Лекции Клевчихина. 2 семестр.lec_2sem / lec10 / lec10-0

чихинКл.А.льнорИнт ниисчисл (5.03.2009)10кциял мнсромыорТ

остокиВл 2009

10кцияЛ

мтеоремыноторыесрнек

частоочень

â

мизучимортмыярЗдесьП

полученияужмынихизую

ормулыпогрешностиоценкидля

-ÿ

дляенияхжприло

.интеграловоценокдаро

Ïåð

8.лекциикдобавлениивовмоугольник

»

всехТ ор м (перваяприменялитеоремаразличногосреднем) Пусть f, g применяемыеP Rra; bs ïðè

ствуетx Pтакоеra; bs g÷èñpxqëî¥

0. Åñ

M

rsup f pаведливаxq m rinf f pxq, то суще-

a;bs

a;bs

»µ P rm; M s,

спрчто

ормула

b

b

справедливыемойДкзиманунеравенствалограниченаьстf pxâqgp.xÏîñêq dx олькуµ

gpункцияxq dx.

a

a

ðó

ïî

»

,

»

rотрезкена

f , будучи интегри-

»

a; bs, то m и M конечны и

нуНеравенстваункциюсохранятся, еслиm

их¤ fумноpxq ¤житьM. на положительную величи-

gpxq:

³

Отсюда, в силу свойстваmgpмонотонностиxq ¤ f pxqgpxq интеграла,¤ M gpxq.

получим

b

³

b

b

m

gpxq dx ¤

f pxqgpxq dx

¤ M

gpxq dx.

a

a

a

³b

³

³b

µ

b

-условемоетребуместоимееточевидно,то,,

è

gpxq dx 0, òî, êàê следует из этих неравенств, f pxqgpxq dx 0

a

a

µЕслиможно³ взять любым из ra; bs.

b

b

-

ñòва:и интеграла,gpxqèdxна этутовеличину0 gpxq dxмо¡жновпосилуделитьсвойстваполученныеположительнонеравен0

a

a

взятьЕсли

m ¤

ab

³f pxqgpxq dx

¤ M.

ab gpxq dx

b

³f pxqgpxq dx

a

вии теоремы равенствоgpxq.dxТеорема доказана

a

.

																					?												?							.
З ч . Оценить сверху илиснизу интеграл π																																							?
екритическихпромежуткн.Положим ш мает																									³2					100 2						x dx
																									0
												q												1				, gpxq x. Чтобы оце
òü			0; π				f px									100 2								3 sin3 x cos x
						таких точек только две: x																						0, x					π . Ïодставëÿÿ,
							π																										3
íëå¼è произвоp ксимумf на днойминимум(максиматочк.Дляах0;ëьное, рассэтогоминимальноенаотримвычислимконцахунинтервала):êцзнаютическиечениеsin x cosункцточкиx. Найд¼мя прину-
sin3 x cos xq1							2			?														?
				3 sin2 x cos2 x										sin4 x									sin2 xp3 cos2 x sin2 xq 0
2						2								2			?																			tg x			3.
Íà ïðîsinежуткx å0,				3 cos			x	sin												0					sin x 0,
															x
получим				2																													3
			3																?							3
						¤		3			3				ñ						0		¤ 2							x cos x						¤ 9		.
Учитывая0ýòó¤ sinоценку,x cos xíàõîäèì																									3 sin											8
										16
				1		¤														1					¤				1
ìåтеорейпервопоТеперь,									среднемо																									.
			100			9		100							2				3 sin3 x cos x										100
						8										?
1		»	π				»	π												x dx									¤				1			» π
			2					2																												2
Èëè (ñ ó÷¼òîì òîãî,x dx÷ò																																					x dx.
100	9	0					0				100						2				3 sin3 x cos x								100							0
	8																π2 )
							π
							2			x dx
							0										8
			π2		»¤		π										x dx														π2
							2																		¤
чаимян.получиласьсреднемсремататеоявляетсмымрееоразательствальóтрезтеодокорйв)тргя.òî(непросемой,ВтортегралаКакСледующаявидимв																		ñоченьтнымодержитслучаемточнаявсебеоцеобглавнуюазнатакчениячастьназываине¼нкщей,. --
			809			0		100							2			3 sin3 x cos x											800

»

»

. э) Бонн ормула (первая Т ор м

»

Rra; bs,

Пусть g P

ункция а

fТогдаубываетсущес вуетна отрезкетакое чисra;ëîbs

âñåõ äëÿ è

x

P

ra; bs

имеем

f pxq ¥ 0.

