28

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Математическая модель химико-технологической системы

Разработка многостадийных химико-технологических процессов проводится по отдельным стадиям. При этом вся совокупность превращений и средства для их реализации для каждой стадии представляются в виде отдельной химико-тех-нологической системы. Такая система имеет входные и выходные параметры, параметры возмущения и регулирования.

Входные параметры: характеристики веществ и реакционных масс, входящих в систему.

Выходные параметры: характеристики конечных, целевых продуктов или реакционных масс на выходе из реактора.

Параметры возмущения: изменения, происходящие в реакторе в ходе химико-технологического процесса. Такими характеристиками могут являться тепловой эффект реакции, изменение концентраций компонентов на входе, интенсивность перемешивания и т.д.

Параметры управления: изменение параметров процесса в результате внешнего воздействия на систему. Таким воздействием может являться изменение температуры с использованием теплоносителя.

Таким образом вектор выходных параметров Y(y₁, y₂,…y_n) является функцией входных параметров (вектор входных параметров), Х(х₁, х₂, …х_к), параметров возмущения (вектор возмущения), Z(z₁, z₂,….z_l), и параметров управления (вектор управления), U(u₁, u₂,…u_m).

Y = f(X, Z, U) (2.1)

Задача математического моделирования сводится к определению математических уравнений, определяющих указанную выше зависимость, и оптимизации входных параметров, параметров возмущения и параметров управлению с целью получения вектора выходных параметров, соответствующего установленным требованиям, предъявляемым к качеству продукта, экономическим показателям и т.д.

2.2. Моделирование реакторов непрерывного действия

При разработке химико-технологических стадий в реакторах непрерывного действия одной из важнейших задач является определение структуры потока. Основной метод изучения гидродинамики реакторов непрерывного действия состоит в анализе отклика системы на индикаторное возмущение. Таким образом, на вход в реактор в определенный момент времени подается индикатор, а затем фиксируется выход этого индикатора из реактора. Изучение гидродинамики проводится в неустановившемся режиме.

Требования к индикаторам:

- индикатор не должен вступать во взаимодействие с компонентами основного потока;

- количество индикатора не должно изменять структуру потока;

- индикатор должен легко фиксироваться на выходе из системы.

В качестве индикаторов используются кислоты, основания, красители, радиоактивные вещества и другие вещества, которые можно достаточно просто определить количественно с использованием известных аналитических методов.

Воздействие индикатора на систему может быть проведено различными способами. Различают следующие типы возмущающих воздействий.

Импульсное возмущение

Импульсное возмущение (-функция, или функция Дирака) и соответствующая кривая отклика представлена на рисунке 4.

При импульсном возмущении концентрация индикатора на входе возрастает скачкообразно в определенный момент времени_о. Это теоретическое возмущение. Практически изменение концентрации происходит в некотором промежутке времени(-_о). На входную функцию накладывается условие нормировки:

(2.2)

Аналогичное выражение справедливо и для -функции:

(2.3)

На выходе получают выходную функцию с() = с_i^k, которая называетсядифференциальной функцией распределения и обозначаетсяЕ(х), гдех– случайная величина. Эта функция должна также удовлетворять условию нормировки

(2.4)

Ступенчатое возмущение

Ступенчатое возмущение и соответствующая кривая отклика представлены на рисунке 4.

При ступенчатом возмущении в определенный момент времени ₀концентрация индикатора достигает некоторой определенной величины и остается постоянной.

Функция ступенчатого возмущения связана с импульсным возмущением следующим образом:

(2.5)

На выходе получают кривую отклика, которая называется интегральной функцией распределенияF():

(2.6)

Классическими моделями реакторов являются модели реактора идеального смешения и реактора идеального вытеснения. Рассмотрим, как реагирует гидродинамика таких реакторов на импульсное возмущение.