Матан - Лекции по рядам -2010 / Lekciq_5_s
.docЛекция 5
Лекция 5 1
5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции 1
5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды 3
5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции
Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки х0:
и имеет производные любого порядка,
тогда для этой функции формально можно
составить ряд по степеням
:
,
где
Определение
1.
Обобщенный степенной ряд вида
называется рядом
Тейлора
для функции
по степеням
.
Если положить
,
то получим ряд
,
который носит название ряда
Маклорена
для функции
по
степеням х.
Задача.
Пусть задана функция
,
бесконечно дифференцируемая в окрестности
точки х0:
,
и пусть для этой функции составлен ряд
Тейлора по степеням
:
и его сумма равна
.
Если интервал
,
является интервалом сходимости данного
ряда с радиусом сходимости R,
то можно записать равенство:
при всех
.
Выясним, при каких условиях такой
степенной ряд имеет своей суммой функцию
,
т.е. когда
,
поскольку существуют функции, для
которых сумма ряда Тейлора не совпадает
с данной функцией.
Рассмотрим
такой пример. Дана функция
,
которая является бесконечно дифференцируемой
.
Вычислим производные этой функции в
точке
:
,
т.е. все коэффициенты ряда Тейлора-Маклорена
для этой функции равны 0, тогда этот ряд
сходится на всей оси, его сумма тождественно
равна 0:
,
однако
при
(
только в начале координат).
Пусть
ряд Тейлора
имеет интервал сходимости
,
где R – радиус
сходимости. Тогда, если
− частичная сумма этого ряда, то
существует
.
Рассмотрим теорему, которая дает условия
того, что
.
Теорема
1 (необходимый и достаточный признак
сходимости ряда Тейлора к функции
).
Для
того чтобы ряд Тейлора
,
,
имел своей суммой функцию
,
т.е.
,
необходимо и достаточно, чтобы для всех
существовал предел
,
где
− остаток ряда Тейлора.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть функция
есть сумма ряда Тейлора на указанном
промежутке:
,
или
,
где
− частичная сумма ряда Тейлора,
−
остаток ряда. Тогда при всех
существует предел
,
и т.к.
,
то существует предел
,
т.е.
.
Необходимость доказана.
2) Достаточность.
Пусть существует
;
т.к. функция
бесконечно дифференцируема при всех
,
то для нее имеет место формула Тейлора:
,
,
где
− остаточный член формулы Тейлора,
который совпадает с остатком ряда. Тогда
частичная сумма соответствующего ряда
Тейлора имеет вид:
.
Рассмотрим предел
,
который обозначим через
,
учитывая, что
:
,
т.е.
.
Достаточность доказана.
Замечание.
Если
,
то сумма ряда Тейлора может не совпадать
с данной функцией (
),
хотя сам ряд может сходиться к другой
функции.
Необходимое
и достаточное условие сходимости ряда
Тейлора к исходной функции не удобно
для проверки на практике конкретных
рядов; существуют более простые, хотя
и более жесткие, достаточные условия
разложения функции
в ряды Тейлора−Маклорена. Сначала
сформулируем лемму.
Лемма.
Для любого
существует следующий предел:
.
Доказательство.
Рассмотрим степенной ряд
,
общий член которого
.
Найдем радиус и область сходимости
этого ряда, используя признак Даламбера:
;
вычисляем предел
,
т.е. радиус сходимости ряда
.
Следовательно, рассмотренный ряд
сходится для всех
,
тогда по необходимому признаку сходимости
общий член ряда
,
,
т.е.
для любого
.
Теорема
2 (достаточные условия разложимости
функции
в ряд Маклорена)
Пусть
функция
определена и бесконечно дифференцируема
на интервале
.
Если существует такое число
,
что для каждого натурального
и всех
выполняется неравенство:
(это означает, что производные любого
порядка ограничены одним и тем же
числом), тогда остаток ряда Маклорена
при
,
а значит,
.
Доказательство.
Покажем, что остаток ряда Маклорена
стремится к нулю при
.
Запишем для функции
формулу Маклорена с остаточным членом
в форме Лагранжа:
,
где
− многочлен Маклорена, а
.
Отметим, что частичная сумма ряда
Маклорена
является этим многочленом
,
а остаток ряда есть
.
Выполним его оценку, используя условия
данной теоремы и учитывая, что
для
всех
:
.
По лемме
при
,
тогда
,
.
Следовательно, по теореме 1 о необходимом
и достаточном признаке сходимости ряда
Тейлора−Маклорена к исходной функции
получаем
.
Теорема доказана.
5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды
Используем
изложенную выше теорию для разложения
основных элементарных функций в степенные
ряды. Для разложения функции
в степенной ряд по степеням
можно рекомендовать следующий порядок
действий:
1)
Находим производные функции
в точке
:
.
2)
Составляем ряд Тейлора
.
3)
Находим интервал сходимости данного
ряда:
,
где R
− радиус сходимости.
