z=X+Y-W.

Величина относительной погрешности косвенного измерения, полученная из уравнения (21), будет равна:

z		X x	Y y	W W	(23)
			X Y W

Следовательно, при определенном соотношении измеренных значений величин X, Y, W, таком, что X+Y W, результирующая погрешность косвенного измерения величины Z, как следует из (23), может оказаться весьма велика (!). Причем даже случае, когда погрешности измерения величин X, Y и W достаточно малы, X, Y, W 0.

2). Второй более полный и строгий подход к определению величины случайной погрешности косвенных измерений является метод, основанный на представлении искомой физической величины в виде ряда Тэйлора.

Пусть величина Z является функцией двух величин X и Y, значения которых получены в прямых измерениях, тогда:

Z F( X ,Y ) ;
Z Z F(X X ,Y Y )	(24)

1 2 F

2 X 2

24

Будем считать величину погрешностей малой по сравнению с действительными значениями величин и представим результирующую погрешность ∆ в виде суммы неисключенного остатка систематической погрешности (НСП) θ и случайной составляющей δ:

Z

(25)

Разложим функцию F(X,Y) в ряд Тэйлора и отбросим члены разложения выше 2-го порядка. Тогда для погрешности косвенного измерения (т.е. малого приращения величины Z) получим следующее выражение:

Z

F

(

)

F

(

)

1 2 F

(

)2

Z

Z

X

X

Y

Y

X

X

X

Y

2 X 2

(26)

1 2 F

2 F

(

)2

(

) (

)

Y

Y

X

X

Y

Y

2 Y 2

X Y

Из уравнения (26) следует, что если ограничиться в разложении Тэйлора только членами первого порядка, то получим обычное выражение для погрешности, по форме соответствующее (21):

Z F X F YX Y

Если усреднить левую и правую части разложения (26) и учесть, что при усреднении по большому числу измерений средняя величина случайной погрешности стремится к нулю, то для систематической погрешности косвенного измерения с учетом членов 2-го порядка получим:

F

F

Z

X

X

Y

Y

2 2 F

1 2 F

X

Y

2 X Y

2 X Y

Отсюда вытекает:

							1 2 F
	(	X		X	)2				(	Y		Y	)2
							2	Y 2

…(27)

( X T )

при косвенных измерениях систематическая погрешность определяется не только величиной НСП прямых измерений

величин X и Y, но и случайными погрешностями их измерения Х и Y.

Треть и четвертое слагаемые в правой части выражения (27) указывают, что необходимость введения поправок на систематическую погрешность к результатам косвенного измерения может возникать даже тогда, когда при

25

очень малых НСП прямых измерений (θX, θY 0), величины случайных погрешностей X и (или) Y окажутся достаточно велики.

Последнее слагаемое в правой части () включает корреляционный момент RXY, который служит мерой линейной статистической связи случайных величин X и Y:

RXY X Y ( X X )(Y Y )

Следовательно, на величину систематической погрешности косвенных измерений может оказывать сильное влияние наличие корреляционных связей между случайными погрешностями величин X и Y.

Указанная статистическая связь может носить самый разнообразный характер, который определяется свойствами объекта и методикой проведения измерений.

Отличие корреляционного момента от нуля, RXY ≠ 0, означает, что случайные величины X и Y обнаруживают тенденцию к синхронному изменению под воздействием каких-либо внешних факторов, например, температуры внешней среды.

Если изменение случайных величин X и Y является однонаправленным, RXY >0 – положительная корреляция, то это приведет к увеличению погрешности косвенного измерения

Если изменение случайных величин X и Y разнонаправленно, RXY <0 - отрицательная корреляция, то следствием этого будет уменьшение результирующей погрешности.

При RXY =0 корреляция отсутствует и величины X и Y будут независимы (некоррелированы).