»

ξ

P ra; bs, ÷òî

b

ξ

b

-ñ

¸n

»

xk

èëèî

ð ëèíò

отняли

записи: краткой В

f pxqgpxq dx

f paq

gpxq dx.

ìî

a

a

»

»

b

ξ

g P ÄRrîa;êbs^à fç Óà ròa;åbs^ë fь ¥ности0 ñâ îD.ξÄëÿP ra;произвольногоbs : f pxqgpxq dxразбиенияf paq

отрезкgpxq dx.а

a

a

τ » ta x0 x1

xn bu имеем

f pxqgpxq dx èòè

f pxqgpxq dx ñë

a

k 1

xk 1

¸n

xk

¸n

xk

-плаooonqpqooooooooooopoooooследующемуqпоpoooooomooдитьoooooooooooпровоlooooбудемonаемоеqoooooopслагoooooooчтоomoазательствоoаждокем,pпокloooooooooooooДальнейшееСначалау.

³

f xk

1q

g x dx

f xk 1

f x g x dx .

xk 1

xk 1

k 1

k 1

S1

»

S2

S2

С 0, когда мелкость разбиения

p

q

0

тогдаНо.1)(шаг

S1

λ τ

исходпределомиметьобязано

³интегралыйí

ab f pxqgpxq dx. А мы покажем, что для любого разбиения τ

ãäå

f paqm ¤

S1 ¤ f paqM ;

öèèm, M соответственно минимум и максимум непрерывной(!) унк-

x

венстваGpxсоq храняютсgptq dtя),(шаг 2). Поэтому (при перех де к пределу нера

a

»

b

чениемТак

èçîì,îáð

тегралf paqm ¤³

f pxqgpxq dx

¤ f paqM.

a

b

-знапромежуточнымявляется

непрерывнаяой ункцииf pxqgpxq dx

a

найд¼тсКоши

оеакт

ункция принимаетx ЮСf paвсеqGpxпромежуточныеq. Поскольку познатеоремечения,

» ξ P ra; bs, ÷òî

b

ξ

f pxqgpxq dx

f paqGpξq f paq

gpxq dx,

a

a

дяетстребуичто

поазать

.теоремысловию

.2шаги1шагжденияутверемаждокак,Ит

»

»

kkkkkk

ункция ольку Поск 1.

g

P

Rra; bs,

Пусть ограничена. она

gpxq

¤ L.

Тогда

¸n

xk

hkkkkkkkkik¥0 kkkkkkkj

³

¤

f px

1q f pxq

gpxq dx ¤

k 1

xk 1

»

»

p ¤

x

1

q

p

x

L

hkf

f

¸n

kikkkkkkkkjk q

kj ¤ kik | hk

xk

¤

f pxk 1 q f pxq

gpxq|

dx

¤

k 1

xk 1

¸n

¸n

q .чили p емостиобозна q мы p q интегрируольку p Поск

L

p

f

q

xk

ЭЭЭЭЭС 0

равенствасилуLкритерия2. f xk 1

f xk

xk

xk 1

ωk

k 1

k 1

λpτ qÑ0

»

Gpxq

ax gptq dt,

местоимеют

xk

a

xk

1

gpxq dx

Подставляяgpâxq dx

gpxq dx

Gpxk q Gpxk 1 q.

xk 1

xk 1

a

S1,

получим

¸n

S1

³

f pxk 1q

Gpxk q Gpxk 1 q

k

1

¸n

¸n

f

p

xk

1

q

p

f

p

xk

1

q

p

1

G xk

G xk

q

сумме последней в Cделаем

индекса q замену

k 1

k 1

k

1

k

¸n

n¸1

чтоУчт¼м,

f pxk 1qGpxk q

f pxk1 qGpxk1 q

k 1

k1 0

Gpx0q Gpaq aa f ptq dt 0

и опять будем писать k вместо k1

n¸1

условиюпокакТак

f pxk 1q f pxk q

Gpxk q

f pxn 1qGpxn q.

k 1

множителивсе

m

¤

Gpxk q ¤

M

ãäå m

rinf Gpxq, M

rsup Gpxåíèåq,

a;bs

a;bs

f pxk 1 q f pxk q

¥

0,

f pxn 1q ¥

0, последнее выраж

яоцениваетс

àê:

n¸1

qpqквадратныхв

n¸1

p

q

p

q

pсуммаНо

qя:pвычисляетсо¤легк¤ахqскобк

f

xk

f

xn 1

.

m

f xk 1

f xk

f pxn 1

S1 M

f xk 1

k 1

k

1

n¸1

f pxk 1q f pxk q

f pxn 1q

k 1

f px0q f px1q

f px1q f px2q

f px2q f px3q . . .

