Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Клевчихина. 2 семестр.lec_2sem / lec16 / lec16
.tex\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}
\DeclareMathOperator{\F}{\mathbb F}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.5cm]
\rule{9.7cm}{.3pt}
\vskip-9pt
\rule{9.7cm}{1pt}
\vskip 1cm
%{\LARGE\tbf{}}\\[2mm]
{\LARGE\tbf{нБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч $\R^N$}}\\[5mm]
{\Large\ttt{МЕЛГЙС 16 (03.04.2007)}}\\[5mm]
{\Large\ttt{чЕЛФПТОЩЕ РТПУФТБОУФЧБ Й \\[2mm]
ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ ЧЕЛФПТОЩЕ РТПУФТБОУФЧБ}}\\
\vfil
{\ovalbox{\hskip-4pt\rule[-10pt]{0pt}{27pt}
\Large$\frac{\D f}{\D x}$\hskip-3pt}}
\vfil
\large ч М Б Д Й Ч П У Ф П Л\\
2007
\end{center}
\pagebreak
\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{ \hrulefill}
\section*{мЕЛГЙС 16}
у ЬФПК МЕЛГЙЙ НЩ ОБЮЙОБЕН ЙЪХЮБФШ ЬМЕНЕОФЩ <<НОПЗПНЕТОПЗП БОБМЙЪБ>>.
ч РПМОПН ПВЯЈНЕ ЬФП ПВЫЙТОБС Й ДПЧПМШОП ФТХДОБС ФЕПТЙС. еЈ ЮБУФП
ОБЪЩЧБАФ <<НБФЕНБФЙЮЕУЛЙН БОБМЙЪПН ОБ НОПЗППВТБЪЙСИ>>.
нОПЗППВТБЪЙЕ --- ЬФП ПВПВЭЕОЙЕ РПОСФЙС ДЧХНЕТОПК РПЧЕТИОПУФЙ
<<ОБ УМХЮБК $N$ РЕТЕНЕООЩИ>>. дЧХНЕТОЩНЙ НОПЗППВТБЪЙСНЙ СЧМСАФУС
ФБЛЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ ЛБЛ РМПУЛПУФШ, УЖЕТБ, ФПТ, МЙУФ нЈВЙХУБ.
йНЕАФУС $N$-НЕТ\-ОЩЕ ПВПВЭЕОЙС ЬФЙИ РПЧЕТИОПУФЕК.
нЩ ВХДЕН ЙЪХЮБФШ РТПУФЕКЫХА, ОП ЗМБЧОХА ЮБУФШ ЬФПК ФЕПТЙЙ ---
НБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч $\R^N$. ьФП ЗМБЧОБС ЮБУФШ, РПФПНХ ЮФП МПЛБМШОП
(ФП ЕУФШ Ч НБМПК ПЛТЕУФОПУФЙ ЛБЦДПК ФПЮЛЙ) Ч ПВЭЕН УМХЮБЕ ($N$-НЕТОПЗП
НОПЗППВТБЪЙС) <<ЧУЈ РТПЙУИПДЙФ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Ч $\R^N$>>. рПЮФЙ ЧУЕ ТБЪМЙЮЙС
РТПСЧМСАФУС ФПМШЛП РТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ <<ЗМПВБМШОЩИ УЧПКУФЧ>> ЖХОЛГЙК Й НОПЦЕУФЧ,
ФП ЕУФШ УЧПКУФЧ, РТПСЧМСАЭЙИУС, ЛПЗДБ ЙЪХЮБАФ ЖХОЛГЙЙ Й НОПЦЕУФЧБ <<Ч
ГЕМПН>>.
уОБЮБМБ НЩ ЙЪХЮЙН <<БТЕОХ>>, ОБ ЛПФПТПК ВХДХФ РТПЙУИПДЙФШ ЧУЕ
УПВЩФЙС --- РТПУФТБОУФЧП $\R^N$.
\subsection*{чЕЛФПТОЩЕ РТПУФТБОУФЧБ}
ъДЕУШ Ч ПУОПЧОПН ВЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧ\footnote{
дПЛБЪБФЕМШУФЧБ ДПМЦОЩ ВЩМЙ ВЩФШ Ч ЛХТУЕ
БМЗЕВТЩ. рПМЕЪОП ЙИ ЧУРПНОЙФШ.} РТЙЧЕДЕОЩ ОЕЛПФПТЩЕ УЧЕДЕОЙС
ЙЪ МЙОЕКОПК БМЗЕВТЩ.
оБРПНОЙН, ЮФП ЮЕТЕЪ $\mathcal F(X;Y)$ ЙМЙ $Y^X$
ПВПЪОБЮБЕФУС НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ЖХОЛГЙК $f:X\to Y$.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{чЕЛФПТОЩН РТПУФТБОУФЧПН} (ОБД РПМЕН $\F$)
(ЙМЙ, ЙОБЮЕ, \tit{МЙОЕКОЩН РТПУФТБОУФЧПН}) ОБЪЩЧБАФ (ОЕРХУФПЕ) НОПЦЕУФЧП
$E$ ОБДЕМЈООПЕ ПДОЙН ЧОХФТЕООЙН ЪБЛПОПН ЛПНРПЪЙГЙЙ, ПВПЪОБЮБЕНЩН $+$,
Й ПДОЙН ЧОЕЫОЙН ЪБЛПОПН ЛПНРПЪЙГЙЙ --- ХНОПЦЕОЙЕН ОБ ЬМЕНЕОФЩ РПМС $\F$
(Х ОБУ ВХДЕФ ЧУЕЗДБ $\F=\R$). рТЙ ЬФПН ДПМЦОЩ ВЩФШ ЧЩРПМОЕОЩ УЧПКУФЧБ:
\begin{center}
\begin{tabular}{lr}
1. $\forall x, y\in E$ &\parbox{6.8cm}{$x+y=y+x$ --- ЛПННХФБФЙЧОПУФШ;}\\
2. $\forall x, y, z\in E$&\parbox{6.8cm}{$x+(y+z)=(x+y)+z$ ---
БУУПГЙБФЙЧОПУФШ;}\\
3. $\exists\theta\in E\ \forall x\in E$ &\parbox[t]{6.8cm}{$x+\theta=x$ ---
УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ОЕКФТБМШОПЗП ЬМЕНЕОФБ ДМС УМПЦЕОЙС. ьМЕНЕОФ $\theta$
ОБЪЩЧБАФ ОХМЕЧЩН ЬМЕНЕОФПН ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ $E$.} \\
4. $\forall x\in E\ \exists(-x)\in E$: &\parbox[t]{6.8cm}{$x+(-x)=\theta$ ---
УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ПВТБФОПЗП ЬМЕНЕОФБ.}%\\
\end{tabular}
\begin{tabular}{lr}
5. $\forall x, y\in E\ \forall\alpha\in\R$&\parbox[t]{6.8cm}{$\alpha(x+y)=
\alpha x+\alpha y$ --- ДЙУФТЙВХФЙЧОПУФШ ХНОПЦЕОЙС
ПФОПУЙФЕМШОП УМПЦЕОЙС Ч $E$;} \\
6. $\forall x\in E\ \forall\alpha,\beta\in\R$ &\parbox[t]{6.8cm}{
$(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$ --- ДЙУФТЙВХФЙЧОПУФШ УМПЦЕОЙС Ч $\F$
ПФОПУЙФЕМШОП ХНОПЦЕОЙС ОБ ЬМЕНЕОФЩ $E$;} \\
7. $\forall x\in E\ \forall\alpha\beta\in\R$ &\parbox[t]{6.8cm}{
$\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x$ --- БУУПГЙБФЙЧОПУФШ
ЧОЕЫОЕЗП ЪБЛПОБ ЛПНРПЪЙГЙЙ;}\\
8. $\forall x\in E$ &\parbox[t]{6.8cm}{$0\cdot x=\theta$ Й $1\cdot x=x$.}
\end{tabular}
\end{center}
\teo{рТЙНЕТЩ. 1.} рХУФШ $E = \R$. фПЗДБ $E$, ПЮЕЧЙДОП, ЧЕЛФПТОПЕ
РТПУФТБОУФЧП (ОБД УБНЙН УПВПК).
