КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ХИМИКО- ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ». ЧАСТЬ 1

обратная связь отсутствует, у неустойчивых внутренняя обратная связь является положительной.

z

∆z

t

х

3

2

1

∆х∞

t

Рис 2.2. Объекты регулирования:

1 – устойчивые, 2 – нейтральные, 3 – неустойчивые.

Количественно способность ОР к самовыравниванию оценивают степенью самовыравнивания ρ, которая может быть различной по разным каналам прохождения сигнала:

ρz =

или

ρu =

Для устойчивых ОР ρ > 0 для нейтральных ρ = 0, для неустойчивых ρ < 0. Чем больше ρ, тем меньше отклонение регулируемой величины от начального значения:

х

3

2

ρ1 > ρ2 > ρ3

1

t

21

Емкость C характеризует инерционные свойства ОР, то есть скорость изменения выходной величины ОР. Как и самовыравнивание, емкость ОР по разным каналам прохождения сигнала может быть различной.

Cz =

или

Cu =

Чем больше емкость, тем меньше скорость изменения выходной величины ОР.

х

1

2	С1 < С2 < С3
	3

t

Часто для оценки инерционных свойств ОР используют понятие времени разгона. Время разгона Тε – это время, в течение которого выходная величина ОР, изменяясь с постоянной скоростью, изменяется на столько же, на сколько изменилась его входная величина.

z

∆z

t

х

∆z

		∆х
	Тε
					t
		22

Численно время разгона равно емкости, но они имеют разные размерности.

Cz =

Различают одноемкостные, двухъемкостные и многоемкостные объекты (объекты 1, 2 и более высокого порядка).

Запаздывание характеризует внутреннее сопротивление ОР. При действии возмущения выходная величина ОР изменяется не сразу, а через некоторое время. Время от подачи возмущения до начала изменения выходной величины ОР называется временем запаздывания τ.

z

Fпр

∆z

l

t

x

(L)

L

0

t

(L0)

τ

2.7. Аналитическое определение свойств ОР

Свойства ОР можно определять аналитически или экспериментально.

Для аналитического определения свойств ОР составляют математическую модель объекта. В состав математической модели входят несколько уравнений:

23

1.Уравнения материального или теплового баланса. Их обычно столько, сколько выходных величин ОР.

П– У + И – С = Н

2.Кинетические уравнения (определяют скорость протекания процесса).

r = k С, где k – константа скорости реакции; k = B exp(-E/RT);

Q = K A(T2 – T1) – количество передаваемого тепла.

3.Уравнения равновесия (определяют область протекания процесса).

y = f(x); у = mx – для смеси пар-жидкость.

4.Уравнения связи (описывают согласование между собой нескольких аппаратов, входящих в систему).

Необходимо отметить, что математическая модель всегда несколько упрощает реальный объект.

Математическая модель может быть моделью статического и динамического режима (ММСР и ММДР). В статике накопление Н = 0.

Уравнение динамики ОР составляют в определенной последовательности.

1.Записывают уравнения материального или теплового баланса, кинетические уравнения, уравнения равновесия и связи.

2.Выделяют входные и выходные величины.

3.Переходят от абсолютных величин к приращениям.

4.Проводят линеаризацию нелинейных зависимостей.

5.Приводят уравнение к стандартному виду.

Пример 1. Составление уравнения динамики гидравлического резервуара со свободным сливом жидкости (А – площадь поперечного сечения резервуара, а – площадь проходного сечения вентиля на сливной линии).

24

Уравнение

материального

Fпр

А

баланса:

L

Fпрdt – Fpdt = ρdV = АρdL .

(2.5)

Уравнение связи:

Fp

Fp = αa

.

(2.6)

a

Выходная величина данного объекта – уровень жидкости L, входные – приток Fпр и расход Fp жидкости.

