Лекция 3 Уравнения мат.физики

Ïðè = 0

X (x) = C1x + C2:

Из краевого условия X 0(0) = 0 получаем

C1 = 0:

Тогда X (x) = C2: Таким образом, второе краевое условие X (l) = 0 выполняется только при C2 = 0. Следовательно, числo = 0 не является собственным числом ЗШЛ.

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Ïðè > 0

pp

X (x) = C1 sin( x) + C2 cos( x):

Из краевого условия X 0(0) = 0 получаем

C1 = 0:

p

Тогда X (x) = C2 cos( x): Из краевого условия X (l) = 0 получаем

X (l) = C

cos(p

l) = 0

p

l = k

=2

)

:=

2(2n 1)2

; n

(2l)2

2

)

n

Следовательно, числа

n :=

2

(2n 1)2

; n 2 N:

являются

(2l)2

собственными числамиpÇШЛ. Соответствующие собственные функции Xn(x) = cos( nx):

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

ЗШЛ, смешанные краевые условия Дирихле-Робена.

X 00(x) + X (x) = 0;

X (0) = X 0(l) + HX (l) = 0; H > 0:

Ïðè < 0, как и раньше, не имеет нетривиальных решений (упражнение).

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Ïðè = 0

X (x) = C1x + C2:

Из краевого условия X (0) = 0 получаем

C2 = 0:

Тогда X (x) = C1x; X 0(x) = C1: Таким образом, второе краевое условие X 0(l) + HX (l) = 0 принимает вид C1 + C1Hl = 0 è

выполняется только при C1 = 0. Следовательно, числo = 0 не является собственным числом ЗШЛ.

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Ïðè > 0

pp

X (x) = C1 sin( x) + C2 cos( x):

Из краевого условия X (0) = 0 получаем

C2 = 0:

p p p

Тогда X (x) = C1 sin( x); X 0(x) = C1 cos( x): Из краевого условия X 0(l) + HX (l) = 0 получаем

p

p

p

p

p

cos(

l) + H sin( x) = 0 )

= H tg(

l):

Это уравнение имеет бесконечно много решений. Они и будут

ñ.÷. ÇØË np, Ñоответствующие собственные функции

Xn(x) = sin( nx); n 2 N:

Для прочих вариантов краевых условий для ЗШЛ анализ проводится аналогично.

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Определение

Неоднородное волновое уравнение (вынужденные колебания

струны)

utt00 = a2uxx00 + f (x; t)

с однородными граничными и начальными условиями

u(0; t) = u(l; t) = 0;

u(x; 0) = ut0 (x; 0) = 0:

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Как и раньше, будем искать решение в виде
u(x; t) =	P	1	Tn(t)Xn(x), ãäå Xn(x) - собственные функции
задачи		n=1

Штурма-Лиувилля

X 00(x) + X (x) = 0;

X (0) = X (l) = 0:

Мы уже их находили раньше:

	2n2		p
n :=		; Xn(x) = sin(		nx)
	l2

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Будем искать u(x; t) â âèäå

1

p

Xn

Tn(t) sin( nx);

u(x; t) =

=1

Подставляя в исходное уравнение, получаем

Tn00

p

2

n sin(

p

(t) sin( nx) + a

nx) = f (x; t):

(T 00

(t) + a2 n) sin(p

nx) = f (x; t):

n

Разложим f (x; t) в ряд Фурье по ортогональной системе
функций	p
	sin( nx):
	1			p
			Xk	fn(t) sin( nx):
			f (x; t) =
	=1

Получаем уравнение Tn00(t) + a2 n = fn(t), решая которое, находим Tn(t).

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики