Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
6
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
15.38 Кб
Скачать
\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}

\newcommand{\Kl}{\mathscr K}
\newcommand{\Sq}{\mathscr{S}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.3cm]
\rule{10cm}{.3pt}\\[-9.5pt] 
\rule{10cm}{1pt} 

\vskip .5cm


\LARGE{\tbf{йОФЕЗТБМШОПЕ ЙУЮЙУМЕОЙЕ}}\\[5mm]

\Large{\ttt{МЕЛГЙС 13 (27.03.2007)}}\\[5mm]
\Large{\ttt{рТЙМПЦЕОЙС ЙОФЕЗТБМБ\\ чЩЮЙУМЕОЙЕ РМПЭБДЕК РМПУЛЙИ НОПЦЕУФЧ}}\\
%\scalebox{1.5}[1.6]{\ttt{}}\\

\vfil
 
\ovalbox{$\displaystyle\int$}
\vfil

\large чМБДЙЧПУФПЛ\\
2007
\end{center}
\pagebreak
\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{\hrulefill}

\section*{мЕЛГЙС 13}

уПЧТЕНЕООБС НБФЕНБФЙЛБ РПЪЧПМСЕФ ЧЩЮЙУМСФШ РМПЭБДЙ ПЮЕОШ УМПЦОП ХУФТПЕООЩИ
РПДНОПЦЕУФЧ ОБ РМПУЛПУФЙ Й ДТХЗЙИ РПЧЕТИОПУФСИ. цЕМБАЭЙИ ПЪОБЛПНЙФШУС Ч
РПРХМСТОПК ЖПТНЕ У УЙФХБГЙЕК Ч ЬФПК ПВМБУФЙ Й НОПЗЙИ ДТХЗЙИ С ПФРТБЧМСА
Л ЪБНЕЮБФЕМШОПК ЛОЙЗЕ о.с.~чЙМЕОЛЙОБ <<тБУУЛБЪЩ П НОПЦЕУФЧБИ>>.  нЩ ЦЕ
ЪДЕУШ ЙЪХЮЙН ПДЙО ЙЪ ОБЙВПМЕЕ РТПУФЩИ (ОП ПЮЕОШ ЧБЦОЩИ\footnote{дТХЗЙЕ 
СЧМСАФУС ЕЗП ПВПВЭЕОЙСНЙ.}) РПДИПДПЧ Л
ПРТЕДЕМЕОЙА РПДНОПЦЕУФЧ ОБ РМПУЛПУФЙ, Х ЛПФПТЩИ ЙНЕЕФ УНЩУМ ЧЩЮЙУМСФШ
РМПЭБДШ, Б ФБЛЦЕ УРПУПВЩ ЧЩЮЙУМЕОЙС ЬФПК РМПЭБДЙ.

\subsection*{лЧБДТЙТХЕНЩЕ НОПЦЕУФЧБ Й ЙИ РМПЭБДШ}

\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
\vskip-12pt
\includegraphics{pic_lec13.1}
\end{wrapfigure}

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{лМЕФЛПК} ОБ РМПУЛПУФЙ $\R^2$ НЩ ОБЪЩЧБЕН МАВПК
РТСНПХЗПМШОЙЛ $\Pi$ УП УФПТПОБНЙ РБТБММЕМШОЩНЙ ПУСН ЛППТДЙОБФ, Ф.~Е. НОПЦЕУФЧБ
ЧЙДБ
\[
\Pi=\big\{(x,y): a\leq x\leq b; c\leq y\leq d\big\},\quad
\]
ЗДЕ $a\leq b$, $c\leq d$,
ЙМЙ НОПЦЕУФЧП, РПМХЮЕООПЕ ЙЪ $\Pi$ ХДБМЕОЙЕН ЧУЕК ЗТБОЙГЩ ЙМЙ ЕЈ ЮБУФЙ.

\tit{рМПЭБДШ ЛМЕФЛЙ} $\Pi$ --- РП ПРТЕДЕМЕОЙА ЬФП ЮЙУМП
\[
S(\Pi)\bydef(b-a)(d-c),
\]
ОЕЪБЧЙУЙНП ПФ ФПЗП, УПДЕТЦЙФ ЙМЙ ОЕФ ЛМЕФЛБ ЗТБОЙГХ ЙМЙ ЕЈ ЮБУФШ.


нОПЦЕУФЧП $K\subset\R^2$ НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ \tit{ЛМЕФПЮОЩН}, ЕУМЙ ПОП
СЧМСЕФУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН \tbf{ЛПОЕЮОПЗП} НОПЦЕУФЧБ ЛМЕФПЛ:
\[
K\text{ --- ЛМЕФПЮОПЕ}\eqdef \exists(\Pi_i)_{1\leq i\leq n}: 
K=\bigcup_{i=1}^n\Pi_i
\] 

\centerline{
\includegraphics[scale=1]{pic_lec13.2}}


ч ЬФПН РТЕДУФБЧМЕОЙЙ $K$ Ч ЧЙДЕ ПВЯЕДЙОЕОЙС, ЛМЕФЛЙ $\Pi_i$ НПЗХФ
РЕТЕУЕЛБФШУС, ОП ЧРПМОЕ ПЮЕЧЙДЕО УМЕДХАЭЙК ЖБЛФ.

\teo{хФЧЕТЦДЕОЙЕ.} \tit{мАВПЕ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ
Ч ЧЙДЕ ЛПОЕЮОПЗП ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ \tup(ПЮЕЧЙДОП,
ОЕ ЕДЙОУФЧЕООЩН ПВТБЪПН}\tup).

\centerline{
\includegraphics[scale=1]{pic_lec13.3}}

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} еУМЙ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП $K$ РТЕДУФБЧМЕОП Ч ЧЙДЕ
ЛПОЕЮОПЗП ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ
\[
K=\bigcup_{k=1}^n\Pi_k,\quad\text{ЗДЕ}\quad 
i\ne j\Rightarrow \Pi_i\cup \Pi_j=\Empty,
\]
ФП ЕЗП \tit{РМПЭБДША} $S(K)$ ОБЪЩЧБЕФУС УХННБ РМПЭБДЕК ЧУЕИ УПУФБЧМСАЭЙИ
ЕЗП ЛМЕФПЛ: 
\[
S(K)\bydef\sum_{k=1}^nS(\Pi_k).
\]

ч УЙМХ ХЛБЪБООПК ОЕПДОПЪОБЮОПУФЙ РТЕДУФБЧМЕОЙС $K$, РПУМЕДОЕЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ,
ЧППВЭЕ ЗПЧПТС, ОХЦДБЕФУС Ч ДПЛБЪБФЕМШУФЧЕ ЛПТТЕЛФОПУФЙ, Ф.~Е. ОБДП
РПЛБЪБФШ, ЮФП ПРТЕДЕМЕОЙЕ РМПЭБДЙ ЛМЕФПЮОПЗП НОПЦЕУФЧБ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ
РТЕДУФБЧМЕОЙС ЕЗП Ч ЧЙДЕ ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ.

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП $K$ РТЕДУФБЧМЕОП ДЧХНС
ТБЪМЙЮОЩНЙ УРПУПВБНЙ Ч ЧЙДЕ ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ}:
\[
K=\bigcup_{k=1}^n\Pi_k=\bigcup_{j=1}^m\Pi_j',
\]
\tit{ФП}
\[
\sum_{k=1}^nS(\Pi_k)=\sum_{j=1}^mS(\Pi_j')
\] 