В косвенных измерениях случайная погрешность измерений может трансформироваться в систематическую

Из этих примеров ясно видно, что при выборе метода косвенного измер е- ния физической величины надо очень внимательно подходить к анализу физических законов и соответствующих вычислительных процедур, которыми определяется связь этой величины с измеряемыми параметрами.

6. ПОГРЕШНОСТИ В ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Рассмотренные выше понятия «прямых» и «косвенных», «однократных» и «многократных» измерений возникли и развивались прежде всего применительно к задачам метрологии, к практике метрологических измерений. В технике ограничено время, отводимое на получение и обработку измерительной информации, а сами задачи измерений принципиально отличаются от метро-

26

логических, Соответственно в технических измерениях требуется дополнительное уточнение этих понятий, методов и процедур определения погрешностей. Естественно, что все основные метрологические принципы и остаются при этом неизменными.

Метрологические требования.

В метрологии все измерительные процедуры должны обеспечивать совокупное выполнение четырех условий – достижение максимальной точности, правильности, воспроизводимости и сходимости результатов измерений. Иная ситуация в технике, где требования максимальной точности или правильности измерений далеко не всегда являются главными. Различные задачи технических измерений предъявляют и различные требования к метрологическим характеристикам процедуры результатов измерений.

1). Результаты измерений являются исходными данными для принятия решений в системах автоматического управления. Поэтому величина погрешности измерений должна быть известна заранее и не может выходить за установленные границы. Превышение реальной величины погрешности измерений над той, которая заложена в алгоритме САУ, является достаточно распространенной и очень трудно выявляемой причиной отказов или неудовлетворительной работы систем управления.

Основным метрологическим требованием в технических измерениях является максимальная (желательно абсолютная) сходимость результатов измерений, т.е. качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов повторных измерений, выполняемых в одинаковых условиях. Критерии точности, воспроизводимости и правильности определяются особенностями конкретного объекта управления и параметрами системы управления.

2). В задачах контроля качества продукции требуется, чтобы истинное значение физической величины находилось в пределах границ допусков, заданных техническим регламентом или документацией. Этим определяются требования к точности и правильности измерений. Но при всех условиях необходимы максимальная сходимость и воспроизводимость измерений.

3). При исследовании, анализе и идентификации технических систем используют как стандартные для данных систем методы и средства измерений со свойственными им метрологическими характеристиками, так и специальные. К этой же группе относятся и задачи по определению систематических погрешностей самих измерений (см. выше ).

Главное отличие измерений этой группы состоит в том, что обработка измерительной информации не связана с временными ограничениями и может выполняться с использованием методов, отличных от стандартных.

27

Прямые и косвенные измерений

В прямых измерениях, если точно следовать их определению, должен использоваться комплекс методов и средств измерения (первичный и вторичный преобразователи, показывающий прибор и т.д.), который объединен единым набором метрологических характеристик и на выходе которого имеется сигнал, пропорциональный измеряемой физической величине. В системе ГСП это набор агрегатированных средств измерения. В простейшем случае - измерительный прибор (аттестованный вольтметр, штангенциркуль, мембранный стрелочный манометр, самопишущий мост или потенциометр и т.п.).

В современных системах автоматического управления часто используются разнородные средства измерения физических величин объединенные общей системой сбора и обработки измерительной информации. В такой схеме датчики, измерительные преобразователи, микропроцессорные устройства и каналы передачи данных имеют свои метрологические характеристики, но их совместная метрологическая характеристика (т.е. передаточная функция измерительной системы в целом) оказывается не нормированной. По форме такие измерения являются простыми, но по сути они будут косвенными, поскольку вносимые на разных этапах преобразования измерительной информации погрешности являются независимыми и не имеют общей метрологической характеристики. Отсюда вытекает, что соответствующие коэффициенты передачи должны рассматриваться как независимые переменные при косвенных измерениях.

Погрешность прямых измерений в сложных измерительных системах должна определяться с учетом погрешности, вносимой на всех этапах преобразования измерительной информации и рассчитываться как погрешность косвенных измерений.

