7.7. Адиабатное расширение реального газа в вакуум (процесс Джоуля)

Приравнивая между собой правые части уравнений (7.143) и (7.146), получаем:

		T	∂v			dT *	– v
			--------	-		---------
α *	dT	=	∂T * p dT				,
h	dT *		c	*	dT *
				p	---------dT
откуда после несложных преобразований имеем:
			∂v
			---------
	d ln T =		∂T *		p	dT	* .
				*c *
		v + α
			h		p

(7.147)

(7.148)

Интегрируя это уравнение и потенцируя полученный результат, находим:

T2*

∂v

∫

---------

p

T

= T

exp

∂T *

dT

*

(7.149)

----------------------

.

2

1

v + α *c *

*

h

p

T1

Если известно значение термодинамической температуры Т1 при температуре по практической шкале T1* , то с помощью этого соотношения можно найти значение термодинамической температуры T2, соответствующее любой другой точке практической шкалы.

Если при какой-либо температуре принято, что T1 = T1* (единственная реперная

точка), то уравнение (7.149) позволяет установить значение термодинамической температуры в любой точке шкалы.

7.7. Адиабатное расширение реального газа в вакуум (процесс Джоуля)

Рассмотрим еще один типичный необратимый процесс в реальном газе — адиабатное расширение газа в вакуум без отдачи внешней работы.

Ранее, в § 2.4, мы рассмотрели этот процесс применительно к идеальному газу. Напомним, что экспериментальное изучение процесса адиабатного расширения без отдачи внешней работы газа, близкого к идеальному, позволило ГейЛюссаку, а затем Джоулю установить, что температура идеального газа в результате этого процесса не изменяется; это в свою очередь позволило установить важное свойство идеального газа — независимость внутренней энергии от объема.

Выясним теперь закономерности процесса адиабатного расширения реального газа в вакуум.

Схема осуществления процесса остается прежней: рассматривается сосуд, разделенный выдвигающейся перегородкой на две части — одну, имеющую объем V1 (эта часть сосуда заполнена газом, его температура T1), и другую, име-

ющую объем Vвак (в этой части сосуда создан вакуум) (рис. 7.17, а). Сосуд снаб-

жен идеальной теплоизоляцией, исключающей теплообмен с внешней средой. Перегородка выдвигается, и газ расширяется в объем Vвак; в результате расши-

рения давление газа уменьшается, а его объем становится равным всему объему сосуда: V2 = V1 + Vвак (рис. 7.17, б).

Выясним, как изменяются в результате опыта температура газа и его энтропия. Напомним, что, как показано в § 2.3, в случае, когда давление внутри системы (в данном случае давление газа в объеме V1) не равно давлению окружаю-

щей среды (в данном случае в объеме Vвак ), т.е. когда процесс расширения сис-

247

Г л а в а 7. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

	V1,T1,p1	p = 0
		Vвак

а)

V2,T2,p2

б)

u	v1				u	v1 v	2	v	3
1	T	1	2	T						vn
					2
			v2							u=const
2 ′
				s						s
	в)					г)
Рис. 7.17

темы происходит неравновесно, дифференциал работы расширения следует записывать в виде pcdV, где рс — давление окружающей среды; следовательно,

уравнение первого закона термодинамики (2.40) для случая неравновесного процесса расширения может быть записано в виде

dQ = dU + pc dV.

(7.150)

Применительно к рассматриваемому процессу адиабатного (dQ = 0) расширения реального газа в вакуум (рс = 0 и, следовательно, dL = pcdV = 0 — газ рас-

ширяется, не совершая работы) получаем отсюда:

dU = 0

(7.151)

и, следовательно,

U = const,

т.е. в процессе адиабатного расширения газа в вакуум внутренняя энергия газа остается неизменной (применительно к идеальному газу этот вывод уже был получен ранее, в § 2.4, при рассмотрении опыта Гей-Люссака—Джоуля).