о Б В Т П У П Л\quad Д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч Б\footnote{нЩ РЙЫЕН
<<ОБВТПУПЛ>>, РПУЛПМШЛХ РПМОПЕ ДЕФБМШОПЕ ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ФТЕВХЕФ УМЙЫЛПН
НОПЗП ЧТЕНЕОЙ Й ВХНБЗЙ ВЕЪ ЧУСЛЙИ ЫБОУПЧ ДПВБЧЙФШ Л РПОЙНБОЙА УЙФХБГЙЙ
ЮЕЗП ОЙВХДШ ОПЧПЕ. пВ БОБМПЗЙЮОПН УМХЮБЕ РЙЫЕФ ЙЪЧЕУФОЩК НБФЕНБФЙЛ
ч.й.~уНЙТОПЧ Ч УЧПЙИ <<чПУРПНЙОБОЙСИ>>: ``б ЪОБЕФЕ Х ЛПЗП С УМХЫБМ
МЕЛГЙЙ РП ФЕПТЙЙ ЮЙУЕМ? х УБНПЗП хУРЕОУЛПЗП! б ОБЮБМ ПО РЕТЧХА МЕЛГЙА
ФБЛ: <<ч РПУМЕДОЕЕ ЧТЕНС НОПЗЙЕ НБФЕНБФЙЛЙ ХДЕМСАФ УЕТШЈЪОПЕ ЧОЙНБОЙЕ
ФПЮОПНХ ПРТЕДЕМЕОЙА РПОСФЙС ГЕМПЗП ЮЙУМБ. оП, ЗПУРПДБ, ОЕ ВХДЕН ЦЕ НЩ
ЪДЕУШ ФТБФЙФШ УЧПЈ ЧТЕНС ОБ ТБУУНПФТЕОЙЕ ЧПРТПУБ, СУОПЗП ЧУСЛПК ТЩОПЮОПК
ФПТЗПЧЛЕ! й РТЙ ЬФПН ВЕЪ ЛБЛЙИ-МЙВП ЫБОУПЧ ДПВБЧЙФШ ЮФП-МЙВП УХЭЕУФЧЕООПЕ
Л ФПНХ, ЮФП ПОБ ХЦЕ ПФМЙЮОП ЪОБЕФ!>>''}.
пВПЪОБЮЙН $\Pi_{ij}''=\Pi_i\cap\Pi_j'$. 
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.8]{klet.eps}
%\end{center}
пЮЕЧЙДОП, РТЙ МАВЩИ $i,j$
НОПЦЕУФЧП $\Pi_{ij}''$ МЙВП РХУФП, МЙВП СЧМСЕФУС РТСНПХЗПМШОЙЛПН 
(Ф.~Е. ЛМЕФЛПК) ОБ РМПУЛПУФЙ (ЧПЪНПЦОП <<ЧЩТПЦДЕООЩН>>, Ф.~Е. 
ЙНЕАЭЙН ОХМЕЧХА ЫЙТЙОХ Й/ЙМЙ ЧЩУПФХ). лТПНЕ ФПЗП, ПЮЕЧЙДОП, РТЙ 
$(i,j)\ne(p,q)$ ЛМЕФЛЙ $\Pi_{ij}''$ Й $\Pi_{pq}''$ ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС Й 
УРТБЧЕДМЙЧП ТБЧЕОУФЧП
\[
K=\bigcup_{i=1}^n\Pi_k=\bigcup_{j=1}^m\Pi_j'=
\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^m\Pi_{ij}''
\]
рПУЛПМШЛХ ЛБЦДБС ЛМЕФЛБ $\Pi_i$ СЧМСЕФУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН ОЕЛПФПТПЗП
ЛПОЕЮОПЗП НОПЦЕУФЧБ ЛМЕФПЛ $\Pi_{ij}''$ ЧЙДЙН, ЮФП
\[
\sum_{i=1}^nS(\Pi_i)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mS(\Pi''_{ij})
\]
бОБМПЗЙЮОП,
\[
\sum_{j=1}^mS(\Pi_j')=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^nS(\Pi''_{ij})
\]
оП РПУМЕДОЙЕ ДЧЕ УХННЩ ТБЧОЩ (Ч ОЙИ ПДОЙ Й ФЕ ЦЕ УМБЗБЕНЩЕ, ФПМШЛП ЧЪСФЩ
Ч ТБЪОПН РПТСДЛЕ). рПЬФПНХ ЪБЛМАЮЕОЙЕ ФЕПТЕНЩ ЧЕТОП \vic.

лМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ Й ЙИ РМПЭБДЙ ПВМБДБАФ ОЕЛПФПТЩНЙ ПЮЕЧЙДОЩНЙ
УЧПКУФЧБНЙ, ЛПФПТЩЕ НЩ РЕТЕЮЙУМЙН Ч УМЕДХАЭЕК ФЕПТЕНЕ.

\teo{фЕПТЕНБ.} 1. \tit{уПЧПЛХРОПУФШ ЧУЕИ ЛМЕФПЮОЩИ НОПЦЕУФЧ $\Kl$ ПВТБЪХАФ 
ЛПМШГП НОПЦЕУФЧ, ФП ЕУФШ ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ НПЦОП ПВЯЕДЙОСФШ, РЕТЕУЕЛБФШ 
Й ЧЩЮЙФБФШ, РТЙ ЬФПН ЧОПЧШ РПМХЮБАФУС ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ}:
\[
K_1,K_2\in\Kl\quad\Rightarrow\quad K_1\cup K_2\in\Kl,\quad 
K_1\cap K_2\in\Kl,\quad K_1-K_2\in\Kl. 
\]

2. \tit{рМПЭБДШ ЛМЕФПЮОЩИ НОПЦЕУФЧ --- ЬФП ЖХОЛГЙС $S:\Kl\to\R$. пОБ
ПВМБДБЕФ УЧПКУФЧБНЙ: ЕУМЙ $K_1,K_2$ --- ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ, ФП}
\begin{align*}
1)\quad&S(K_1)\geq 0\text{ --- РПМПЦЙФЕМШОПУФШ;}\\
2)\quad&K_1\subset K_2\Rightarrow S(K_1)\leq S(K_2)
\text{ --- НПОПФПООПУФШ;}\\
3)\quad&K_1\cap K_2=\Empty
\Rightarrow S\big(K_1\cup K_2\big)=S(K_1)+S(K_2)
\text{ --- БДДЙФЙЧОПУФШ.}
\end{align*}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. <<оП, ЗПУРПДБ!\dots>>
\bigskip

\begin{wrapfigure}[9]{l}{4.5cm}
\vskip-15pt
\includegraphics[scale=1]{pic_lec13.4}\\[6pt]
\parbox{4.5cm}{\footnotesize ъБЛТБЫЕОБ ТБЪОПУФШ $K_2-K_1$. дМС ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ
ЬФХ РМПЭБДШ ОБДП ХНЕФШ УДЕМБФШ НЕОШЫЕ МАВПЗП $\eps$ ЪБ УЮЈФ ЧЩВПТБ 
$K_1$, $K_2$.}
\end{wrapfigure}

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} нОПЦЕУФЧП $E\subset\R^2$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ЛЧБДТЙТХЕНЩН},
ЕУМЙ ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ОБКДХФУС ФБЛЙЕ ДЧБ ЛМЕФПЮОЩИ НОПЦЕУФЧБ $K_1$ Й $K_2$,
ЮФП $K_1\subset E\subset K_2$ Й РТЙ ЬФПН $S(K_2)-S(K_1)<\eps$. уПЧПЛХРОПУФШ
ЧУЕИ ЛЧБДТЙТХЕНЩИ НОПЦЕУФЧ НЩ ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ $\Sq$. фБЛЙН ПВТБЪПН,
\begin{gather*}
E\in\Sq\eqdef \forall\eps>0\ \exists K_1,K_2\in\Kl:\\
K_1\subset E\subset K_2\land S(K_2)-S(K_1)<\eps.
\end{gather*}

йЪ ЬФПЗП ПРТЕДЕМЕОЙС УТБЪХ УМЕДХЕФ, ЮФП МАВПЕ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП $K$
ЛЧБДТЙТХЕНП (Ч ЛБЮЕУФЧЕ $K_1$ Й $K_2$ ОБДП ЧЪСФШ НОПЦЕУФЧП $K$).
оЙЦЕ НЩ ДПЛБЦЕН РТПУФЩЕ ЛТЙФЕТЙЙ ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ, Й РТЙЧЕДЈН РТЙНЕТЩ
ЛЧБДТЙТХЕНЩИ НОПЦЕУФЧ ПФМЙЮОЩИ ПФ ЛМЕФПЮОЩИ, Б РПЛБ ПРТЕДЕМЙН
РМПЭБДШ ЛЧБДТЙТХЕНПЗП НОПЦЕУФЧБ.

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ НОПЦЕУФЧП $E\subset\R^2$ ЛЧБДТЙТХЕНП, ФП УХЭЕУФЧХЕФ
ЕДЙОУФЧЕООПЕ ЮЙУМП $\mu$ ФБЛПЕ, ЮФП}
\[
\forall K_1,K_2\in\Kl\quad K_1\subset E\subset K_2\Rightarrow
S(K_1)\leq\mu\leq S(K_2).
\]
ьФП ЮЙУМП $\mu$ НЩ ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ ЮЕТЕЪ $S(E)$ Й ОБЪЩЧБФШ
\tit{РМПЭБДША НОПЦЕУФЧБ} $E$.

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ $A$ УПЧПЛХРОПУФШ ЧУЕЧПЪНПЦОЩИ
ЮЙУЕМ $S(K_1)$, ЛПЗДБ $K_1$ РТПВЕЗБЕФ ЧУЕ ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ, 
\emph{УПДЕТЦБЭЙЕУС Ч} $E$:
\[
A=\{S(K_1): K_1\in\Kl\land K_1\subset E)\}.
\]
пВПЪОБЮЙН ЕЭЈ ЮЕТЕЪ $B$ УПЧПЛХРОПУФШ ЧУЕЧПЪНПЦОЩИ
ЮЙУЕМ $S(K_2)$, ЛПЗДБ $K_2$ РТПВЕЗБЕФ ЧУЕ ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ, \emph{УПДЕТЦБЭЙЕ}
$E$:
\[
B=\{S(K_2): K_2\in\Kl\land K_2\supset E)\}.
\]
ч УЙМХ НПОПФПООПУФЙ РМПЭБДЙ 
$\forall \alpha\in A\ \forall\beta\in B$ $\alpha\leq\beta$.
рП УЧПКУФЧХ РПМОПФЩ НОПЦЕУФЧБ ДЕКУФЧЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ, УХЭЕУФЧХЕФ
ФБЛПЕ $\mu$, ЮФП
\[
\forall\alpha\in A\ \forall\beta\in B\quad \alpha\leq\mu\leq\beta.\tag{*}
\]

рПЛБЦЕН, ЮФП ПОП ЕДЙОУФЧЕООП. 

ч УБНПН ДЕМЕ, ЕУМЙ $\mu'$ ФПЦЕ ФБЛПЧП, ЮФП 
$\forall\alpha\in A\ \forall\beta\in B\quad \alpha\leq\mu'\leq\beta$, ФП
\[
\forall K_1,K_2\in\Kl\quad K_1\subset E\subset K_2\Rightarrow 
|\mu-\mu'|\leq S(K_2)-S(K_1)=\alpha-\beta.
\]
оП РПУМЕДОАА ТБЪОПУФШ НПЦОП УДЕМБФШ НЕОШЫЕ МАВПЗП $\eps>0$ Ч УЙМХ
ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ $E$, Ф.~Е. 
\[
\forall\eps>0\quad |\mu-\mu'|<\eps,
\]
ЪОБЮЙФ, $|\mu-\mu'|=0$ Й $\mu=\mu'$. юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ
\vic.

\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.} йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РМПЭБДЙ НОПЦЕУФЧБ $E$
УМЕДХЕФ, ЮФП УРТБЧЕДМЙЧЩ ТБЧЕОУФЧБ (ФПМШЛП ДМС ЛЧБДТЙТХЕНЩИ $E$!)
\[
S(E)=\sup_{\substack{K\text{---ЛМЕФПЮОПЕ}\\ K\subset E}}S(K)=
\inf_{\substack{K\text{---ЛМЕФПЮОПЕ}\\ K\supset E}}S(K).
\] 

\teo{фЕПТЕНБ} (ЛТЙФЕТЙК ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ). \tit{нОПЦЕУФЧП $E$ ЛЧБДТЙТХЕНП ФПЗДБ
Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ОБКДЈФУС ФБЛПЕ ЛМЕФПЮОПЕ
НОПЦЕУФЧП $K$, ЮФП ЗТБОЙГБ $\partial E$ НОПЦЕУФЧБ $E$ УПДЕТЦЙФУС Ч $K$
Й} $S(K)<\eps$:
\[
E\in\Sq\Leftrightarrow \exists K\in\Kl: \partial E\subset K\land S(K)<\eps.
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. $(\Rightarrow)$ рП ПРТЕДЕМЕОЙА ДМС РТПЙЪЧПМШОПЗП 
$\eps>0$ ОБКДЈН ФБЛЙЕ ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ $K_1$, $K_2$, ЮФП 
$K_1\subset E\subset K_2$ Й $S(K_2)-S(K_1)<\eps$. пЮЕЧЙДОП, НОПЦЕУФЧП
$K_2-K_1$ --- ЛМЕФПЮОПЕ Й ПВМБДБЕФ ОХЦОЩНЙ УЧПКУФЧБНЙ (УН. ЛБТФЙОЛХ
ОБ РТЕДЩДХЭЕК УФТБОЙГЕ).

$(\Leftarrow)$ рХУФШ $K$ --- ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП, УПДЕТЦБЭЕЕ ЗТБОЙГХ
НОПЦЕУФЧБ $E$, Х ЛПФПТПЗП $S(K)<\eps$. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ $K_2=K\cup E$
Й $K_1=K_2-K$. пЮЕЧЙДОП (ОБТЙУХКФЕ ЛБТФЙОЛХ), $K_1$ Й $K_2$ ЛМЕФПЮОЩЕ
НОПЦЕУФЧБ УП УЧПКУФЧПН $K_1\subset E\subset K_2$ Й $S(K_2)-S(K_1)<\eps$,
Ф.~Е. $E$ --- ЛЧБДТЙТХЕНП \vic.

уМЕДХАЭЙК ЛТЙФЕТЙК ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ СЧМСЕФУС РТПУФЩН ПВПВЭЕОЙЕН
ПРТЕДЕМЕОЙС ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ (ПВТБФЙФЕ ЧОЙНБОЙЕ, ЮФП РП УТБЧОЕОЙА У
ПРТЕДЕМЕОЙЕН, ЙЭХФУС \tit{ОЕ ЛМЕФПЮОЩЕ} НОПЦЕУФЧБ, Б \tit{ЛЧБДТЙТХЕНЩЕ}).
\medskip

%\begin{wrapfigure}{l}{4cm}
%\vskip-15pt
%\includegraphics[scale=.6]{krit.eps}
%\end{wrapfigure}

\teo{фЕПТЕНБ} (лТЙФЕТЙК ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ). \tit{нОПЦЕУФЧП $E$ ЛЧБДТЙТХЕНП
ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ДМС МАВПЗП $\eps>0$  ОБКДХФУС ФБЛЙЕ ДЧБ
\tbf{ЛЧБДТЙТХЕНЩЕ} НОПЦЕУФЧБ $E_1$ Й $E_2$, ЮФП $E_1\subset E\subset E_2$
Й РТЙ ЬФПН} $S(E_2)-S(E_1)<\eps$:
\[
E\in\Sq\eqdef \forall\eps>0\ \exists E_1,E_2\in\Sq:\
E_1\subset E\subset E_2\land S(E_2)-S(E_1)<\eps.\tag{**}
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. оЕПВИПДЙНПУФШ ПЮЕЧЙДОБ, ФБЛ ЛБЛ Ч УМХЮБЕ
ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ $E$ ОБКДХФУС \tit{ЛМЕФПЮОЩЕ} НОПЦЕУФЧБ $K_1$ Й $K_2$
У ОХЦОЩН УЧПКУФЧПН, Б ПОЙ, ЛБЛ НЩ ПФНЕЮБМЙ ЧЩЫЕ, ЛЧБДТЙТХЕНЩ.
рПЬФПНХ ЙИ Й НПЦОП ЧЪСФШ Ч ЛБЮЕУФЧЕ ЙУЛПНЩИ $E_1$ Й $E_2$ УППФЧЕФУФЧЕООП.

дПУФБФПЮОПУФШ РПМХЮБЕФУС ОЕ ОБНОПЗП УМПЦОЕЕ. еУМЙ ХУМПЧЙЕ (**) ЧЩРПМОЕОП,
ФП УОБЮБМБ РП РТПЙЪЧПМШОПНХ $\eps>0$ ЧЩВЕТЕН ЛЧБДТЙТХЕНЩЕ $E_1$ Й $E_2$
ФБЛ, ЮФПВЩ $E_1\subset E\subset E_2$ Й $S(E_2)-S(E_1)<\frac{\eps}2$.
ъБФЕН, Ч УЙМХ ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ $E_1$, $E_2$, ОБКДЈН ФБЛПЕ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП 
$K_1\subset E_1$, ЮФПВЩ $S(E_1)-S(K_1)<\frac{\eps}4$ Й ЛМЕФПЮОПЕ
НОПЦЕУФЧП $K_2\supset E_2$, ЮФПВЩ $S(K_2)-S(E_2)<\frac{\eps}4$.
фПЗДБ 
\[
S(K_2){-}S(K_1){=}\overbrace{S(K_2){-}S(E_2)}^{<\eps/4}{+}
\overbrace{S(E_2){-}S(E_1)}^{<\eps/2}{+}
\overbrace{S(E_1){-}S(K_1)}^{<\eps/4}{<}\eps.
\]
фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ \vic.

\begin{wrapfigure}[5]{l}{3.5cm}
\vskip-15pt
\includegraphics[scale=1]{s_Darbu.4}
\end{wrapfigure}

уМЕДХАЭБС ФЕПТЕНБ ДБЈФ ЧБЦОЩК ЛМБУУ ЛЧБДТЙТХЕНЩИ НОПЦЕУФЧ.

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ ЖХОЛГЙС $f$ ЙОФЕЗТЙТХЕНБ РП тЙНБОХ ОБ ПФТЕЪЛЕ $[a;b]$
Й $f(x)\geq 0$ ДМС МАВЩИ $x\in[a;b]$, ФП ЛТЙЧПМЙОЕКОБС ФТБРЕГЙС}
\[
T=T(f;a,b)=\big\{(x,y)\in\R^2: a\leq x\leq b,\quad 0\leq y\leq f(x)\big\}
\text{ ---}
\]
\tit{ЛЧБДТЙТХЕНБ Й}
\[
S(T)=\Int_a^bf(x)\,dx.
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. пВПЪОБЮЙН ДМС РТПЙЪЧПМШОПЗП ТБЪВЙЕОЙС 
$\tau=\{a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\}$ ЮЕТЕЪ $K_1$ ЛМЕФПЮОПЕ
НОПЦЕУФЧП, СЧМСАЭЕЕУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН ЛМЕФПЛ $\Pi_i$ ПУОПЧБОЙЕН ЛПФПТЩИ
УМХЦЙФ ПФТЕЪПЛ $\Delta_i=[x_{i-1};x_i]$, Б ЧЩУПФБ ТБЧОБ 
$m_i=\Inf_{x\in\Delta_i}f(x)$. пЮЕЧЙДОП, $K_1\subset T$ Й 
\[
S(K_1)=\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i=\underline s(f;\tau).
\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.8]{s_Darbu.6}\qquad
\includegraphics[scale=.8]{s_Darbu.5}\qquad
\includegraphics[scale=.8]{s_Darbu.7}
\parbox{11cm}{
\footnotesize
\hspace{1.5cm}оБ ЛБТФЙОЛЕ ЪБЛТБЫЕООБС РМПЭБДШ УППФЧЕФУФЧЕООП ТБЧОБ:\\ 
ОЙЦОЕК УХННЕ дБТВХ $S(K_1)$, ЧЕТИОЕК $S(K_2)$ Й ЙИ ТБЪОПУФЙ 
\(S(K_2)-S(K_1)\).}
\end{center}