Переходим к приращениям:

Fпр → ∆Fпр; Fp → ∆Fp; L → ∆L. Тогда
∆Fпрdt – ∆Fpdt = Аρd∆L .	(2.7)

Линеаризуем имеющуюся нелинейную зависимость:

Fp =		=
=	=	.
Отсюда
∆Fp = Fp – =	.	(2.8)

Из уравнений (2.7) и (2.8) получим:

∆Fпр – = ;

+ = ∆Fпр – ;

+ = ∆Fпр – .

Введем обозначения: ∆L = x, ∆Fпр = z, ∆Fp = u. Тогда

Т0 + х = kнz – k0u,

(2.9)

25

где Т0 = – постоянная времени объекта, kн = и

k0 = – коэффициенты передачи объекта по каналам,

соответственно, возмущения и управления.

Уравнение (2.9) – неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решение этого уравнения для случая, когда изменяется только возмущающее воздействие z (то есть только приток жидкости в резервуар ∆Fпр), имеет вид:

х = kнz

.

(2.10)

Если z = 1(t), то график зависимости х ≡ h(t) = f(t) имеет вид:

z 1

0

t

h(t)

kн

Т0
		t

Из графика видно, что данный объект является устойчивым объектом без запаздывания. Отметим также, что это объект первого порядка, так как он описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Пример 2. Составление уравнения динамики резервуара, жидкость из которого откачивается насосом с постоянной производительностью.

В данном случае имеет место только уравнение материального баланса (уравнения связи нет):

26

A

Fпр

L

Fp = const = F0

Fпрdt – Fpdt = ρdV = АρdL.

(2.11)

Переходим к приращениям:

∆Fпрdt – ∆Fpdt = Аρd∆L.

(2.12)

Отсюда:

= ∆Fпр – ∆Fp .

(2.13)

Левую часть уравнения (2.13) умножим и разделим на L0, а также разделим все члены уравнения (2.13) на F0. Получим:

=

.

(2.14)

Введем обозначения: Tε = , х = z = , u = . Тогда

Тε = z – u .

(2.15)

Решение уравнения (2.15) для случая, когда изменяется только возмущающее воздействие z, имеет вид:

x =

.

(2.16)

При z = 1(t) график зависимости х ≡ h(t) = f(t) – прямая линия:

x =	.	(2.17)
		27

z 1

0

t

h(t)

1

Тε
		t

Данный объект является нейтральным объектом первого порядка без запаздывания (Tε – время разгона объекта).

Для более сложных объектов уравнения динамики могут содержать производные второго и более высокого порядков.

Устойчивые объекты 2-го порядка описываются следующим уравнением:

+ T2 + х = kнz – k0u.

(2.18)

Переходная характеристика данного объекта h(t) при z = 1(t) и соотношении постоянных времени Т2/Т1 ≥ 2 имеет вид:

z 1

0		t

h(t)

kн

	Т1		Т2
					t
				28

Нейтральные объекты 2-го порядка описываются уравнением

= z – u .

(2.19)

Переходная характеристика для такого объекта имеет вид

z

1

0		t

h(t)

1

Т0		Тε
				t

Объекты с запаздыванием описываются следующими уравнениями динамики:

Т0	+ х(t) = kнz(t – τ1) – k0u(t – τ2) ;		(2.20)
Тε	= z(t – τ1) – u(t – τ2) ;		(2.21)
	+T2	+ х(t) = kнz(t – τ1) – k0u(t – τ2);	(2.22)
		= z(t – τ1) – u(t – τ2) .	(2.23)

Соответствующие переходные характеристики представлены на рис. 2.3.

29

z 1

0

h(t)

τ1

h(t)

1

τ1

h(t)

t

kн а

Т0

t

б

Тε t

kн в

τ1		Т1		Т2
						t

h(t)

г

1

τ1		Т0		Тε	t

Рис. 2.3. Переходные характеристики объектов с запаздыванием:

а – устойчивый объект 1-го порядка; б – нейтральный объект 1-го порядка; в - устойчивый объект 2-го порядка;

г – нейтральный объект 2-го порядка.

30