Вычислительная Математика / Job-8
.pdf1
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пример. Вычислить значение определенного интеграла
1.1 |
x2 |
|
|
I = ∫ (x +1) cos( |
|
) dx |
|
2 |
|||
0.6 |
|
||
|
|
всеми численными методами на заданном отрезке [0.6; 1.1] при числе разбиений n=5. Шаг интегрирования:
h = |
1.1 −0.6 |
=0.1 |
|
5 |
|||
|
|
Строим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка и в средних точках.
|
i |
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
xi |
|
0.6000 |
0.7000 |
|
0.80000.90001.00001.1000 |
|
|
||
|
yi |
|
1.5741 |
1.6492 |
|
1.70861.74631.75521.7273 |
|
|
||
|
xi+1 |
2 |
0.6500 |
0.7500 |
0.85000.95001.0500 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi+1 |
2 |
1.6133 |
1.6812 |
1.73061.75481.7463 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод прямоугольников вперед. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n −1 |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
si = yi ; I = ∑si = h ∑yi−1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i=0 |
i=0 |
|
|
|
|
I =0.1 (1.5741 +1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552) =0.8433 |
||||||||||
Метод прямоугольников назад. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n −1 |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
si = h yi+1; I = ∑si = h ∑yi+1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i=0 |
i=0 |
|
|
|
I =0.1 (1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552 +1.7273) =0.8587
2
Метод прямоугольники в среднем.
|
|
n −1 |
n −1 |
|
si = h yi+1 |
2 |
; I = ∑si = h ∑yi+1 |
2 |
|
|
i=0 |
i=0 |
||
|
|
|
I =0.1 (1.6133 +1.6812 +1.7306 +1.7548 +1.7463) =0.8526
Метод трапеций.
|
yi + yi+1 |
n −1 |
+ yn |
n −1 |
|
si = h |
; I = ∑si = h ( |
y0 |
+ ∑yi ) |
||
|
|
2 |
|||
2 |
i=0 |
i=1 |
I =0.1 (1.57412 +1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552 +1.72732 ) =0.8510
Метод Симпсона.
I = h |
n −1 |
|
|
|
+ yi+1) = h |
n −1 |
|
|
|
n −1 |
∑(yi +4 y |
i+ |
1 |
|
(y0 +4∑y |
i+ |
1 |
+2 |
∑yi + yn ) |
||
6 i=0 |
|
2 |
6 |
i=0 |
|
2 |
i=1 |
I = 06.1(1.5741 +4 (1.6133 +1.6812 +1.7306 +1.7548 +1.7463) +
+2 (1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552) +1.7278) =0.8521
Задания. Вычислить значение определенного интеграла на заданном отрезке при числе разбиений n=10.
1. |
1.5 |
|
x2 +5 dx |
2. |
1.5 |
|
0.5x +2 dx |
|||||
∫ |
2x |
+ |
x2 +0.5 |
∫ |
|
2x2 +1 +0.8 |
||||||
|
0.5 |
|
0.5 |
|
||||||||
3. |
1.5 |
0.8x2 +1 dx |
4. |
1.5 |
|
1.5x +0.6 dx |
||||||
∫ |
|
|
1.5x2 +2 |
∫ |
1.6 + |
|
0.8x2 +2 |
|||||
|
0.5 x + |
|
0.5 |
|
||||||||
|
1.5 |
0.8x2 +1 dx |
|
1.5 |
dx |
|
||||||
5. ∫ |
6. |
∫ |
|
|||||||||
+ |
1.5x |
2 |
+2 |
2x |
2 |
+1 |
||||||
|
0.5 x |
|
|
0.5 |
|
3
|
1.5 |
|
|
|
|
|
2dx |
|
|
|
||||
7. |
∫ |
|
x |
|
|
|
||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
+3.2 |
||||||
|
1.5 |
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
||||
9. |
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
x |
|
+1 |
|
|
||||
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||
11. |
∫ |
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
2 +0.5x |
||||||||
|
1.5 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
13. |
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
0.5 + x2 |
||||||||
|
1.5 |
|
|
|
2x dx |
|
|
|||||||
15 |
∫ |
|
|
|||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
x2 +0.7 |
|||||||||
|
1.5 |
|
|
|
|
(x +2)dx |
||||||||
17. |
∫ |
|
||||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
0.2x2 +0.1 |
||||||||
|
1.5 tg(x2 ) |
|
|
|
||||||||||
19. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
x |
2 |
+ |
1 |
||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1.5 sin(2x) |
|
|
|||||||||||
21. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
x |
2 |
|
|
||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1.5 cos x |
|
|
|
|
|||||||||
23. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
|
|
x + |
2 |
|
||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
25. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0.5 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.5 cos(x2 ) |
|
||||||||||||
27. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
x +1 |
|
|||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
∫(x +1)sin x dx |
|||||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.5 |
|
2x +1.3 |
|
|
|
||||||
|
1.5 |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0.5 |
|
2x |
|
|
+3 |
|
|
|
|||
|
1.5 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0.5 |
|
13x2 −1 |
|
|
|
||||||
|
1.5 |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
14. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0.5 |
|
0.4 +1.5x2 |
|||||||||
|
1.5 |
|
6x dx |
|
|
|
||||||
16. |
∫ |
|
|
|
|
|||||||
|
0.5 |
|
0.1x2 +1.8 |
|||||||||
|
1.5 ln(x + |
2) |
|
|
|
|
|
|||||
18. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
|
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 tg(x2 +1) |
|
|
|
||||||||
22. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 tg(x2 +0.5) |
|
||||||||||
24. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 + |
|
2x |
2 |
|
|
|||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1.5 ln(x2 +2) |
|
|
|
||||||||
26. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x + |
1 |
|
|
|
|||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
1.5 sin(x |
2 −1) |
|
|||||||||
∫ |
2 |
|
|
x |
|
|
|
dx |
||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
1.5
30. ∫ x cos(x 2 ) dx
0.5
4
1.5 |
1.5 |
31. ∫(2x +0.5)sin x dx |
32. ∫x2tgx dx |
0.5 |
0.5 |