\teo{2.} \tbf{зМБЧОЩК РТЙНЕТ ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ}\footnote{
нОПЗЙЕ РПМБЗБАФ, ЮФП ЙНЕООП ЬФПФ РТЙНЕТ РПУМХЦЙМ ЙУФПЮОЙЛПН РТЙЧЕДЈООЩИ
ЧЩЫЕ ЧПУШНЙ БЛУЙПН ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ.}. рХУФШ $M$ --- РТПЙЪЧПМШОПЕ
ОЕРХУФПЕ НОПЦЕУФЧП Й $E$ --- ЧЕЛФПТОПЕ РТПУФТБОУФЧП (ОБРТЙНЕТ, $\R$).
фПЗДБ НОПЦЕУФЧП $\mathcal F(M;E)=E^M$ --- ЧУЕИ ЖХОЛГЙК $f:M\to E$ СЧМСЕФУС
ЧЕЛФПТОЩН РТПУФТБОУФЧПН ПФОПУЙФЕМШОП ПРЕТБГЙК, ПРТЕДЕМСЕНЩИ <<РПФПЮЕЮОП>>:
\[
(f+g)(x)\bydef f(x)+g(x),\qquad (\alpha f)(x)\bydef\alpha\cdot f(x).
\]
{\footnotesize (ч ЛБЮЕУФЧЕ РТПЧЕТЛЙ ОБ РПОЙНБОЙЕ РТПЙУИПДСЭЕЗП,
ТЕЛПНЕОДХЕФУС РТПЧЕТЙФШ, ЮФП ФБЛ ПРТЕДЕМЈООЩЕ ПРЕТБГЙЙ ДЕКУФЧЙФЕМШОП
ПВМБДБАФ РЕТЕЮЙУМЕООЩНЙ ЧЩЫЕ ЧПУЕНША УЧПКУФЧБНЙ, Ф.~Е. ХДПЧМЕФЧПТСАФ
БЛУЙПНБН ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ.)}
\teo{юБУФОЩЕ УМХЮБЙ.}
\teo{3.} рХУФШ $M=\pmb n=\{1,2,\dots,n\}$ Й $E=\R$, ФПЗДБ
$\mathcal F(\pmb n;\R)$ ПВПЪОБЮБЕФУС ЮЕТЕЪ $\R^n$ Й ОБЪЩЧБЕФУС
$n$-\tit{НЕТОЩН БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙН РТПУФТБОУФЧПН}.
пЮЕЧЙДОП, ЧУСЛХА ЖХОЛГЙА $x:\pmb n\to\R$, $k\mapsto x_k$, НПЦОП
ЪБРЙУБФШ Ч ЧЙДЕ $x=(x_1, x_2,\dots,x_n)$, Ф.~Л. ЮФПВЩ ЪБДБФШ ЖХОЛГЙА,
ПВМБУФША ПРТЕДЕМЕОЙС ЛПФПТПК СЧМСЕФУС ЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП, ДПУФБФПЮОП
РЕТЕЮЙУМЙФШ ЧУЕ ЕЈ ЪОБЮЕОЙС
\[
\begin{array}{cccc}
1 & 2 &\dots & n\\
\downarrow&\downarrow&\dots&\downarrow\\
x_1& x_2&\dots& x_n
\end{array}
\]
тБЪХНЕЕФУС, РТЙ РЕТЕЮЙУМЕОЙЙ ЪОБЮЕОЙК ОБДП УПВМАДБФШ РПТСДПЛ,
Ч ЛПФПТПН ЙДХФ ОБФХТБМШОЩЕ ЮЙУМБ \(1,2,\dots,n\). ч УЙМХ ЬФПЗП
ОБВПТ ЮЙУЕМ \((x_1,x_2,\dots,x_n)\), СЧМСАЭЙКУС ЬМЕНЕОФПН \(\R^n\),
ОБЪЩЧБАФ ХРПТСДПЮЕООПК $n$-ЛПК
(ЬОЛПК) ЙМЙ ЛПТФЕЦЕН\footnote{фЕТНЙО, ЪБЙНУФЧПЧБООЩК Х ЖТБОГХЪПЧ.}.
\teo{4.} рХУФШ $M=[a;b]$, $E=\R$, ФПЗДБ
$\mathcal F([a; b]; \R)=\mathcal F [a; b]$ ---
ЧЕЛФПТОПЕ РТПУФТБОУФЧП ЧУЕИ ЖХОЛГЙК, ПРТЕДЕМЈООЩИ ОБ ПФТЕЪЛЕ
$[a; b]$.
\looseness-1
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рПДНОПЦЕУФЧП $L\subset E$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{РПДРТПУФТБОУФЧПН}
ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ $E$, ЕУМЙ ПОП ХУФПКЮЙЧП (ЙМЙ, ЙОБЮЕ, ЪБНЛОХФП)
ПФОПУЙФЕМШОП ПРЕТБГЙК Ч $E$, ФП ЕУФШ РТЙНЕОЕОЙЕ БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК
Л ЬМЕНЕОФБН ЙЪ $L$ ДБЈФ ТЕЪХМШФБФ ПРСФШ РТЙОБДМЕЦБЭЙК~$L$:
%\begin{itemize}
%\vskip-12pt
%\item
$\bullet\enskip\forall x, y\in L\hspace{1.2cm} x + y \in L$;
%\item
$\bullet\enskip\forall x\in L\ \forall\alpha \in \R\quad \quad \alpha x\in L$.
