ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 02.Свойсва конечных пределов

2.Свойсва конечных пределов.

    Теорема 2.8   Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе  :

Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен сумме пределов слагаемых:

        Доказательство.     Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина  -- бесконечно малая; равенство  -- что  -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что ; это и требовалось доказать.     

  Теорема 2.9   Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе  :

Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:

        Доказательство.     Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина  -- бесконечно малая; равенство  -- что  -- бесконечно малая. Поэтому и , откуда

или

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина  -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина  -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4 ; это и требовалось доказать.