В процессе расширения в вакуум газ вначале приобретает кинетическую энергию за счет убыли внутренней энергии. Затем в результате полного торможения потока газа по окончании его перетекания в ранее вакуумированную часть сосуда внутренняя энергия восстанавливается до начального значения. Этот процесс иллюстрируется рис. 7.17, в, где на участке 1-2′ происходит уменьшение внутренней энергии, в результате которого возникает кинетическая энергия перемещения рабочего тела, а на участке 2′-2 происходит восстановление внутренней энергии в результате процесса торможения. В этом процессе u1 = u2, т.е. внутренняя энергия газа по окончании процесса равна внутренней энергии до начала процесса, хотя в течение самого процесса расширения в соответствии со сказанным выше внутренняя энергия газа вначале уменьшается, а затем возрастает до прежнего значения. В связи с этим очевидна некоторая условность равенства (7.151). Однако если представить себе каскад подобных элементарных процессов, т.е. процессов заполнения рабочим телом большого количества последовательно подключаемых вакуумированных элементарных сосудов, то в пределе процесс будет стремиться к dU = 0 (рис. 7.17, г).

Вновь подчеркнем важное обстоятельство, уже отмечавшееся в предыдущем параграфе. Для того чтобы иметь возможность воспользоваться для расчета изменения температуры и энтропии дифференциальными уравнениями термодинамики, которые, как известно, справедливы только для обратимых процессов, мы должны «подобрать» схему обратимого процесса, переводящего рассматриваемую систему из исходного состояния 1 в конечное состояние 2. Поскольку эти состояния характеризуются одним и тем же значением внутренней энергии газа U, то в качестве такого процесса, переводящего газ из состояния 1 в состояние 2, может быть использован любой обратимый процесс, в котором внутренняя энергия системы остается постоянной. [Понятно, что, поскольку обратимое расширение газа обязательно сопровождается совершением работы,

248

7.7. Адиабатное расширение реального газа в вакуум (процесс Джоуля)

этот обратимый процесс не будет адиабатным — ведь для того чтобы сохранить внутреннюю энергию постоянной, нужно будет подводить к газу теплоту, равную работе расширения газа: из уравнения первого закона термодинамики (2.40)

dQ = dU + pdV

для dU = 0 получаем

dQ = pdV.]

С учетом этого замечания перейдем к вычислению изменения T и s газа в рассматриваемом процессе.

Изменение температуры газа при изменении объема в процессе U = const определяется очевидным соотношением

V2
T2 (U, V2 ) – T1(U, V1 ) = ∫	∂T
	------		dV ,	(7.152)
	∂V
V1		U

или, если перейти к удельным величинам,

	v2
	∫
T2(u, v2 ) – T1(u, v1 ) =
	v1

∂T			v
------		d		.	(7.152а)
∂v
	u

Фигурирующую в этом соотношении частную производную (∂T / ∂v)u можно преобразовать следующим образом:

∂T			∂T		∂u
------		= –	------		-----	.	(7.153)
∂v			∂u		∂v
	u			v		T

С учетом (2.44) и (4.25) получаем отсюда:

			p – T			-----∂p-
∂T						∂T v
			-------------------------------
------		=					.	(7.153а)
∂v				c
	u				v

Подставляя найденное значение (∂T/∂v)u в уравнение (7.152а), получаем:

									v2	p – T -----∂p-
									∫
										cv
T		(u, v		) – T		(u, v		) =		∂T v	(7.154)
	2		2		1		1			------------------------------- dv .
									v1

Это соотношение показывает, что в общем случае температура газа при адиабатном расширении в вакуум уменьшается; поскольку для реального вещества всегда

∂u		= T	∂p		– p > 0	и сv > 0,
------	T		------	v
∂v			∂T

то, следовательно, в рассматриваемом процессе

Т2 < Т1.

Для идеального газа, как показано в § 2.4, адиабатное расширение в вакуум не сопровождается изменением температуры. В самом деле, поскольку для идеального газа в соответствии с уравнением (2.47)

∂u		ид
------		= 0 ,
∂v	T

249

Г л а в а 7. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

то, как видно из (7.153),

∂T		ид
------		= 0 .
∂v	u

Располагая значениями v2 и T2, нетрудно (с помощью диаграмм состояния или таблиц термодинамических свойств) найти давление газа р2 в сосуде после

расширения.

Изменение энтропии газа в рассматриваемом процессе определяется очевидным соотношением

v2

v

v

∂s

v

s

2(u,

2 ) – s1

(u,

1 )

= ∫

------

d

.

(7.155)

∂v

v1

u

С учетом уравнения (4.41)

∂s

p

------

=

----

∂v

T

u

получаем:

v2

∫ T

s

(u, v

) – s

(u,

) =

p

dv .