%\end{itemize}
йЪ ЬФПЗП ПРТЕДЕМЕОЙС УМЕДХЕФ, ЮФП ЧУСЛПЕ РПДРТПУФТБОУФЧП $L$
ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ $E$, ТБУУНБФТЙЧБЕНПЕ ПФДЕМШОП ПФ $E$,
СЧМСЕФУС ЧЕЛФПТОЩН РТПУФТБОУФЧПН. ч ЮБУФОПУФЙ ОХМЕЧПК ЬМЕНЕОФ \(\theta\)
РТЙОБДМЕЦЙФ МАВПНХ РПДРТПУФТБОУФЧХ.
\teo{рТЙНЕТЩ.} 1. ч ЛБЦДПН (ОЕОХМЕЧПН) ЧЕЛФПТОПН РТПУФТБОУФЧЕ $E$ ЙНЕЕФУС
НОПЗП РПДРТПУФТБОУФЧ. оБРТЙНЕТ, ДЧБ, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНЩИ, <<ФТЙЧЙБМШОЩИ>>
РПДРТПУФТБОУФЧБ: $L_1=\{\theta\}$ --- РПДРТПУФТБОУФЧП, ЕДЙОУФЧЕООЩН ЬМЕНЕОФПН
ЛПФПТПЗП СЧМСЕФУС ОХМЕЧПК ЬМЕНЕОФ, Й $L_2=E$ --- РПДРТПУФТБОУФЧП,
УПЧРБДБАЭЕЕ У УБНЙН РТПУФТБОУФЧПН $E$.
\teo{2.} оБ РМПУЛПУФЙ, ЛПФПТХА, ЛБЛ ЙЪЧЕУФОП, НПЦОП ПФПЦДЕУФЧЙФШ У $\R^2$,
ЕУМЙ ЧЩВТБФШ ОБЮБМП $O$ Й ЛППТДЙОБФОХА УЙУФЕНХ --- ПУЙ $Ox$ Й $Oy$,
ОЕФТЙЧЙБМШОЩЕ РПДРТПУФТБОУФЧБ --- ЬФП Ч ФПЮОПУФЙ РТСНЩЕ, РТПИПДСЭЙЕ ЮЕТЕЪ
ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ. лБЦДПЕ ФБЛПЕ РПДРТПУФТБОУФЧП $L$ НПЦОП ЪБДБФШ
УППФОПЫЕОЙЕН
\[
L=\big\{(x,y)\in\R^2 : Ax +By = 0\big\}
\]
РТЙ ОЕЛПФПТЩИ ЖЙЛУЙТПЧБООЩИ $A$ Й $B$.
\teo{3.} бОБМПЗЙЮОП, Ч ФТЕИНЕТОПН РТПУФТБОУФЧЕ $\R^3$ ОЕФТЙЧЙБМШОЩНЙ
РПДРТПУФТБОУФЧБНЙ СЧМСАФУС МЙВП РТСНЩЕ, РТПИПДСЭЙЕ ЮЕТЕЪ ОБЮБМП
ЛППТДЙОБФ, МЙВП РМПУЛПУФЙ ФПЦЕ РТПИПДСЭЙЕ ЮЕТЕЪ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ.
фБЛЙЕ РМПУЛПУФЙ ЪБДБАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ
\[
L=\big\{(x,y,z)\in\R^3 : Ax +By + Cz =0\big\}
\]
рТСНЩЕ --- РЕТЕУЕЮЕОЙЕ РМПУЛПУФЕК, Ф.Е. ФПЮЛЙ $(x,y,z)\in\R^3$,
ХДПЧМЕФЧПТСАЭЙЕ УЙУФЕНЕ ДЧХИ МЙОЕКОЩИ ХТБЧОЕОЙК
\[
\begin{cases}
A_1 x +B_1 y + C_1 z = 0&\\ A_2 x +B_2 y + C_2 z =0.&
\end{cases}
\]
(ч НБФТЙГЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ ДПМЦЕО ВЩФШ НЙОПТ ЧФПТПЗП РПТСДЛБ ПФМЙЮОЩК
ПФ ОХМС).
4. \teo{ ъБДБЮБ.} дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ДМС
МАВПЗП РПДРТПУФТБОУФЧБ $L\subset\R^N$ УХЭЕУФЧХЕФ (ОЕ ЕДЙОУФЧЕООЩК)
ФБЛПК ОБВПТ ЮЙУЕМ $\big(\alpha_{ij}\big)$, $0\leq i,j\leq N$, ЮФП
\[
L=\{x=(x^1,x^2,\dots,x^N):\forall i \sum_{j=1}^N \alpha_{ij}x^j=0\big\}
\]
5. ч РТПУФТБОУФЧЕ $\mathcal F[a;b]$ НЩ ХЦЕ ЪОБЕН ФТЙ РПДРТПУФТБОУФЧБ
$B[a;b]$, $C[a;b]$, $\Rim [a; b]$. вПМЕЕ ФПЗП, НЩ ХЦЕ ДПЛБЪБМЙ, ЮФП
ПОЙ УЧСЪБОЩ ЧЛМАЮЕОЙСНЙ
\[
\mathcal F [a;b]\supset B[a; b]\supset \Rim[a; b] \supset C[a; b].
\]
оБРПНОЙН, ЮФП $B[a; b]$ --- НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ПЗТБОЙЮЕООЩИ ЖХОЛГЙК
$C[a;b]$ --- НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ОЕРТЕТЩЧОЩИ ЖХОЛГЙК $\Rim[a; b]$ ---
НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ЙОФЕЗТЙТХЕНЩИ РП тЙНБОХ ЖХОЛГЙК.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рХУФШ $(x_i)_{i\in I}$ --- РТПЙЪЧПМШОПЕ УЕНЕКУФЧП
ЬМЕНЕОФПЧ ЙЪ $E$. \tit{мЙОЕКОПК ЛПНВЙОБГЙЕК} ЬМЕНЕОФПЧ $(x_i)_{i\in I}$
ОБЪЩЧБАФ ЧУСЛХА УХННХ ЧЙДБ $\Sum_{i\in J} \alpha_i x_i$, ЗДЕ $J$ ---
ЛПОЕЮОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП $I$, $\alpha_i$ --- ЮЙУМБ, ЙИ ОБЪЩЧБАФ
\tit{ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ МЙОЕКОПК ЛПНВЙОБГЙЙ}.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} уЕНЕКУФЧП ЧЕЛФПТПЧ $(e_k)_{k\in I}$, $e_k\in E$,
ОБЪЩЧБЕФУС \tit{МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНЩН} (ЙМЙ \tit{МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНПК
УЙУФЕНПК ЧЕЛФПТПЧ}), ЕУМЙ МЙОЕКОБС ЛПНВЙОБГЙС ЕЈ ЬМЕНЕОФПЧ ТБЧОБ
ОХМА ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ЧУЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ ТБЧОЩ ОХМА, Ф.~Е.
\[
\forall J\subset I\quad J\text{ --- ЛПОЕЮОП }\Rightarrow
\bigg(\sum_{k\in J} \alpha_k e_k = 0\Leftrightarrow \forall k\
\alpha_k = 0\quad\bigg)\quad (\alpha_k\in\R).
