Лекция 3 Уравнения мат.физики

Уравнения мат.физики

Магистры

А.А.Кононова

БГТУ ВОЕНМЕХ

2 марта 2016 г.

Определение (Виды краевых условий)

Условия Дирихле y(a) = y(b) = 0;

Условия Неймана y0(a) = y0(b) = 0;

Условия Робена y0(a) hy(a) = y0(b) + Hy(b) = 0;

Смешанные условия (разного вида на разных концах отрезка);

Периодические условия y(a) = y(b); y0(a) = y0(b);

Антипериодические условия y(a) = y(b); y0(a) = y0(b);

Общие краевые условия

ai1y(a) + ai2y0(a) + ai3y(b) + ai4y0(b) = 0;

Рассмотренный метод решения учп называется МЕТОД ФУРЬЕ (метод разделения переменных, метод стоячих волн). Он применяется и для решения других УЧП, но пока продолжим подробное рассмотрение уравнения струны.

Мы рассмотрели задачу Ш-Л с краевыми условиями Дирихле. Рассмотрим другие варианты.

ЗШЛ, краевые условия Неймана.

X 00(x) + X (x) = 0;

X 0(0) = X 0(l) = 0:

Следовательно, числа < 0 не являются собственными числами ЗШЛ.

Ïðè = 0

X (x) = C1x + C2:

Из краевого условия X 0(0) = 0 получаем

C1 = 0:

Тогда X (x) = C2; X 0(x) = 0: Таким образом, второе краевое условие X 0(l) = 0 выполняется при любом C2. Следовательно,

÷èñëo = 0 являtтся собственным числом ЗШЛ. Ему соответствует собственная функция X0 := 1:

Следовательно, числа n := 2l2n2 ; n 2 N: являются собственными числамиpÇШЛ. Соответствующие собственные функции Xn(x) = cos( nx):

ЗШЛ, смешанные краевые условия Дирихле-Неймана.

X 00(x) + X (x) = 0;

X (0) = X 0(l) = 0:

Следовательно, числа < 0 не являются собственными числами ЗШЛ.

Ïðè = 0

X (x) = C1x + C2:

Из краевого условия X (0) = 0 получаем

C2 = 0:

Тогда X (x) = C1x; X 0(x) = C1: Таким образом, второе краевое условие X 0(l) = 0 выполняется только при C1 = 0.

Следовательно, числo = 0 не является собственным числом ЗШЛ.

собственными числамиpÇШЛ. Соответствующие собственные функции Xn(x) = sin( nx):

ЗШЛ, смешанные краевые условия Неймана-Дирихле.

X (x) = C1e x + C2e x :

Из краевого условия X 0(0) = 0 получаем

C1 = C2:

p

Тогда X (x) = 2C1 ch x: Из краевого условия X (l) = 0 получаем

C1 = C2 = 0:

Следовательно, числа < 0 не являются собственными числами ЗШЛ.