юЕТЕЪ $K_2$ ПВПЪОБЮЙН ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП,
СЧМСАЭЕЕУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН ЛМЕФПЛ $\Pi_i'$ ПУОПЧБОЙЕН ЛПФПТЩИ
УМХЦЙФ ПФТЕЪПЛ $\Delta_i=[x_{i-1};x_i]$, Б  ЧЩУПФБ ТБЧОБ 
$M_i=\Sup_{x\in\Delta_i}f(x)$. пЮЕЧЙДОП, $K_2\supset T$ Й
\[
S(K_2)=\sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i=\overline S(f;\tau).
\]


ч УЙМХ РТЕДРПМБЗБЕНПК ЙОФЕЗТЙТХЕНПУФЙ $f$ Й ЧФПТПЗП ЛТЙФЕТЙС ЙОФЕЗТЙТХЕНПУФЙ
ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ОБКДЈФУС ФБЛПЕ ТБЪВЙЕОЙЕ, ЮФП
\[
S(K_2)-S(K_1)=\overline S(f;\tau)-\underline s(f;\tau)<\eps.
\]
ьФП Й ПЪОБЮБЕФ ЛЧБДТЙТХЕНПУФШ $T$.

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ \vic.

\teo{уМЕДУФЧЙЕ.} \tit{рХУФШ ЖХОЛГЙЙ $f$ Й $g$ ЙОФЕЗТЙТХЕНЩ РП тЙНБОХ ОБ
ПФТЕЪЛЕ $[a;b]$ Й $f(x)\leq g(x)$ ДМС МАВЩИ $x\in[a;b]$. фПЗДБ
ЛТЙЧПМЙОЕКОБС ФТБРЕГЙС}
\[
T=\big\{(x,y): a\leq x\leq b, f(x)\leq y\leq g(x)\big\}
\]
\tit{ЛЧБДТЙТХЕНБ Й ЕЈ РМПЭБДШ ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ}
\[
\hspace{5cm}S(T)=\Int_a^b\big[g(x)-f(x)\big]\,dx.
\]

\begin{wrapfigure}[6]{l}{4cm}
\vskip-50pt
\includegraphics[scale=1]{polar_gr.2}
\end{wrapfigure}

%\teo{ъБДБЮБ.}

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рХУФШ ЛТЙЧБС $\gamma$ ЪБДБЈФУС Ч РПМСТОПК УЙУФЕНЕ
ЛППТДЙОБФ ХТБЧОЕОЙЕН $\rho=\rho(\varphi)$, $\alpha\leq\varphi\leq\beta$. 
\tit{лТЙЧПМЙОЕКОЩН УЕЛФПТПН} ОБЪЩЧБЕФУС ПВМБУФШ ОБ РМПУЛПУФЙ ПЗТБОЙЮЕООБС 
ЛТЙЧПК $\gamma$ Й ПФТЕЪЛБНЙ ДЧХИ МХЮЕК $\varphi=\alpha$ Й $\varphi=\beta$.

