Лекции Клевчихина. 2 семестр.lec_2sem / lec01 / lec01-2
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg 1 |
1 |
|
1 |
|
верно, то действительно# |
на любом интервале |
|||
|
|
1 x |
2 |
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не содержащем нуля, arcctg x1 |
есть точная первообр´азная для 1 |
||||||||
Во-вторых, можно убедиться, что имеет место равенство |
|||||||||
|
|
|
|
|
arcctg 1 |
|
arctg x, |
x |
¡ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
π arctg x, |
x |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
3
pa; bq,
.
То есть на интервалеp 0;8 |
|
функции arctg x и arcctg x1 просто сов- |
|||
падают, а на интервале |
; 0q отличаются на константу. Оказывается |
||||
такая ситуация типична. |
|
|
|
|
|
Теорема. Если F1 и F2 две точные первообр´азные для функции f |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
на интервале pa; bq, то существует такая константа C, что |
|||||
x P pa; bq |
F1pxq F2pxq |
C. |
|||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
(Иными словами, две точные первообр´азные одной и той же функции |
на интервале pa; bq могут отличаться друг от друга только на константу).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Φpxq F1pxq F2pxq. По теореме Лагранжа для любых x1 и x2 изqpa; bq
|
Φpx1q Φpx2q Φ pξ x1 x2q. |
||
Но для |
любых ξ P pa; bq |
имеем Φ pξq |
F1pξq F2pξq f pξq f pξq 0, |
1 |
|
|
|
поэтому для любых x1 |
и x2 из pa; bq |
Φpx1q Φpx2q 0. Значит, |
|
Φpxq const. Что и требовалось доказать. |
|||
Следующее определение даёт важное для приложений обобщение |
|||
понятия точной первообр´азной. |
1 |
||
Определение. Первообр´азной для функции f на промежутке pa; bq |
(соответственно ra; bs, ra; bq, pa; bs) называется функция F , обладающая свойствами:
p |
1. F непрерывна на промежутке pa; bq (соответственно ra; bs, ra; bq, |
|
|
a; bsq; |
|
|
2. F pxq |
f xq для всех за исключением, быть может, конечного |
числа точек x |
P pa; bq (соответственно ra; bs, ra; bq, pa; bs). |
|
|
Нетривиальность этого обобщения подтверждает следующий про- |
|
стой пример. |
|
Пример. Пусть F pxq |x|. Тогда F pxq sgn x во всех точках за исключением точки x 0. Как мы знаем, в нуле функция F pxq |x| не дифференцируема. Тем не менее это всюду непрерывная функция,
6 Клевчихин Ю.А
С помощью этого свойства всегда можно проверить правильность
1 |
1 |
1 |
вычисления неопределённого интеграла. Интересно отметить, что с формальной точки зрения символы дифференцирования d и интегрирования взаимно “уничтожаются”. Оказывается это верно и когда они сто-
ят в обратном порядке. |
|
|
|
|
2. Справедливо равенство |
|
|||
|
|
|
||
|
dF pxq F x |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
Оно тоже является непосредственным следствием определения, так как |
||||
dF pxq |
F pxq dx и pF pxq Cq |
F pxq. Это равенство лежит в основе |
метода интегрирования ¾путём внесения под знак дифференциала¿.
Это свойство лежит в основе ¾метода разложения¿ для вычисления интегралов. Суть этого метода состоит в том, что интеграл от ¾сложного¿ выражения раскладывают в сумму нескольких ¾простых¿ слагаемых, от которых легко считаются интегралы. Например, вычислим ¾таблич-
Пример. |
|
|
|
|
|
sin x cos x dx sin xd sin x |
|
d 21 sin2 x |
|
21 sin2 x C. |
|
3. Линейность |
операции интегрирования. |
|
|||
αf pxq βgpxq dx α |
|
f pxq dx |
β gpxq dx |
||
|
|
|
|
|
ный¿ интеграл |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 x |
|
|||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
ln |1 x| ln |1 x| |
|
ln |
|
. |
|
2 |
2 |
|
1 x 1 x |
|
2 |
1 x |
||||||||||
|
1 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
В дальнейшем методом разложения мы научимся вычислять интегралы от любых рациональных функций.