(7.156)

2

2

1

v

1

-----

v1

Интеграл уравнения (7.156) вычисляется с помощью таблиц термодинамических свойств газов [строится зависимость p ⁄ T = f (v) для u = const, которая затем интегрируется в пределах от v1 до v2].

Поскольку интеграл, стоящий в правой части этого равенства, всегда положителен, то, следовательно, всегда s2 > s1, т.е. энтропия в процессе Джоуля,

являющемся типично необратимым процессом, возрастает.

Для идеального газа, подставляя величину p ⁄ T из уравнения Клапейрона

p	R
-----	= -- ,
T	v
получаем из (7.156):
	v	2
s2(u, v2) – s1(u, v1) = R ln ------			,	(7.157)

v1

отсюда для G кг газа имеем:

V2

S2 – S1 = G R ln ----- .

V1

7.8.Процессы смешения

Вразличных устройствах и аппаратах часто приходится иметь дело со смешением различных газов (жидкостей) или же разных порций одного и того же газа (жидкости) при различных параметрах обоих компонентов. При рассмотрении процессов смешения задача обычно состоит в определении параметров состояния смеси по известным параметрам состояния компонентов, составляющих эту смесь. Решение этой задачи будет различным в зависимости от тех условий, при которых осуществляется этот процесс. Различные способы осуществления процесса смешения рассмотрены ниже.

Мы ограничимся здесь рассмотрением процессов смешения одного и того же газа (жидкости) при различных параметрах смешивающихся порций вещества.

250

7.8. Процессы смешения

Поскольку в настоящей книге мы не касаемся вопросов термодинамики растворов, не будем рассматривать процессы смешения различных газов и жидкостей.

Процесс смешения будем рассматривать происходящим без подвода теплоты к веществам или отвода от них при смешении, т.е. адиабатно. Что же касается смешения при наличии подвода теплоты, то очевидно, что его можно мысленно расчленить на два этапа — смешение без подвода теплоты и затем подвод теплоты к получаемой смеси. Таким образом, неадиабатное смешение может быть сведено к адиабатному с последующим теплообменом.

Процесс смешения в постоянном объеме. Рассмотрим процесс смешения, происходящий в некотором сосуде с постоянным объемом V. Пусть этот сосуд разделен перегородкой на два отсека, в одном из которых находится газ (жидкость) с параметрами p1, v1, T1, u1, в другом — тот же газ (жидкость) с парамет-

рами р2, v2, T2, и2 (рис. 7.18, а). Массу газа в одном отсеке и объем этого отсека обозначим соответственно G1 и V1, а в другом отсеке — G2 и V2. Очевидно, что

если убрать перегородку, разделяющую эти отсеки, то произойдет смешение обеих частей газа. В результате смешения давление, температура и плотность газа по всему объему сосуда выравняются (рис. 7.18, б). Значения параметров состояния газа после смешения обозначим р, v, T, и.

Поскольку, как мы условились, рассматриваем процесс смешения в сосуде, снабженном адиабатной оболочкой, и поскольку объем сосуда постоянен, то очевидно, что в данном случае мы имеем дело с изолированной термодинамической системой, подробно рассмотренной в гл. 5. Напомним, что в такой системе, в соответствии с (5.79)—(5.81)

V = V1 + V2 = const;

U = U1 + U2 = const. Масса газа после смешения

G = G1 + G2.

Из (5.81) и (5.80) следует, что
u1G1 + u2G2 = u(G1 + G2).	(7.158)

Внутренняя энергия газа после смешения определяется следующим образом:

u1G1	+ u2G2	(7.159)
u = -------------------------------- .
G1	+ G2

Далее по аналогии с предыдущим из (5.79) и (5.80) следует:

v1G1 + v2G2

v = --------------------------------- .

G1 + G2

Рассматриваемый процесс смешения является существенно необратимым. В самом деле, для того чтобы вновь разделить газ в сосуде на две части, имеющие существенно различные температуры и давления, надо было бы затратить внешнюю работу, тогда как процесс смешения (выравнивания температур и давлений) идет самопроизвольно. Как и во всяком необратимом процессе, в рассматриваемом процессе смешения энтропия возрастает. Этот вывод очевиден и из иных соображений: поскольку, как показано в гл. 3, любые процессы в изолированной термодинамической системе приводят к увеличению энтропии системы, очевидно, что и в рассматриваемом нами процессе смешения энтропия газа возрастает.

