ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 48.Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Свойства. Теорема Абеля

Определение 13. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 ,          (24)

где a, a₀, a₁, a₂, …, a_n, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R= (если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.

Определение 14. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке x₀. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x₀ | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x₀, он расходится при всех x, таких что | x | > | x₀ | .

Свойства степенных рядов

Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда

S(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+…       (24)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).

2. Ряд

φ(x)=a₁+2a₂(x-a)+…+na_n(x-a)^n-1+…, (26)

полученный почленным дифференцированием ряда (24), является степенным рядом с тем же, что и ряд (24), интервалом сходимости (a-R;a+R). Сумма ряда (26) φ(x)=S'(x).

Замечание. Ряд (26) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна и так далее. Таким образом, сумма ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда, полученного из ряда (24) n-кратным дифференцированием равна Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.

3. Пусть числа  и  принадлежат интервалу сходимости    ряда (24). Тогда имеет место равенство

1