4. Формула интегрирования по частям. Так называют следую-
щую формулу. |
|
upxqv pxq dx upxqvpxq |
u pxqvpxq dx |
или, более кратко то же самое можно записать в виде более удобном для запоминания
u dv uv |
v du. |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
7 |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с |
т в о. Для доказательства вычислим следующую |
|||||||||||||||||||||||||||
производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
upxqvpxq u pxqvpxq upxqv pxq. |
|||||||||||||||||||||||||||
Перепишем это равенство в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
upxqv pxq |
|
upxqvpxq |
u pxqvpxq |
: |
|
||||||||||||||||||||||
Проинтегрировав обе его части, получим требуемое: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
upxqv pxq dx upxqvpxq |
u pxqvpxq dx. |
|||||||||||||||||||||||||||
Задачи. 1) Вычислить интеграл xex dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xex dx |
xex |
|
ex dx xex |
ex C. |
|||||||||||||||||||||||
u x du dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dv ex dx v |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) Вычислить интеграл |
|
arctg xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctg x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
arctg x dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
u arctg x |
|
|
du |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dv dx |
|
|
|
|
|
|
v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x arctg x |
1 |
|
|
dp1 |
x2q |
x arctg x lnp1 |
x2q C. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
1 |
x2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) Вычислить интеграл |
|
x ln x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
|||||
x ln x dx |
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
dx |
|
x |
|
ln x |
|
|
C. |
|||||||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u ln x |
du |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dv x dx |
v |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) Вычислить интеграл |
|
ex sin x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Решение этого примера иллюстрирует важный приём вычисления некоторых классов интегралов.
Обозначим исходный интеграл буквой I. Тогда, по формуле инте-
грирования по частям получим: |
|
|
|
|
I |
ex sin x dx |
|
ex sin x |
ex cos x dx. |
u |
sin x du cos x dx |
|
|
dv ex dx v ex
2 Клевчихин Ю.А
Лекция 1
Первообр´азная
Определение. Функция F называется точной первообр´азной
функции f на интервале |
pa; bq, если для любых x из этого интервала |
1 |
pxq f pxq. |
имеет место равенство F |
Непосредственно из этого определения следует, что чтобы найти для какой функции f заданная функция F является точной первообр´азной, F надо просто продифференцировать!
Примеры. 1. Функция F pxq sin x является точной первообр´азной
для функции f pxq cos x на любом промежутке pa; bq € R, так как для |
|||||||||||||||||||||||
любых x P R имеем psin xq |
1 |
cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Функция F pxq |
arctg x является точной первообр´азной для |
|||||||||||||||||||||
fp pxq |
|
|
1 |
|
на любом промежутке pa; bq € |
R, так как для любых x P R |
|||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||||
arctg xq1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производную функции F pxq |
|
|
|
1 |
|||||||||||||
3 . Вычислим |
|
arcctg x . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
arcctg 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
|
|
1 x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
1 |
|
|
точной первообр´азной явля- |
|||||||
Мы видим, что для функции f px |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
ется не только функция arctg x, но и функция arcctg x1 . Эту ситуацию стоит рассмотреть более внимательно.
Во-первых отметим, что функция arcctg x1 |
в точке x |
|
0 имеет раз- |
|||||||||
рыв (первого рода скачок: lim arcctg x1 |
0, lim |
arcctg x1 |
π), |
|||||||||
|
|
|
xÑ0 |
xÑ0 |
|
|
|
|
|
|
||
y |
π |
|
|
|
y |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
График функции y = arctg x |
|
|
График функции y = arcctg x1 |
|||||||||
поэтому функция arcctg x1 |
не дифференцируема в точке 0 и согласно |
|||||||||||
определению не может быть точной первообр´азной для |
|
1 |
|
на ин- |
||||||||
|
1 x2 |
тервале, содержащем точку 0. Так как в остальных точках равенство