\]
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} уЕНЕКУФЧП ЧЕЛФПТПЧ $(e_i)_{i\in I}$ ОБЪЩЧБЕФУС
\tit{ВБЪЙУПН} Ч ЧЕЛФПТОПН РТПУФТБОУФЧЕ $E$, ЕУМЙ ПОП ПВМБДБЕФ УЧПКУФЧБНЙ:
\begin{itemize}
\item $(e_i)$ --- МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНБС УЙУФЕНБ ЧЕЛФПТПЧ Ч $E$;
\item МАВПК ЬМЕНЕОФ $x$ ЙЪ $E$ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ ЛБЛ МЙОЕКОХА ЛПНВЙОБГЙА
ЬМЕНЕОФПЧ ЙЪ $B$:
\[
\forall x\in E\ \exists J\text{ --- ЛПОЕЮОПЕ}\subset I:
x=\sum_{k\in J} \alpha_k e_k.
\]
\end{itemize}
\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.} йНЕЕФУС ПРТЕДЕМЕОЙЕ \tit{НОПЦЕУФЧБ} МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНЩИ
ЬМЕНЕОФПЧ (Б ОЕ УЕНЕКУФЧБ\footnote{CН. ТБЪМЙЮЙС НЕЦДХ РТПУФП НОПЦЕУФЧПН
Й УЕНЕКУФЧПН ЧП <<чЧЕДЕОЙЙ Ч БОБМЙЪ>>, МЕЛГЙС~4.}). б ЙНЕООП,
\tit{НОПЦЕУФЧП} $B\subset E$
ОБЪЩЧБАФ \tit{МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНЩН}, ЕУМЙ МАВБС МЙОЕКОБС ЛПНВЙОБГЙС
ЕЗП \tit{ТБЪМЙЮОЩИ} ЬМЕНЕОФПЧ ПВТБЭБЕФУС Ч ОХМШ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ ЧУЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ ЬФПК МЙОЕКОПК ЛПНВЙОБГЙЙ ТБЧОЩ ОХМА.
уППФЧЕФУФЧЕООП, НОПЦЕУФЧП $B\subset E$ СЧМСЕФУС ВБЪЙУПН, ЛПЗДБ
ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ДЧХН ХУМПЧЙСН:
\begin{itemize}
\item $B$ --- МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНПЕ РПДНОПЦЕУФЧП ЧЕЛФПТПЧ;
\item МАВПК ЬМЕНЕОФ $x$ ЙЪ $E$ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ ЛБЛ МЙОЕКОХА ЛПНВЙОБГЙА
ЬМЕНЕОФПЧ ЙЪ $B$.
\end{itemize}
\teo{рТЙНЕТЩ.} 1. уЕНЕКУФЧП $(e_k)_{1\leq k\leq N}$, ЗДЕ
$e_k=(\underbrace{\overbrace{0,\dots,0,1}^k,0,\dots,0}_{N})$
СЧМСЕФУС ВБЪЙУПН Ч $\R^N$ пО ОБЪЩЧБЕФУС \tit{УФБОДБТФОЩН ВБЪЙУПН}
Ч $\R^N$.
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. мЙОЕКОБС ОЕЪБЧЙУЙНПУФШ ЬФЙИ ЧЕЛФПТПЧ
РПМХЮБЕФУС ФБЛ: ПЮЕЧЙДОП ТБЧЕОУФЧП
\[
\sum_{k=1}^N\alpha_ke_k=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_N).
\]
оП РПУМЕДОЙК ЧЕЛФПТ СЧМСЕФУС ОХМЕЧЩН ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ
$\forall k$ $\alpha_k=0$.
рХУФШ ФЕРЕТШ $x=(x_1,x_2,\dots,x_N)$ ---
РТПЙЪЧПМШОЩК ЧЕЛФПТ ЙЪ $\R^N$. оП ФПЗДБ
\[
x=(x_1,x_2,\dots,x_n)=x_1e_1+ x_2 e_2+\dots+ x_N e_N.
\]
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.
2. уЕНЕКУФЧП ЧЕЛФПТПЧ
$e'_1=(1,0,0,\dots,0)$, $e'_2=(1,1,0,\dots,0)$,\dots \linebreak
$e'_k=(\overbrace{1,\dots,1}^k,0,0,\dots,0)$,\dots
$e'_N=(1,1,\dots,1)$ --- ФПЦЕ ВБЪЙУ Ч $\R^N$. дПЛБЦЙФЕ.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} чЕЛФПТОПЕ РТПУФТБОУФЧП $E$, Ч ЛПФПТПН УХЭЕУФЧХЕФ
ВБЪЙУ, УПУФПСЭЙК ЙЪ ЛПОЕЮОПЗП НОПЦЕУФЧБ ЬМЕНЕОФПЧ,
ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ЛПОЕЮОПНЕТОЩН}. нПЦОП ДПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ $E$ ---
ЛПОЕЮОПНЕТОПЕ РТПУФТБОУФЧП, ФП ЧУСЛЙК ЕЗП ВБЪЙУ УПДЕТЦЙФ ПДОП Й ФП
ЦЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ, ФП ЕУФШ УРТБЧЕДМЙЧБ ФЕПТЕНБ.
\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ $E$ --- ЛПОЕЮОПНЕТОПЕ ЧЕЛФПТОПЕ РТПУФТБОУФЧП Й
$(e_k)_{1\leq k\leq N}$, $(e'_i)_{1\leq i\leq M}$ --- ЕЗП ВБЪЙУЩ, ФП} $M=N$.
ч УЧСЪЙ У ЬФЙН ЖБЛФПН ЛПМЙЮЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ РТПЙЪЧПМШОПЗП
ВБЪЙУБ ЛПОЕЮОПНЕТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ $E$ ОБЪЩЧБАФ ТБЪНЕТОПУФША ЧЕЛФПТОПЗП
РТПУФТБОУФЧБ\footnote{ч УМХЮБЕ ВЕУЛПОЕЮОПНЕТОПЗП
РТПУФТБОУФЧБ ЕЗП ТБЪНЕТОПУФША ОБЪЩЧБАФ ЛБТДЙОБМШОПЕ ЮЙУМП РТПЙЪЧПМШОПЗП
ВБЪЙУБ. пОП ФПЦЕ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ ЧЩВПТБ ВБЪЙУБ.} Й ПВПЪОБЮБАФ $\dim E$.
рТПУФТБОУФЧБ $F[a;b]$, $B[a; b]$, $C[a; b]$, $R[a; b]$ --- ВЕУЛПОЕЮОПНЕТОЩ.
ч ОЙИ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ ЛПОЕЮОПЗП ВБЪЙУБ, ФБЛ ЛБЛ ДПЧПМШОП МЕЗЛП РТЙЧЕУФЙ
РТЙНЕТ ВЕУЛПОЕЮОПК МЙОЕКОП ОЕЪБЧЙУЙНПК УЙУФЕНЩ ЧЕЛФПТПЧ, ОБРТЙНЕТ,
УЕНЕКУФЧП УФЕРЕООЩИ ЖХОЛГЙК
$(x^n)_{n\in\N}=(1,x,x^2,x^3,\dots,x^n,\dots)$.