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ $\rho=\rho(\varphi)$ ЙОФЕЗТЙТХЕНБС РП тЙНБОХ 
ЖХОЛГЙС ОБ РТПНЕЦХФЛЕ $\alpha\leq\varphi\leq\beta$, ФП ЛТЙЧПМЙОЕКОЩК
УЕЛФПТ, ПРТЕДЕМСЕНЩК ЬФПК ЖХОЛГЙЕК, СЧМСЕФУС ЛЧБДТЙТХЕНЩН НОПЦЕУФЧПН Й
ЕЗП РМПЭБДШ ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ}
\[
\hspace{5cm}S=\frac12\Int_{\alpha}^{\beta}\rho^2(\varphi)\,d\varphi.
\]

\begin{wrapfigure}[9]{l}{4cm}
\vskip-40pt
\includegraphics[scale=1]{polar_gr.1}
{\footnotesize ъБЛТБЫЕООБС РМПЭБДШ ТБЧОБ ТБЪОПУФЙ
ЧЕТИОЕК Й ОЙЦОЕК УХНН дБТВХ ДМС ЙОФЕЗТБМБ 
$\frac12\int_\alpha^\beta\rho^2(\varphi)\,d\varphi$.}
\end{wrapfigure}


\mbox{о Б В Т П У П Л \; Д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч Б.} 
дМС РТПЙЪЧПМШОПЗП
ТБЪВЙЕОЙС $\tau=\{\alpha=\varphi_0<\varphi_1<\dots<\varphi_n=\beta\}$
ТБУУНПФТЙН ЛТХЗПЧЩЕ УЕЛФПТЩ ТБДЙХУПЧ 
$m_i=\Inf_{\varphi_{i-1}\leq\varphi\leq\varphi_i}\rho(\varphi)$, ЗДЕ
$\varphi_{i-1}\leq\varphi\leq\varphi_i$. чУЕ УЕЛФПТЩ ЛЧБДТЙТХЕНЩ
Й ЙИ РМПЭБДШ ТБЧОБ $\frac12m_i^2\Delta\varphi_i$.
пВЯЕДЙОЕОЙЕ ЬФЙИ УЕЛФПТПЧ --- ЛЧБДТЙТХЕНПЕ НОПЦЕУФЧП, УПДЕТЦБЭЕЕУС
Ч ДБООПН ЛТЙЧПМЙОЕКОПН УЕЛФПТЕ Й ЕЗП РМПЭБДШ ТБЧОБ
\[
\hspace{5cm}\frac12\sum_{i=1}^nm_i^2\Delta\varphi_i \tag{$\star$}
\]

бОБМПЗЙЮОП, МЕЗЛП ЧЙДЕФШ, ЮФП ПВЯЕДЙОЕОЙЕ ЛТХЗПЧЩИ УЕЛФПТПЧ ТБДЙХУПЧ
$M_i=\Sup_{\varphi_{i-1}\leq\varphi\leq\varphi_i}\rho(\varphi)$,
$\varphi_{i-1}\leq\varphi\leq\varphi_i$ СЧМСЕФУС ЛЧБДТЙТХЕНЩН НОПЦЕУФЧПН
УПДЕТЦБЭЙН ЛТЙЧПМЙОЕКОЩК УЕЛФПТ Й ЕЗП РМПЭБДШ ТБЧОБ
\[
\frac12\sum_{i=1}^nM_i^2\Delta\varphi_i\tag{$\star\star$}
\]
чЩТБЦЕОЙС $(\star)$ Й $(\star\star)$ СЧМСАФУС УППФЧЕФУФЧЕООП
ОЙЦОЕК Й ЧЕТИОЕК УХННБНЙ дБТВХ ДМС ЙОФЕЗТБМБ 
$\frac12\intt_\alpha^\beta\rho^2(\varphi)\,d\varphi$. ч УЙМХ ЙОФЕЗТЙТХЕНПУФЙ
ЖХОЛГЙЙ $\rho^2(\varphi)$ ТБЪОПУФШ НЕЦДХ ЧЕТИОЕК Й ОЙЦОЕК УХННБНЙ дБТВХ
НПЦОП УДЕМБФШ РТПЙЪЧПМШОП НБМПК ЪБ УЮЈФ ЧЩВПТБ ТБЪВЙЕОЙС. рПЬФПНХ
ЛТЙЧПМЙОЕКОЩК УЕЛФПТ --- ЛЧБДТЙТХЕНПЕ НОПЦЕУФЧП Й ЕЗП РМПЭБДШ 
ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ХЛБЪБООПК Ч ФЕПТЕНЕ ЖПТНХМЕ \vic.

%\teo{ъБДБЮБ.}



\end{document}
$M_i=\Sup_{\varphi_{i-1}\leq\varphi\leq\varphi_i}\rho(\varphi)$,
$\frac12M_i^2\Delta\varphi_i$.
Соседние файлы в папке lec13
  • #
    10.03.2016727.46 Кб6lec13-0.ps
  • #
    10.03.2016667.13 Кб6lec13-1.ps
  • #
    10.03.2016676.67 Кб6lec13-2.ps
  • #
    10.03.201615.38 Кб6lec13.tex