Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая термодинамика (2008).pdf
Скачиваний:
2307
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
11.02 Mб
Скачать

4.4. Теплоемкости

а из уравнения (4.29):

 

∂s

 

 

 

1

 

-----

 

= ---- ;

 

 

∂h

 

 

 

T

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

∂s

 

 

 

 

v

 

-----

 

 

= – ---- .

 

∂p

h

 

 

T

 

4.4. Теплоемкости

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq = Tds,

 

 

 

cx =

dqx

 

 

 

 

--------

,

 

 

 

 

dT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

= T

 

----s--

.

x

 

∂T x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, для изобарной теплоемкости

(4.42)

(4.43)

(4.44)

c = T

----s--

.

(4.45)

∂T p

p

 

 

 

 

 

Поскольку, как видно из уравнения (4.29), для изобарного процесса (р = = const)

 

Tds = dh,

 

 

то

 

 

 

 

 

 

c

p

=

----h--

.

 

 

 

∂T p

 

 

 

 

 

Аналогичным образом для изохорной теплоемкости

cv

 

 

 

----s--

 

;

 

= T

∂T

 

 

 

 

 

 

v

 

с учетом того, что, как видно из (4.14), в изохорном процессе (v = const) Tds = du,

получаем из (4.47):

∂u cv = T ----T-- v .

(4.46)

(4.47)

(4.48)

Аппарат дифференциальных уравнений термодинамики позволяет установить ряд важных соотношений для теплоемкостей.

Дифференцируя соотношение h = u + pv по температуре при р = const, получаем:

----h--

=

----u--

+ p

----v--

.

(4.49)

∂T

∂T

∂T

 

 

 

 

p

 

p

 

p

 

 

Для того чтобы от частной производной (∂u/∂T)р перейти к производной (∂u / ∂T )v, применяем уравнение (4.13):

----u--

=

----u--

+

----u--

----v--

.

(4.50)

∂T

∂T

∂v

∂T

 

 

 

 

p

 

v

 

T p

 

 

125

Г л а в а 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

Используя соотношение (4.25), получаем:

----u--

=

----p-- ----v--

 

– p

----v--

 

(4.51)

∂T

cv + T ∂T ∂T

 

∂T

.

p

 

 

 

v

 

 

p

 

 

p

 

Подставляя (4.51) в соотношение (4.49), находим:

 

 

 

 

c

– c = T

 

----p--

 

 

----v--

.

 

 

(4.52)

 

p

v

 

∂T

v

 

∂T

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это важное уравнение, связывающее между собой теплоемкости ср и cv , с помощью уравнения (4.12а) может быть также представлено в виде

c

– c

 

= – T

----v--

 

 

----p--

2

,

(4.53)

p

 

 

v

 

 

 

 

∂p

T

 

∂T

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

– c

 

= – T

 

----p-

 

 

----v--

2 .

(4.54)

p

 

 

v

 

 

 

 

 

 

∂v

T

 

∂T

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для идеального газа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂p

 

 

 

 

p

 

 

и

 

 

∂v

 

 

 

v

 

------

 

= ----

 

 

------

 

= ---- ;

 

∂T

 

 

 

T

 

 

 

 

∂T

 

p

T

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cp – cv

=

pv

= R.

 

 

 

 

 

 

 

------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (4.45) может быть преобразовано следующим образом:

 

 

c

 

 

= T

 

----s-- ----v--

 

.

 

 

 

p

 

∂v p ∂T p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя уравнение Максвелла (4.20), получаем:

 

 

c

 

 

=

----p--

----v--

 

.

 

 

(4.55)

 

p

 

∂T s

∂T p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично из уравнения (4.47) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----s-

----p--

 

 

 

 

cv = T

∂p

∂T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

v

 

 

 

Отсюда с учетом уравнения Максвелла (4.21) получаем уравнение, связывающее величину cv с производной (∂p / ∂T )v:

----p--

----v--

 

.

(4.56)

cv = – T ∂T

∂T

 

v

 

 

s

 

Зависимость ср от давления, т.е. величину (∂cp/∂p)T, находим, дифференцируя уравнение (4.31) по температуре при p = const:

-------2---h----

= – T

 

-----2--v---

.

∂p ∂T

 

∂T 2 p

 

 

Поскольку порядок дифференцирования не влияет на результат вычисления смешанной производной, то

2 h

=

 

------ ∂h

 

 

=

 

----- ∂h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂p ∂T

 

 

∂T

∂p

 

 

 

 

∂p

∂T

 

 

 

 

 

 

 

T p

 

 

 

 

p T

126

4.4. Теплоемкости

и, следовательно,

----c--p-

 

= –T

-----2--v---

.

(4.57)

∂p T

∂T

2 p

 

 

 

 

Аналогично из уравнения (4.25)

получаем зависимость теплоемкости cv от

объема:

 

 

 

 

 

 

 

----c--v-

 

= T

-----2--p---

 

.

(4.58)

 

 

∂T 2 v

∂v T

 

 

В заключение сформулируем еще одно важное термодинамическое уравнение, включающее в себя величины ср и сv . Деля уравнение (4.55) на (4.56), полу-

чаем:

----p--

 

c

----p--

 

 

=

----p-

.

(4.59)

∂v

cv

∂v

s

T

 

 

 

 

 

Комбинируя это уравнение с уравнением (4.52), нетрудно получить следующие соотношения:

----v--

 

=

----v--

 

+

-T---

----v--

 

2

(4.60)

∂p

 

∂p

 

c

 

∂T

 

;

s

T

p

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----p--

=

----p--

--T--

----p--

 

2

(4.61)

∂v

∂v

cv

∂v

 

.

s

T

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таковы основные дифференциальные уравнения термодинамики, которые будут необходимы для изложения материала последующих глав.

127