\subsection*{фПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РТПУФТБОУФЧБ}
дБМШОЕКЫБС ЮБУФШ ЬФПК МЕЛГЙЙ ОЕ ПВСЪБФЕМШОБ ДМС ЙЪХЮЕОЙС,
ОП ЕЈ РПМЕЪОП РТПЮЙФБФШ (Й РП ЧПЪНПЦОПУФЙ ТБЪПВТБФШУС),
ЮФПВЩ РПОЙНБФШ РТПЙУИПДСЭЕЕ.
ч ПДОПК ЙЪ РПУМЕДОЙИ МЕЛГЙК <<чЧЕДЕОЙС Ч БОБМЙЪ>> ХЦЕ ХРПНЙОБМПУШ,
ЮФП ФПРПМПЗЙС $T$ ОБ НОПЦЕУФЧЕ --- ЬФП ОЕЛПФПТЩК ЛМБУУ ЕЗП РПДНОПЦЕУФЧ
ХУФПКЮЙЧЩК Л ПРЕТБГЙСН ПВЯЕДЙОЕОЙС \tit{РТПЙЪЧПМШОЩИ} НОПЦЕУФЧ ЕЗП ЬМЕНЕОФПЧ
Й РЕТЕУЕЮЕОЙС \tit{МАВПЗП ЛПОЕЮОПЗП} НОПЦЕУФЧБ ЕЗП ЬМЕНЕОФПЧ, Ф.~Е.:
\begin{itemize}
\item $\forall (O_i)_{i\in I}\ \forall i\quad O_i\in\mathscr T\Rightarrow
\bigcup\limits_{i\in I} O_i\in\mathscr T$;
\item $\forall(O_i)_{i\in J}\ \forall i\quad O_i\in\mathscr T\text{ Й }
J\text{ --- ЛПОЕЮОП, } \Rightarrow\bigcap\limits_{i\in J} O_i\in\mathscr T$;
\end{itemize}
фБЛПК РПДИПД Л ПРЙУБОЙА ФПРПМПЗЙЙ ХДПВЕО ФЕПТЕФЙЮЕУЛЙ Ч УЙМХ
НЙОЙНБМШОПУФЙ ЛПМЙЮЕУФЧБ УЧПКУФЧ (ЧУЕЗП ДЧБ!), ПРЙУЩЧБАЭЙИ ФПРПМПЗЙА.
пДОБЛП, РТБЛФЙЮЕУЛЙ ПРЙУБОЙЕ ФПРПМПЗЙЙ ОЕРПУТЕДУФЧЕООП ЮЕТЕЪ
РЕТЕЮЙУМЕОЙЕ ЧУЕИ ПФЛТЩФЩИ НОПЦЕУФЧ ЪБФТХДОЙФЕМШОП.
вПМЕЕ ХДПВОПЕ ПРЙУБОЙЕ РПМХЮБЕФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН.
ч МАВПН ФПРПМПЗЙЮЕУЛПН РТПУФТБОУФЧЕ $E$ Х ЛБЦДПК ФПЮЛЙ $x$ НПЦОП ЪБДБФШ
ЛМБУУ ЧУЕИ ЕЈ ПЛТЕУФОПУФЕК $\mathcal O(x)$:
\[
O\in\mathcal O(x)\bydef\exists U\in \mathscr T: x\in U\land U\subset O
\]
(НОПЦЕУФЧП $O$ СЧМСЕФУС РП ПРТЕДЕМЕОЙА ПЛТЕУФОПУФША ФПЮЛЙ $x$ ФПЗДБ Й ФПМШЛП
ФПЗДБ, ЛПЗДБ $O$ УПДЕТЦЙФ ЛБЛПЕ-ОЙВХДШ ПФЛТЩФПЕ НОПЦЕУФЧП, УПДЕТЦБЭЕЕ $x$).
мЕЗЛП РТПЧЕТЙФШ, ЮФП Ч ФПРПМПЗЙЮЕУЛПН РТПУФТБОУФЧЕ ЛМБУУ $\mathcal O(x)$
ПВМБДБЕФ УЧПКУФЧБНЙ:
\begin{wrapfigure}[4]{r}{2cm}
\vskip -24pt
\includegraphics{topology.1}
\end{wrapfigure}
1. $\forall O\in\mathcal O(x)\quad x\in O$;
2. $\forall U\ \exists V\in\mathcal O(x)\land U\supset V
\Rightarrow U\in\mathcal O(x)$;
3. $\forall U,V\in\mathcal O(x)\Rightarrow U \cap V\in\mathcal O(x)$;
4. $\forall V{\in}\mathcal O(x)\ \exists W{\in}\mathcal O(x):
W\subset V\land \forall y\in W\Rightarrow V{\in}\mathcal O(y)$.
\medskip
пЛБЪЩЧБЕФУС ЧЕТОП Й ПВТБФОПЕ. еУМЙ ЛБЦДПК ФПЮЛЕ
УПРПУФБЧЙФШ ЛМБУУ РПДНОПЦЕУФЧ $\mathcal O(x)$, ПВМБДБАЭЙК УЧПКУФЧБНЙ 1--4, ФП
ПДОПЪОБЮОП ЧПУУФБОБЧМЙЧБЕФУС ФПРПМПЗЙС $\mathscr T$, Ч ЛПФПТПК ЬФПФ ЛМБУУ ВХДЕФ
НОПЦЕУФЧПН ЧУЕИ ПЛТЕУФОПУФЕК ФПЮЛЙ $x$. б ЙНЕООП, ПФЛТЩФЩНЙ ОБДП УЮЙФБФШ
НОПЦЕУФЧБ, УПДЕТЦБЭЙЕ ЧУЕ УЧПЙ ФПЮЛЙ ЧНЕУФЕ У ОЕЛПФПТЩНЙ ПЛТЕУФОПУФСНЙ.
ч УЙМХ УЛБЪБООПЗП, ФПРПМПЗЙЙ ОБ НОПЦЕУФЧБИ ПЮЕОШ ЮБУФП ЪБДБАФ У
РПНПЭША ПРЙУБОЙС ЛМБУУПЧ ЧУЕИ ПЛТЕУФОПУФЕК ФПЮЕЛ. дМС ЬФПЗП ТБЪТБВПФБОЩ
ХДПВОЩЕ НЕФПДЩ. пЛБЪБМПУШ, ЮФП НОПЗЙЕ ЙЪ ОБЙВПМЕЕ ХРПФТЕВЙНЩИ ФПРПМПЗЙК
(ОП ОЕ ЧУЕ!) НПЦОП ЪБДБФШ У РПНПЭША \tit{НЕФТЙЛЙ}. й ДЕМБЕФУС ЬФП РПУТЕДУФЧПН
УМЕДХАЭЙИ ПРТЕДЕМЕОЙК.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{нЕФТЙЛПК} (ЙМЙ \tit{ТБУУФПСОЙЕН}) $\rho$
ОБ НОПЦЕУФЧЕ $X$ ОБЪЩЧБАФ ЖХОЛГЙА $\rho:X\times X\to\R$ УП УЧПКУФЧБНЙ:
1. $\forall x,y\in X\quad\rho(x,y)\geq 0$ Й
$\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x = y$; --- РПМПЦЙФЕМШОПУФШ
Й ОЕЧЩТПЦДЕООПУФШ НЕФТЙЛЙ.
