Лекция 2 Уравнения мат.физики
.pdf
Уравнения мат.физики
Магистры
А.А.Кононова
БГТУ ВОЕНМЕХ
23 февраля 2016 г.
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Åùå ðàç.
Колебание струны, закрепленной на концах.
utt = a2uxx ;
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Åùå ðàç.
Колебание струны, закрепленной на концах.
utt = a2uxx ;
u(0; t) = u(l; t) = 0:
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Åùå ðàç.
Колебание струны, закрепленной на концах.
utt = a2uxx ;
u(0; t) = u(l; t) = 0:
Попробуем найти решение вида
u(x; t) = X (x)T (t):
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Åùå ðàç.
Колебание струны, закрепленной на концах.
utt = a2uxx ;
u(0; t) = u(l; t) = 0:
Попробуем найти решение вида
u(x; t) = X (x)T (t):
X 00T = 1=a2T 00X ; |
|
||||||
X 00(x) |
= |
1 T 00(t) |
: |
||||
|
|
|
|
|
|||
X (x) |
a2 T (t) |
||||||
|
|
||||||
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Åùå ðàç.
Колебание струны, закрепленной на концах.
utt = a2uxx ;
u(0; t) = u(l; t) = 0:
Попробуем найти решение вида
u(x; t) = X (x)T (t):
X 00T = 1=a2T 00X ; |
|
||||||
X 00(x) |
= |
1 T 00(t) |
: |
||||
|
|
|
|
|
|||
X (x) |
a2 T (t) |
||||||
|
|
||||||
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
X 00(x) |
= |
1 T 00(t) |
: |
|||
|
|
|
|
|||
X (x) |
a2 T (t) |
|||||
|
|
|||||
Левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от t. Следовательно, обе части равны постоянной величине. Обозначим эту величину :
X 00(x) |
= |
1 T 00(t) |
= : |
|||
X (x) |
|
a2 |
|
T (t) |
||
Теперь решим задачу Штурма-Лиувилля
X 00(x) + X (x) = 0; X (0) = X (l) = 0; X (x) 60:
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
X 00(x) + X (x) = 0; X (0) = X (l) = 0; X (x) 60:
Случаи < 0 è = 0 приводят к тривиальному решению
X (x) 0.
Рассмотрим случай > 0.
p |
|
p |
|
|
X (x) = D1 cos |
x + D2 sin x; |
|||
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Задача Штурма-Лиувилля |
|
X 00(x) + X (x) = 0; X (0) = X (l) = 0; X (x) |
0: |
|
6 |
Случаи < 0 è = 0 приводят к тривиальному решению
X (x) 0.
Рассмотрим случай > 0.
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
X (x) = D1 cos x + D2 sin x; |
|||||||||
X (0) = D1 = 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
X (l) = D2 sin |
l = 0: |
||||||||
Решение будет нетривиальным только при |
|||||||||
p |
|
= |
n |
|
|
|
|
||
|
: |
|
|
|
|||||
l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|
Задача Штурма-Лиувилля |
|
X 00(x) + X (x) = 0; X (0) = X (l) = 0; X (x) |
0: |
|
6 |
Случаи < 0 è = 0 приводят к тривиальному решению
X (x) 0.
Рассмотрим случай > 0.
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
X (x) = D1 cos x + D2 sin x; |
|||||||||
X (0) = D1 = 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
X (l) = D2 sin |
l = 0: |
||||||||
Решение будет нетривиальным только при |
|||||||||
p |
|
= |
n |
|
|
|
|
||
|
: |
|
|
|
|||||
l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А.А.Кононова |
Уравнения мат.физики |
|
|