4)
Исследуем поведение остатка ряда
для всех
.
Если окажется, что
,
то на основании теорем 1 и 2 делаем вывод,
что
при всех
.
В результате получаем формулу разложения
функции в степенной ряд.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
(1)
Вывод.
Рассмотрим ряд геометрической прогрессии
,
знаменатель которой
и
.
Можно показать, что интервал сходимости
этого ряда
,
и сумма этого ряда
(сумма ряда бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вычисляется
по формуле
).
Оценим остаток ряда:
;
при
при
,
тогда на основании теоремы 1 рассмотренный
ряд имеет своей суммой функцию
.
Разложение (1) имеет место.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
(2)
Вывод.
Для данной функции
запишем ряд Маклорена:
;
т.к.
− бесконечно дифференцируема, то все
производные существуют и имеют вид:
.
Находим эти производные в точке
,
получаем
,
для всех
,
тогда ряд Маклорена приобретает вид
.
Этот ряд сходится для всех
.
Фиксируем
некоторое число
и рассмотрим некоторый отрезок [−a,
a],
на котором
для любого
.
В этом случае по теореме 2 данный ряд
Маклорена будет сходиться на указанном
отрезке к исходной функции
.
Отметим, что это верно для любого
фиксированного числа
.
Разложение (2) имеет место при всех
.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
,
(3)
Вывод.
Для функции
запишем ряд Маклорена
.
Находим все производные:
,
,
,
,
…,
.
В
точке х
= 0 получаем:
.
Подставив эти значения в ряд Маклорена,
получаем ряд:
.
Данный ряд сходится при любом
.
В
силу теоремы 2 (поскольку
,
т.е. все производные ограничены одним
и тем же числом) данный ряд Маклорена
будет сходиться к исходной функции
при всех
.
Таким образом, имеет место разложение
(3).
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
, 
(4)
Вывод.
Рассмотрим разложение (3)
,
.
Продифференцируем данный ряд; получившийся
новый ряд будет также сходиться при
всех
к функции, которая равна производной
от
(свойство 3, лекция 4), т.е.
.
Таким образом, разложение (4) имеет место.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
(5)
Приведем
это разложение без вывода; отметим, что
оно верно при фиксированном
и называется биномиальным
рядом.
При натуральном
этот ряд представляет собой конечную
сумму, известную как бином
Ньютона:
.
Для
нецелых m
имеет место формула Тейлора:
.
При
из этой формулы получаем бесконечный
степенной ряд (5). Найдем радиус его
сходимости, применяя признак Даламбера.
,
;
вычисляем предел:
,
тогда при
биномиальный ряд сходится и его радиус
сходимости
,
а интервал сходимости − (−1;1) (можно
показать, что
).
Итак,
разложение (5) верно для всех
.
В частном случае, когда
,
из разложения (5) получаем ряд
,
который при
абсолютно сходится. Если в каждом члене
ряда заменить х
на (− х),
то получим разложение (1):
.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
(6)
Вывод.
Из разложения (5) биномиального ряда при
получаем ряд
,
который является рядом геометрической
прогрессии с
,
который сходится при
,
т.е. этот ряд имеет радиус сходимости
и интервал сходимости − (−1;1). Полученный
ряд почленно интегрируем на отрезке
,
используя свойство 3 (лекция 4), при этом
интервал сходимости сохранится:
.
Сумма
полученного ряда равна
(или
,
т.к.
).
Таким образом,
,
т.е. имеет место разложение (6) при
.
Исследуя сходимость данного ряда в
точке
,
получаем числовой ряд
,
который условно сходится. В итоге,
область сходимости ряда в разложении
(6) имеет вид
,
а радиус сходимости
.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
(7)
Вывод.
Из разложения (5) биномиального ряда при
получаем разложение
,
из которого заменой
на
вытекает следующий ряд:
,
который сходится при
,
а именно, при
.
Полученный ряд почленно интегрируем
на отрезке
,
используя свойство 3 (лекция 4), при этом
интервал сходимости сохранится:
.
Сумма
полученного ряда
.
Таким образом,
,
т.е. разложение (7) имеет место при
.
Исследуя полученный ряд в точках
и
,
получаем два условно сходящихся числовых
ряда
и
соответственно. В итоге, область
сходимости ряда в разложении (7) является
отрезком
,
а радиус сходимости R
равен 1.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
(8)
Вывод.
Из разложения (5) биномиального ряда при
и при замене
на
получаем разложение
.
Получившийся ряд сходится при
.
Этот ряд почленно проинтегрируем на
отрезке
,
используя свойство 3 (лекция 4), при этом
интервал сходимости сохранится:
.
Сумма полученного ряда
.
Таким образом,
,
т.е. имеет место разложение (8) на интервале
сходимости
.
В заключение добавим, что разложения − называют основными разложениями элементарных функций в степенной ряд, которые используются как эталонные для разложения других функций.