2. $\forall x,y\in X\quad \rho(x,y)=\rho(y,x)$; --- УЙННЕФТЙЮОПУФШ;
3. $\forall x,y,z\in X\quad\rho(x,y)\leq\rho(x,z)+\rho(z,y)$ --- ОЕТБЧЕОУФЧП
ФТЕХЗПМШОЙЛБ.
рТЙНЕТПН НЕФТЙЛЙ ОБ РМПУЛПУФЙ (ЙМЙ Ч ПВЩЮОПН ФТЕИНЕТОПН РТПУФТБОУФЧЕ)
СЧМСЕФУС ПВЩЮОПЕ (ЬЧЛМЙДПЧП) ТБУУФПСОЙЕ. вПМЕЕ РПДТПВОП РТЙНЕТЩ
НЩ ЙЪХЮЙН Ч УМЕДХАЭЕК МЕЛГЙЙ. оП РПЛБ ПФНЕФЙН, ЮФП ЬФП ОЕ ЕДЙОУФЧЕООБС
НЕФТЙЛБ\footnote{оБРТЙНЕТ, ЕУФШ ЕЭЈ, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНБС,
ФТЙЧЙБМШОБС НЕФТЙЛБ $\rho(x,y)=\begin{cases}1,&x\ne y\\0,&x=y\end{cases}$.}.
оБ ЧУСЛПН ОЕРХУФПН НОПЦЕУФЧЕ ЙНЕЕФУС, ЧППВЭЕ ЗПЧПТС, НОПЗП ТБЪМЙЮОЩИ НЕФТЙЛ.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{пФЛТЩФЩН ЫБТПН} У ГЕОФТПН Ч ФПЮЛЕ $x_0$ ТБДЙХУБ
$\eps>0$ ДМС НЕФТЙЛЙ $\rho$ ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП
\[
U_\eps(x_0)=\{x\in X:\rho(x,x_0)<\eps\}
\]
(НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ $x\in X$, ОБИПДСЭЙИУС ОБ ТБУУФПСОЙЙ НЕОШЫЕ $\eps$
ПФ ФПЮЛЙ $x_0$)
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{пЛТЕУФОПУФША} ФПЮЛЙ $x_0\in X$ Ч НОПЦЕУФЧЕ $X$
У ЖЙЛУЙТПЧБООПК НЕФТЙЛПК $\rho$ ОБЪЩЧБАФ ЧУСЛПЕ НОПЦЕУФЧП $O$,
УПДЕТЦБЭЕЕ ОЕЛПФПТЩК ПФЛТЩФЩК ЫБТ $U_\eps(x_0)$:
\[
O\in\mathcal O(x_0)\eqdef \exists\eps>0: U_\eps(x_0)\subset O.
\]
\teo{ъБДБЮБ.} рТПЧЕТШФЕ, ЮФП ФБЛ ПРТЕДЕМЈООЩЕ ЛМБУУЩ НОПЦЕУФЧ $O(x)$
ПВМБДБАФ УЧПКУФЧБНЙ 1--4 ПЛТЕУФОПУФЕК ФПРПМПЗЙЮЕУЛПЗП РТПУФТБОУФЧБ.
пДОЙН ЙЪ ЗМБЧОЩИ УЧПКУФЧ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙИ РТПУФТБОУФЧ, ЙУРПМШЪХЕНЩИ
Ч НБФЕНБФЙЮЕУЛПН БОБМЙЪЕ, СЧМСЕФУС ФП, ЮФП Ч ОЙИ ПРТЕДЕМЕОП РПОСФЙЕ
УИПДЙНПУФЙ Й ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ:
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ ЬМЕНЕОФПЧ
ФПРПМПЗЙЮЕУЛПЗП РТПУФТБОУФЧБ $\mathscr T$ УИПДЙФУС Л ЬМЕНЕОФХ $x_0$, ЕУМЙ
\[
\forall O\in O(x_0)\ \exists N\ \forall n > N \Rightarrow x_n\in O
\]
(ДМС МАВПК ПЛТЕУФОПУФЙ $O$ ФПЮЛЙ $x_0$ ОБКДЕФУС ФБЛПЕ $N$, ОБЮЙОБС У ЛПФПТПЗП
ЧУЕ ЮМЕОЩ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ РПРБДБАФ Ч ЬФХ ПЛТЕУФОПУФШ).
ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ФПРПМПЗЙС ЪБДБЈФУС НЕФТЙЛПК, РТЙЧЕДЈООПЕ ХУМПЧЙЕ
ЬЛЧЙЧБМЕОФОП УМЕДХАЭЕНХ (ДПЛБЦЙФЕ УБНПУФПСФЕМШОП):
\[
\forall\eps > 0\ \exists N\ \forall n > N\Rightarrow \rho(x_n,x_0)<\eps.
\]
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рХУФШ $T_1$ Й $T_2$ --- ДЧБ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙИ РТПУФТБОУФЧБ.
зПЧПТСФ, ЮФП ЖХОЛГЙС $f:T_1\to T_2$ ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ФПЮЛЕ $x_0$, ЕУМЙ ДМС МАВПК
ПЛТЕУФОПУФЙ $O$ ФПЮЛЙ $f(x_0)$ ОБКДЈФУС ФБЛБС ПЛТЕУФОПУФШ $U$ ФПЮЛЙ $x_0$,
ЮФП ЧУЕ ФПЮЛЙ $x\in U$ ПФПВТБЦБАФУС РТЙ $f$ Ч ПЛТЕУФОПУФШ $O$
(ДТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, ПВТБЪ $f(U)$ УПДЕТЦЙФУС Ч $O$):
\[
\forall O\in\mathcal O\big(f(x_0)\big)\ \exists U\in\mathcal O(x_0):
\forall x\in\mathcal O(x_0)\Rightarrow f(x)\in O\big(f(x_0)\big)
\]
(РТПЧЕТШФЕ, ЮФП ЬФП ТБЧОПУЙМШОП ФПНХ, ЮФП РТППВТБЪ МАВПК ПЛТЕУФОПУФЙ
ФПЮЛЙ $f(x_0)$ УПДЕТЦЙФ ОЕЛПФПТХА ПЛТЕУФОПУФШ ФПЮЛЙ $x_0$).
