Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
15
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
94.67 Кб
Скачать
1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg 1

1

 

1

 

верно, то действительно#

на любом интервале

 

 

1 x

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

не содержащем нуля, arcctg x1

есть точная первообр´азная для 1

Во-вторых, можно убедиться, что имеет место равенство

 

 

 

 

 

arcctg 1

 

arctg x,

x

¡ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

π arctg x,

x

0.

 

 

 

 

 

 

 

3

pa; bq,

.

То есть на интервалеp 0;8

 

функции arctg x и arcctg x1 просто сов-

падают, а на интервале

; 0q отличаются на константу. Оказывается

такая ситуация типична.

 

 

 

 

 

Теорема. Если F1 и F2 две точные первообр´азные для функции f

 

 

 

1

 

 

на интервале pa; bq, то существует такая константа C, что

x P pa; bq

F1pxq F2pxq

C.

 

 

1

 

1

1

(Иными словами, две точные первообр´азные одной и той же функции

на интервале pa; bq могут отличаться друг от друга только на константу).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Φpxq F1pxq F2pxq. По теореме Лагранжа для любых x1 и x2 изqpa; bq

 

Φpx1q Φpx2q Φ pξ x1 x2q.

Но для

любых ξ P pa; bq

имеем Φ pξq

F1pξq F2pξq f pξq f pξq 0,

1

 

 

 

поэтому для любых x1

и x2 из pa; bq

Φpx1q Φpx2q 0. Значит,

Φpxq const. Что и требовалось доказать.

Следующее определение даёт важное для приложений обобщение

понятия точной первообр´азной.

1

Определение. Первообр´азной для функции f на промежутке pa; bq

(соответственно ra; bs, ra; bq, pa; bs) называется функция F , обладающая свойствами:

p

1. F непрерывна на промежутке pa; bq (соответственно ra; bs, ra; bq,

 

a; bsq;

 

 

2. F pxq

f xq для всех за исключением, быть может, конечного

числа точек x

P pa; bq (соответственно ra; bs, ra; bq, pa; bs).

 

Нетривиальность этого обобщения подтверждает следующий про-

стой пример.

 

Пример. Пусть F pxq |x|. Тогда F pxq sgn x во всех точках за исключением точки x 0. Как мы знаем, в нуле функция F pxq |x| не дифференцируема. Тем не менее это всюду непрерывная функция,

6 Клевчихин Ю.А

С помощью этого свойства всегда можно проверить правильность

1

1

1

вычисления неопределённого интеграла. Интересно отметить, что с формальной точки зрения символы дифференцирования d и интегрирования взаимно “уничтожаются”. Оказывается это верно и когда они сто-

ят в обратном порядке.

 

 

 

2. Справедливо равенство

 

 

 

 

 

dF pxq F x

C.

 

 

 

 

 

 

Оно тоже является непосредственным следствием определения, так как

dF pxq

F pxq dx и pF pxq Cq

F pxq. Это равенство лежит в основе

метода интегрирования ¾путём внесения под знак дифференциала¿.

Это свойство лежит в основе ¾метода разложения¿ для вычисления интегралов. Суть этого метода состоит в том, что интеграл от ¾сложного¿ выражения раскладывают в сумму нескольких ¾простых¿ слагаемых, от которых легко считаются интегралы. Например, вычислим ¾таблич-

Пример.

 

 

 

 

 

sin x cos x dx sin xd sin x

 

d 21 sin2 x

 

21 sin2 x C.

3. Линейность

операции интегрирования.

 

αf pxq βgpxq dx α

 

f pxq dx

β gpxq dx

 

 

 

 

 

ный¿ интеграл

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

 

1

1

 

 

1

 

1 x

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

ln |1 x| ln |1 x|

 

ln

 

.

2

2

 

1 x 1 x

 

2

1 x

 

1 x

 

 

2

 

 

 

 

В дальнейшем методом разложения мы научимся вычислять интегралы от любых рациональных функций.

4. Формула интегрирования по частям. Так называют следую-

щую формулу.

 

upxqv pxq dx upxqvpxq

u pxqvpxq dx

или, более кратко то же самое можно записать в виде более удобном для запоминания

u dv uv

v du.

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

1

1

1

 

1

 

 

7

Д о к а з а т е л ь с

т в о. Для доказательства вычислим следующую

производную:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

upxqvpxq u pxqvpxq upxqv pxq.

Перепишем это равенство в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

upxqv pxq

 

upxqvpxq

u pxqvpxq

:

 

Проинтегрировав обе его части, получим требуемое:

 

 

 

upxqv pxq dx upxqvpxq

u pxqvpxq dx.

Задачи. 1) Вычислить интеграл xex dx.

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xex dx

xex

 

ex dx xex

ex C.

u x du dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv ex dx v

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Вычислить интеграл

 

arctg xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x arctg x

 

 

 

x

 

 

 

 

arctg x dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

u arctg x

 

 

du

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv dx

 

 

 

 

 

 

v x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x arctg x

1

 

 

dp1

x2q

x arctg x lnp1

x2q C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Вычислить интеграл

 

x ln x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

2

 

 

 

 

x2

x ln x dx

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

dx

 

x

 

ln x

 

 

C.

 

 

2

2

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ln x

du

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv x dx

v

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Вычислить интеграл

 

ex sin x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Решение этого примера иллюстрирует важный приём вычисления некоторых классов интегралов.

Обозначим исходный интеграл буквой I. Тогда, по формуле инте-

грирования по частям получим:

 

 

 

I

ex sin x dx

 

ex sin x

ex cos x dx.

u

sin x du cos x dx

 

 

dv ex dx v ex

2 Клевчихин Ю.А

Лекция 1

Первообр´азная

Определение. Функция F называется точной первообр´азной

функции f на интервале

pa; bq, если для любых x из этого интервала

1

pxq f pxq.

имеет место равенство F

Непосредственно из этого определения следует, что чтобы найти для какой функции f заданная функция F является точной первообр´азной, F надо просто продифференцировать!

Примеры. 1. Функция F pxq sin x является точной первообр´азной

для функции f pxq cos x на любом промежутке pa; bq € R, так как для

любых x P R имеем psin xq

1

cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Функция F pxq

arctg x является точной первообр´азной для

fp pxq

 

 

1

 

на любом промежутке pa; bq €

R, так как для любых x P R

 

1 x2

 

arctg xq1

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производную функции F pxq

 

 

 

1

3 . Вычислим

 

arcctg x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

arcctg 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

1

 

 

точной первообр´азной явля-

Мы видим, что для функции f px

 

 

 

 

1 x2

ется не только функция arctg x, но и функция arcctg x1 . Эту ситуацию стоит рассмотреть более внимательно.

Во-первых отметим, что функция arcctg x1

в точке x

 

0 имеет раз-

рыв (первого рода скачок: lim arcctg x1

0, lim

arcctg x1

π),

 

 

 

xÑ0

xÑ0

 

 

 

 

 

 

y

π

 

 

 

y

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

x

0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции y = arctg x

 

 

График функции y = arcctg x1

поэтому функция arcctg x1

не дифференцируема в точке 0 и согласно

определению не может быть точной первообр´азной для

 

1

 

на ин-

 

1 x2

тервале, содержащем точку 0. Так как в остальных точках равенство

Соседние файлы в папке lec01