Однократные и многократные измерения в технике.

В чистом виде измерения могут быть разделены на однократные и многократные только в метрологических работах и при проведении научных исследований. В технике все измеряемые величины непрерывно изменяются во времени, измерительная информация также непрерывно передается в систему управления объектом, т.е. измерения должны вестись в реальном масштабе времени. Поэтому в большинстве случаев технические измерения в метрологическом смысле являются однократными.

Поскольку при однократных измерениях отсутствует возможность статистической обработки информации, то они возможны лишь при выполнении определенных условий:

28

Имеется предварительная информации об объекте, объем и качество которой достоверно доказывают невозможность выхода параметров объекта и внешней среды за заранее установленные пределы.

Метод измерения известен, изучен на объекте, а его погрешности либо заранее устранены, либо их величина имеет достоверную оценку.

Используются исправные средства измерений с известными и нормированными метрологическими характеристиками, соответствующими параметрам объекта и условиям внешней среды.

Вместе с тем в микропроцессорных средствах измерений часто используется достаточно высокая скорость получения измерительной информации (частоты оцифровки сигнала), которая значительно превышает скорость изменения характеристик объекта измерений. В этом случае имеется возможность использовать различные способы цифровой обработки – усреднение, сглаживание, частотную фильтрацию и т.п. при сохранении достаточно высокого быстродействия средства измерений.

Цифровая обработка сигналов в реальном масштабе времени эквивалентна методам статистической обработки, применяемым при обработке результатов многократных измерений. Следовательно, по форме измерения могут быть отнесены к простым, но сути будут являться многократными.

Прямое однократное измерение

В технических измерения при однократных измерениях очень трудно с о- здать единую систему оценки погрешности на все случаи жизни. Поэтому в качестве базового способа используют методику, которая применяется в метрологической практике. Для этого:

1). Все составляющие погрешности однократного прямого измерения оценивается до его выполнения. Основой для оценки погрешности служит анализ всей имеющейся информации о проведении данных измерений, источником которой могут служить техническая документация на средства измерений, опыт проведения подобных измерений, данные научно - исследовательских работ и пр.

2). В случаях, когда главным источником погрешности является инструментальная погрешность, а всеми остальными можно пренебречь независимо от их природы, анализ составляющих погрешности не производится. Результат измерений представляется в виде A , где А – показание средства измерений, - погрешность, определяемая его классом точности.

29

3). В общем случае по результатам анализа возможных погрешностей измерения устанавливают:

величину неисключенной систематической погрешности

среднеквадратическое отклонение случайной погрешности

Взависимости от соотношения между случайной и систематической составляющий погрешности принимают следующие правила определения пол-

ной (абсолютной) погрешности измерений :

Если преобладает случайная погрешность, < 0,5 , то пренебрегают неисключенной систематической погрешностью и абсолютную погрешность измерений считают равной

=2

Если преобладает систематическая погрешность, > 8 , то пренебре-

гают случайной составляющей погрешности и полагают

= .

В промежуточных случаях при сравнимых величинах случайной и систематической погрешностей, 0,5 < <8 , абсолютную погрешность находят по формуле:

=0,8( +2 )

Коэффициент 0,8 в формуле ( ) учитывает малую вероятность того, что систематическая и случайная погрешности могут одновременно достигать своих максимальных значений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Поясните содержание понятий «принцип» и «метод» измерений.

2.Какими характеристиками описывается точность методов и средств измерений

3.Назовите основные метрологические принципы измерений

4.Какие существуют варианты метода сравнения, в чем их общность и различие.

5.В чем различие методов прямого и косвенного измерений.

6.Объясните суть понятия «совокупные измерения»

7.К какому виду погрешностей – случайным или систематическим, относятся мультипликативная и аддитивная погрешности.

8.Разъясните, какие причины могут являться потенциальным источником методической погрешности и почему