получаемПоэтому

pнеравенства

»

f

p

xn 1q f px0q f paq.

f xn 2q f pxn 1q

Что и требовалось доказатьmf paq ¤ S1 ¤ M f paq.

»

»

Т о м (вторая ормула.

. ý) Áîíí

Пусть

g P Rra; bs,

ункция а

fсуществуевоз ас

чисотрезкело аеттакоена

ra; bs è äëÿ âñåõ x

P ra; bs

f pxq ¥ 0.

Тогда

»

ξ

P ra; bs, ÷òî

b

b

записи:краткойВ

f pxqgpxq dx f pbq

gpxq dx.

a

ξ

»

b

»

b

gпервойP ДRra;теоремыкbs^à çf аТубываетraБоннэл; bs^интегралаь.сf ¥Äëÿ0вчтосэтого.DМыξ P rобознадокa; bsажчимемэту: f pчерезxqgтеоремуpxq dx êàêf pbqследствиеgpxq dx.

a

ξ

Очевидно,

F pxq f pbq f pxq.

общности можноF

сч ункциюать,F pxq

¥

0. Отметим ещ¼, что без ограничения

»

»

f paq

0,

случае какочевидно,противном ак

переоп мы,

еделив

дногоБоннэ исх теорему значения первую

ункциямвсохранимднойточке¼монотонностье,.неПрименимизменимf

D

F

g:

b

ξ

»Èëè,

в более подробнойξ P ra; bs :

записи,F pxqgpxq dx

F paq

gpxq dx.

a

a

b

hkkik0kj

ξ

ξ

f pbq f pxq

gpxq dx

f pbq f paq

gpxq dx f pbq

gpxq dx.

a

a

a

отсюдаВыражая

³

b

»

»

»

»

»

»

a f pxqgpxq dx,

одимнах

b

b

ξ

gpxq dx

f pbq

b

Что и требовалосьf pxqgpxq dx äîêf pазатьbq

gpxq dx

gpxq dx.

a

a

a

ξ

Т ор м (вторая теорема.

.среднем)о

Пусть

1

P

Rra; bs

f

rнамонотонна

g

è

»

a; bs. Тогда

»

b

ξ

b

ствиеОчевидно,ункцияДпервойазубываеттеоремыf pxqëgpüxqубываетсdxБоннэf..pМыПредполоaq äîêgpxàæq dxемжимэтудляf pbтеоремуq определ¼нности,gpxqòîædx. как следчто

a

a

ξ

f

»

F pxq f pxq f pbq.

на ra; bs. Тогда

через бозначим

менить первуюF pxq ¥îðìó0»и лу Боннэ:.Поэт му к ункциям F

g можно при-

b

»

»

»

ξ

Или, более »подробно, F pxqgpxq dx

F paq

gpxq dx.

a

»

a

b

»

ξ

Выраж» ая из этогоf pxqравенстваf pbq gpxнужныйq dx fинтеграл,paq f pbq находимgpxq dx.

a

a

b

ξ

b

ξ

f pxqgpxq dx

f paq

gpxq dx f pbq

gpxq dx

gpxq dx

a

a

a

a

ξ

b

ничмтребовалосьЧтоЗ

äîêf pазатьaq

gpxq dx

f pbq

gpxq dx.

a

ξ

ункция

.

В случае, к.огда в дополнение к дную,словиям теоремы

рывна,1В случдокf ,азательствоимеетко интегрирувторойемуютеоремыпоиманусреднемпроизвоможно существенноаg непре-

f

ятьонт,стро

F pxq f pbq f pxq.

упростить

»

b

1

»

b

1

»

1

1

»

»

1

f pxqgpxq dx

f pxqG pxq dx

»

a

a

b

b

b

b

мойДалее,» о fсреднем:дляpxqGвычисленияpxq f второгоpxqG x dxинтегралаf pbq

воспользуgpxq dx åìñÿfпервойpxqGpxтеореq dx

-

a

a

a

a

b

b

f pxqGpxq dx

Gpξq

f pxq dx

a

a

ξ

Что и требовалось доказатьGpξq

f pbq f paq

f pbq f paq

gpxq dx

a

.