ч УМХЮБЕ, ЕУМЙ ФПРПМПЗЙЙ Ч $T_1$ Й $T_2$ ЪБДБАФУС НЕФТЙЛБНЙ УППФЧЕФУФЧЕООП
$\rho_1$ Й $\rho_2$, ФП ЬФП ХУМПЧЙЕ ЧЩРПМОЕОП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ
\[
\forall\eps > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x:\rho_1(x,x_0)<\delta
\Rightarrow \rho_2\big(f(x),f(x_0)\big) <\eps.
\]
\subsection*{фПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ ЧЕЛФПТОЩЕ РТПУФТБОУФЧБ }
лБЛ НЩ ХЦЕ ЗПЧПТЙМЙ, ОБ РТПЙЪЧПМШОПН ОЕРХУФПН НОПЦЕУФЧЕ НПЦОП ЪБДБФШ,
ЧППВЭЕ ЗПЧПТС, НОПЗП ТБЪМЙЮОЩИ ФПРПМПЗЙК. оП ОЕ ЧУЕ ПОЙ ЙОФЕТЕУОЩ ДМС
ЙЪХЮЕОЙС У ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС РТЙМПЦЕОЙК. лБЛ РПЛБЪБМБ РТБЛФЙЛБ, ОБ НОПЦЕУФЧБИ,
ОБДЕМЈООЩИ <<ДПРПМОЙФЕМШОПК УФТХЛФХТПК>> (Х ОБУ ЬФП ВХДЕФ УФТХЛФХТБ
ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ), У ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС РТЙМПЦЕОЙК ЙОФЕТЕУОЩ ФПМШЛП
ФПРПМПЗЙЙ <<УПЗМБУПЧБООЩЕ>> У ЬФПК ДПРПМОЙФЕМШОПК УФТХЛФХТПК. еУМЙ
ДПРПМОЙФЕМШОБС УФТХЛФХТБ --- БМЗЕВТБЙЮЕУЛБС, ФП ХУМПЧЙС УПЗМБУПЧБОЙС
ДПЧПМШОП РТПУФЩ: БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБГЙЙ ДПМЦОЩ ВЩФШ ОЕРТЕТЩЧОЩ
Ч ФПРПМПЗЙЙ <<ЙОФЕТЕУОПК ДМС РТЙМПЦЕОЙК>>\footnote{
оБРТЙНЕТ, Ч ФПРПМПЗЙЮЕУЛПК ЗТХРРЕ У ХНОПЦЕОЙЕН Ч
ЛБЮЕУФЧЕ ЗТХРРПЧПК ПРЕТБГЙЙ ДПМЦОЩ ВЩФШ ОЕРТЕТЩЧОЩ ПРЕТБГЙЙ ХНОПЦЕОЙС
$(x,y)\mapsto x\cdot y$ Й ЧЪСФЙС ПВТБФОПЗП ЬМЕНЕОФБ $x\mapsto x^{-1}$.}.
оП ЙУУМЕДПЧБОЙС РПЛБЪБМЙ, ЮФП ОЕ ЧУЕ НЕФТЙЛЙ ЪБДБАФ Ч ЧЕЛФПТОЩИ
РТПУФТБОУФЧБИ УПЗМБУПЧБООХА ФПРПМПЗЙА. фЕН ОЕ НЕОЕЕ ЙНЕАФУС НЕФТЙЛЙ
<<РПТПЦДЈООЩЕ ОПТНПК>>, ЛПФПТЩЕ <<БЧФПНБФЙЮЕУЛЙ>> ЪБДБАФ ФПРПМПЗЙА,
УПЗМБУПЧБООХА УП УФТХЛФХТПК ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ. йНЕООП ФБЛЙЕ
РТПУФТБОУФЧБ ОБЙВПМЕЕ ЮБУФП ЧПЪОЙЛБАФ Ч РТЙМПЦЕОЙСИ, ЙНЕООП
ФБЛПК ФПРПМПЗЙЕК (ЗПЧПТСФ, \tit{РПТПЦДЈООПК ОПТНПК}) ОБДЕМЕОП ЧЕЛФПТОПЕ
РТПУФТБОУФЧП $\R^N$ --- ОБЫ ЗМБЧОЩК ПВЯЕЛФ ЙЪХЮЕОЙС Ч ВМЙЦБКЫЕЕ ЧТЕНС.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{оПТНПК} ОБ ЧЕЛФПТОПН РТПУФТБОУФЧЕ $E$ ОБЪЩЧБЕФУС
ЖХОЛГЙС $x\mapsto\|x\|: E\to\R$, УП УЧПКУФЧБНЙ:
1. $\forall x\in E$ $\|x\|> 0$ Й $\|x\|=0$, $x=\theta$ --- РПМПЦЙФЕМШОПУФШ
Й ОЕЧЩТПЦДЕООПУФШ.
2. $\forall x\in E$ $\forall\alpha\in\R$ $\|\alpha x\|=|\alpha|\cdot\|x\|$
--- РПМПЦЙФЕМШОБС ПДОПТПДОПУФШ;
3. $\forall x,y\in E$ $\|x + y\|\leq \|x\| + \|y\|$ --- ОЕТБЧЕОУФЧП
ФТЕХЗПМШОЙЛБ.
\tit{нЕФТЙЛПК, РПТПЦДЈООПК ОПТНПК}, ОБЪЩЧБАФ ЖХОЛГЙА
\centerline{$\rho(x,y)=\|x-y\|$.}
\teo{ъБДБЮБ.} дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЖХОЛГЙС $\rho$ ДЕКУФЧЙФЕМШОП СЧМСЕФУС НЕФТЙЛПК%
\footnote{пЮЕЧЙДОП, ДМС ЬФПЗП ОБДП ФПМШЛП РТПЧЕТЙФШ, ЮФП $\rho(x,y)=\|x-y\|$
ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ФТЈН УЧПКУФЧБН НЕФТЙЛЙ.}.
\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{ фПРПМПЗЙС, РПТПЦДБЕНБС ОПТНПК Ч ЧЕЛФПТОПН
РТПУФТБОУФЧЕ $E$ УПЗМБУПЧБОБ У БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙНЙ ПРЕТБГЙСНЙ. }
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. рПЛБЦЕН ОЕРТЕТЩЧОПУФШ ПРЕТБГЙЙ УМПЦЕОЙС,
ФП ЕУФШ ЖХОЛГЙЙ $(x,y)\mapsto x + y$. дМС ЬФПЗП РП РТПЙЪЧПМШОПНХ
$\eps > 0$ ЧЩВЕТЕН $\delta > 0$ ФБЛ, ЮФПВЩ $2\delta <\eps$.
фПЗДБ РТЙ $\|x-x_0\| < \delta$ Й $\|y-y_0\| < \delta$ ВХДЕН ЙНЕФШ
\[
\big\|(x + y)-(x_0 + y_0)\| = \|(x-x_0)+(y-y_0)\|\leq\|x-x_0\| +
\|y-y_0\| <\delta + \delta< \eps.
