Вычислительная Математика / lecture_6

1

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

Для заданных на отрезке значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменной yi, (i=0,1,2,…,n), определить аналитическую зависимость y = f (x) .

Основные этапы при приближении функции.

•Выбор вида зависимости

•Выбор критерия

•Выбор узловых точек

•Оценка точности

Метод интерполяции многочленом Лагранжа

Пусть в n+1 узловой точке x0, x1, x2, …, xn определены значения y0, y1, y2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т.е. L(x0)=y0, L(x1)=y1, L(x2)=y2, …, L(xn)=yn. Рассмотрим многочлен вида:

li(x)=ci(x–x0)(x–x1)….. (x–xi–1)(x–xi+1)……. (x–xn–1)(x–xn), (1)

где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке xi принимает значение yi , а в остальных равен нулю.

yi приi = j		j = 0,1,2,...,n,
li (x j) =	приi ≠ j
0

из этого условия можно определить ci:

li(xi)=ci(xi–x0)(xi–x1)….. (xi–xi–1)(xi–xi+1)……. (xi–xn–1)(xi–xn) = yi

сi

=

yi

(xi − x0 )(xi

− x1)...(xi

− xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn−1)(xi − xn )

и тогда многочлен (1) примет вид:

li (x) = yi

(x − x0 )(x − x1)...(x − xi−1)(x − xi+1)...(x − xn−1)(x − xn )

(2)

(x

i

− x

0

)(x

i

− x )...(x

i

− x

i−1

)(x

i

− x

i+1

)...(x

i

− x

n−1

)(x

i

− x

n

)

1

Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).

n

L(x) = ∑li (x)

i=0

2

n

(x − x0 )(x − x1)...(x − xi−1)(x

− xi+1)...(x − xn−1)(x − xn )

L(x) = ∑yi

(x

i

− x

0

)(x

i

− x )...(x

i

− x

i−1

)(x

i

− x

i+1

)...(x

i

− x

n−1

)(x

i

− x

n

)

i=0

1

Пример. Функция y=f(x) определена таблицей

i	0	1	2	3
xi	0.500	1.100	1.700	2.300
yi	–0.7780	0.2108	–0.0244	–0.1876

Определить интерполяционный многочлен L(x) по четырём узловым точкам.

	l0		(x) =	(x − x1) (x − x2 ) (x − x3)		y0 =
				(x0 − x1) (x0 − x2 ) (x0 − x3)
=			(x −1.1) (x −1.7) (x −2.3)		(−0.778) =
		(0.5 −1.1) (0.5 −1.7) (0.5 −2.3)

=0.6003x3 −3.0616x2 + 4.9886x −2.5819

l (x) =

(x − x0 ) (x − x2 ) (x − x3)

y =

1

(x1 − x0 ) (x1 − x2 ) (x1

− x3)

1

=

(x −0.5) (x −1.7) (x −2.3)

0.2108 =

(1.1−0.5) (1.1−1.7) (1.1−2.3)

=0.4880x3 −2.1958x2 + 2.8839x −0.9540

l2

(x) =

(x − x0 ) (x − x1) (x − x3)

y2 =

(x2 − x0 ) (x2 − x1) (x2 − x3)

=

(x −0.5) (x −1.1) (x −2.3)

(−0.0244) =

(1.7 −0.5) (1.7 −1.1) (1.7 −2.3)

=0.0565x3 −0.2203x2 +0.2389x −0.0714

l3

(x) =

(x − x0 ) (x − x1) (x − x2 )

y3 =

(x3 − x0 ) (x3 − x1) (x3 − x2 )

=

(x −0.5) (x −1.1) (x −1.7)

(−0.1876) =

(2.3 −0.5) (2.3 −1.1) (2.3 −1.7)

= −0.1448x3 +0.4777x2 −0.4733x +0.1354

3

3

L(x) = ∑li (x) =1.0000x3 −5.0000x2 +7.6381x −3.4719

i=0

Аппроксимация.