\]
рПЛБЦЕН ОЕРТЕТЩЧОПУФШ ПРЕТБГЙЙ ХНОПЦЕОЙС ОБ ЮЙУМП, ФП ЕУФШ ЖХОЛГЙЙ
$(\alpha,x)\mapsto \alpha\cdot x$. дМС ЬФПЗП РП РТПЙЪЧПМШОПНХ $\eps > 0$
ЧЩВЕТЕН $\delta > 0$ ФБЛ, ЮФПВЩ РТЙ $\|x-x_0\| < \delta$ Й
$|\alpha-\alpha_0| < \delta$ ЧЩРПМОСМЙУШ ОЕТБЧЕОУФЧБ
\begin{gather*}
\|\alpha x- \alpha_0x_0\| = \|(\alpha x-\alpha x_0)+
(\alpha x_0-\alpha_0x_0)\|\leq|\alpha|\|x-x_0\|+|\alpha-\alpha_0|\|x_0\|\leq\\
\leq |\alpha|\delta + \delta\|x_0\| = \delta(|\alpha|+\|x_0\|)\leq
\delta(|\alpha_0| + \delta + \|x_0\|)<\eps
\end{gather*}
(ПЮЕЧЙДОП, ЬФП ЧУЕЗДБ НПЦОП УДЕМБФШ).
фЕПТЕНБ РПМОПУФША ДПЛБЪБОБ.
\subsection*{уИПМЙС}
рПДЧПДС ЙФПЗ УЛБЪБООПНХ, НПЦОП ЛПОУФБФЙТПЧБФШ,
ЮФП <<ОБЙВПМЕЕ ПВЭЙНЙ>> СЧМСАФУС ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РТПУФТБОУФЧБ. оБ ЛБЦДПН
ОЕРХУФПН НОПЦЕУФЧЕ ЙНЕЕФУС, ЧППВЭЕ ЗПЧПТС, НОПЗП ТБЪМЙЮОЩИ ФПРПМПЗЙК.
оЕЛПФПТЩЕ ЙЪ ОЙИ НПЗХФ ВЩФШ РПТПЦДЕОЩ НЕФТЙЛПК\footnote{
тБЪОЩЕ НЕФТЙЛЙ НПЗХФ РПТПЦДБФШ ПДОХ Й ФХ ЦЕ ФПРПМПЗЙА. ч ЬФПН УМХЮБЕ
ПОЙ ОБЪЩЧБАФУС \tit{ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩНЙ}.}. рТПУФТБОУФЧБ, ФПРПМПЗЙС ЛПФПТЩИ
ЪБДБЕФУС ОЕЛПФПТПК (ЖЙЛУЙТПЧБООПК)
НЕФТЙЛПК ОБЪЩЧБАФ \tit{НЕФТЙЮЕУЛЙНЙ РТПУФТБОУФЧБНЙ} (ЕУМЙ НЕФТЙЛБ ОЕ
ЖЙЛУЙТПЧБОБ, ФП \tit{НЕФТЙЪХЕНЩНЙ}).
рТЙ ОБМЙЮЙЙ ОБ НОПЦЕУФЧЕ БМЗЕВТБЙЮЕУЛПК УФТХЛФХТЩ (ОБРТЙНЕТ, ЗТХРРЩ,
ЛПМШГБ, РПМС, НПДХМС, ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ) ЙОФЕТЕУОЩНЙ ДМС
РТЙМПЦЕОЙК СЧМСАФУС, ЛБЛ РТБЧЙМП, ФПМШЛП ФПРПМПЗЙЙ, \tit{УПЗМБУПЧБООЩЕ У
ЬФПК БМЗЕВТБЙЮЕУЛПК УФТХЛФХТПК} --- ЬФП ФБЛЙЕ ФПРПМПЗЙЙ, Ч ЛПФПТЩИ ЧУЕ
ЙНЕАЭЙЕУС \tit{БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБГЙЙ ОЕРТЕТЩЧОЩ}. чЕЛФПТОЩЕ РТПУФТБОУФЧБ,
ОБДЕМЈООЩЕ УПЗМБУПЧБООПК ФПРПМПЗЙЕК, ОБЪЩЧБАФ \tit{ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙНЙ ЧЕЛФПТОЩНЙ
РТПУФТБОУФЧБНЙ}.
ч ЧЕЛФПТОЩИ РТПУФТБОУФЧБИ ФПРПМПЗЙС, ЪБДБЧБЕНБС \tit{ОПТНПК}, БЧФПНБФЙЮЕУЛЙ
РПМХЮБЕФУС УПЗМБУПЧБООПК УП УФТХЛФХТПК ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ. иПФС,
ЧППВЭЕ ЗПЧПТС, ОЕ МАВХА ФПРПМПЗЙА УПЗМБУПЧБООХА УП УФТХЛФХТПК ЧЕЛФПТОПЗП
РТПУФТБОУФЧБ НПЦОП РПМХЮЙФШ У РПНПЭША ОПТНЩ. фПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ ЧЕЛФПТОЩЕ
РТПУФТБОУФЧБ, ФПРПМПЗЙС ЛПФПТЩИ ЪБДБЈФУС ОЕЛПФПТПК (ЖЙЛУЙТПЧБООПК) ОПТНПК,
ОБЪЩЧБАФ \tit{ОПТНЙТПЧБООЩНЙ РТПУФТБОУФЧБНЙ}. тБЪОЩЕ ОПТНЩ НПЗХФ ЪБДБЧБФШ
ПДОХ Й ФХ ЦЕ ФПРПМПЗЙА. ч ЬФПН УМХЮБЕ ПОЙ ОБЪЩЧБАФУС \tit{ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩНЙ}.
нПЦОП ДПЛБЪБФШ, ЮФП ОПТНЩ $\|\cdot\|_1$ Й $\|\cdot\|_2$ ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩ
ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ
\[
\exists C_1,C_2:\forall x\in E\quad C_1\|x\|_1\leq\|x\|_2\leq C_2\|x\|_1.
\]
фЕПТЙС ОПТНЙТПЧБООЩИ РТПУФТБОУФЧ --- ЬФП ВПМШЫПК Й
ЧБЦОЩК ТБЪДЕМ ЖХОЛГЙПОБМШОПЗП БОБМЙЪБ. ьМЕНЕОФЩ ЬФПК ФЕПТЙЙ чЩ ВХДЕФЕ
ЙЪХЮБФШ Ч ЛХТУЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП БОБМЙЪБ Ч УМЕДХАЭЕН ЗПДХ РТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ
ЙОФЕЗТБМБ мЕВЕЗБ Й ФЕПТЙЙ ТСДПЧ жХТШЕ. лТПНЕ ФПЗП ЬФБ ФЕПТЙС БЛФЙЧОП
ЙУРПМШЪХЕФУС Ч ЛХТУБИ ХТБЧОЕОЙК НБФЕНБФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЙ Й НЕФПДБИ ЧЩЮЙУМЕОЙК.
уППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ТБЪДЕМЩ ЕЈ ВХДХФ ЙЪМПЦЕОЩ Ч ЬФЙИ ЛХТУБИ.
\end{document}