Метод наименьших квадратов

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y:

i	xi	yi
0	x0	y0
1	x1	y1
2	x2	y2
M	M	M
n	xn	yn

Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a0,a1,…,am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a0,a1,a2,…,am, которая наилучшим образом описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a0,a1,…,am):

R= ∑n [yi −f (xi ,a0 ,a1,L,am )]2

i=0

Функцию f(x,a0,a1,…,am)) определим как полином степени m вида:

→ m	+a1x +a2x2 +L+amxm
f (x, a ) = ∑a j x j =a0
j=0

Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение

R= ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 L+amxim )]2 → min

i=0

Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2).

_

f (x,a) = a0 +a1x +a2x2

Для заданных значений x0,x1,…,xn критерий R будет являться функцией трёх переменных a0,a1,a2 :

4

R= R(a0,a1,a2 ) = ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )]2

i=0

Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:

∂R = 2 ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )](−1) = 0
∂a0	i=0

∂R = 2 ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )](−xi ) = 0
∂a1	i=0

∂R		= 2 ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )](−xi2 ) = 0
∂a2			i=0			или
		n			n				n		n
	∑1		a0	+	∑xi a1		+		∑xi2	a2	= ∑yi
	i=0			i=0				i=0			i=0
	n				n				n		n
∑xi a0				+	∑xi2	a1	+		∑xi3	a2	= ∑yixi
i=0				i=0				i=0			i=0
	n				n				n		n
∑xi2			a0	+	∑xi3	a1	+		∑xi4	a2	= ∑yixi2
i=0				i=0				i=0			i=0

Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему

= → →

уравнений запишем в матричном виде: N a = b

n

n

n

n

∑1

∑xi

∑xi2

a

∑yi

i=0

i=0

i=0

0

i=0

=

n

n

2

n

3

→

=

→

=

n

N =

∑xi

∑xi

∑xi

a

a1

b

∑yixi

i=0

i=0

i=0

a

2

i=0

n

n

n

n

∑xi2

∑xi3

∑xi4

∑yixi2

i=0

i=0

i=0

i=0

=

Для удобства формирования матрицы коэффициентов N и столбца свободных

→

=

членов b введем матрицу Фэлементы которой определяются через значения независимой переменной xi, i=0,1,2,…,n

		x0		2
1				x0
= 1		x		x2
Ф =			1	1
		x		x2
1			n
				n

5

тогда

= = T = 1 1

1

1

x

x2

1 1

1

y0

0

02

→ = T →

N =Ф

Ф = x

0

x

x

n

1 x1

x1

b =Ф y

= x

0

x

x

n

y1

1

1

2

2

2

2

2

2

x

0

x1

xn

x

x2

x

0

x1

xn

1

n

yn

n

=

При аппроксимации полиномами высших порядков матрица Фбудет иметь вид

	1	x0		x02 L x0m
=	1	x1		2	m	гдеэлемент φ	= x j, i =0,1,2,...,n, j =0,1,2,...,m
Ф =				x1 L	x1
L		L LL L				ij	i
	1	x
			n	x2 L xm
				n	n

=

В общем случае количество строк в матрицы Ф равно количеству точек, а количество столбцов равно количеству параметров, где строка состоит из значений

→

частных производных от функции f (x, a ) по соответствующему параметру.

Пример. Определить параметры зависимости вида: y = a0 +a1 x

используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным:

i	0	1	2	3
xi	-1	0	1	2
yi	2	1	2	4

	1	−1														1	−1
=	1	0		=	T				1 1 1	1		=	1	1 1 1		1	0		4	2
Ф =		1		Ф	=						N =						1		=
	1							−1 0 1		2			−1	0 1 2		1			2	6
		2															2
	1															1
						2
→	1	1 1		1		1			9		4a	0	2a1	=	9	_	1.9
b	=								=				6a1	=	8	a	=
	−1	0 1 2					2		8		2a0						0.7
						4
									y =1.9 +0.7 x				R = 2.3

6

Пример. Определить параметры зависимости вида: y = a0 +a1 x2

	1	1																1	1
								1 1 1			1					1	1 1 1				4	6
=	1	0			=	T							=		=			1	0
Ф =					Ф	=							N								=
								1 0 1			4					1	0 1 4		1		6	18
	1 1																	1
	1	4																1	4
							2
	1	1		1	1				9		4a		6a			=	9				1.67
→							1					0		1						_
b =									=											a =
		0		1									18a			=	20
	1				4		2		20		6a	0			1						0.72
							4
											y =1.67 + 0.72 x 2						R =0.06