(7.160)

V1 V2

p1, T1, v1, u1 p2, T2, v2, u2

G1 G2

а)

V

p, T, v, u

G

б)

Рис. 7.18

251

Г л а в а 7. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Что касается остальных параметров газа после смешения (р, Т ), то для реальных газов и жидкостей они аналитически в общем виде через значения параметров первой и второй частей рассматриваемой системы (т.е. компонентов смеси) определены быть не могут. Для их определения можно воспользоваться u, v-диа- граммой, на которой нанесены изобары и изотермы, или u, T-диаграммой с нанесенными на ней изохорами и изобарами; определив с помощью соотношений (7.159) и (7.160) u и v газа после смешения, из диаграмм можно найти р, Т, s.

Значения Т и v газа после смешения могут быть непосредственно выражены через известные значения параметров состояния смешиваемых порций газа только для идеального газа.

В этом случае температура газа после смешения Т определяется следующим образом. Для идеального газа, теплоемкость которого постоянна,

u1 = cvT1; u2 = cvT2 и u = cvT

(7.161)

(для идеальных газов, теплоемкость которых меняется с температурой, в этих соотношениях будет фигурировать средняя теплоемкость cсрv )1).

С учетом этого обстоятельства получаем из (7.158):

G1T1	+ G2T2	(7.162)
T = --------------------------------- .
G1	+ G2

Давление газа после смешения р определяется по уравнению Клапейрона

(G1 + G2 )RT	,	(7.163)
p = ---------------------------------

V

где Т — температура газа после смешения, определяемая соотношением (7.162); V — объем сосуда; (G1 + G2) — суммарная масса газа; R — газовая постоянная

смеси, определяемая уравнением (1.59).

Зная Т и р этого идеального газа после смешения, нетрудно определить его энтропию с помощью соотношения (6.105).

Процесс смешения в потоке. Важной разновидностью процессов смешения является смешение в потоке, которое можно представить себе следующим образом (рис. 7.19). По трубопроводу А в камеру смешения поступает газ (жидкость), параметры состояния которого р1, v1, T1, h1, а по трубопроводу В — газ

(жидкость) с параметрами р2, v2, T2, h2. Расход газа через трубопровод А равен G1, через трубопровод В — G2. На входе в камеру смешения эти газовые потоки

дросселируются, с тем чтобы давление в камере смешения р было меньше, чем давления р1 и p2 (если бы р было больше одного из давлений, например p > p1,

то тогда из камеры смешения газ устремился бы в трубопровод А).

A

I

G1

III

p1, v1, T1, h1

C

G

B

II

G2

p, v, T, h

p2, v2, T2, h2

Рис. 7.19

1) В данном случае, как видно из (7.161), внутренняя энергия идеального газа отсчитывается от 0 К. Следует, однако, подчеркнуть, что выбор начала отсчета никак не сказывается на результатах приводимого расчета величины Т.

252

7.8. Процессы смешения

Следует подчеркнуть, что давление p в камере смешения может быть выбрано различным в зависимости от степени раскрытия вентилей на трубопроводах А и В; этим процесс смешения в потоке существенно отличается от рассмотренного выше смешения в объеме, где давление смеси однозначно определяется исходными параметрами смешиваемых порций газа.

Из камеры смешения газ, имеющий параметры р, v, T, отводится по трубопроводу С. Расход газа в трубопроводе С обозначим G. Очевидно, что

G = G1 + G2.

Как и прежде, считаем, что процесс смешения происходит адиабатно — камера смешения снабжена идеальной теплоизоляцией.

Смешение в потоке, естественно, также является необратимым процессом. При этом дополнительная необратимость возникает в том случае, когда скорости потоков первого и второго газов различны. Однако для большинства технически важных процессов скорости газовых потоков достаточно малы, так что кинетической энергией этих потоков можно пренебречь.

Для того чтобы выяснить основные закономерности процесса смешения в потоке, используем тот же способ, что и при анализе процесса дросселирования: мысленно выделим в трубопроводах А, В и С сечения потоков (I, II и III на рис. 7.19).

Поскольку газ в трубопроводах движется, то, естественно, зафиксированные нами сечения (или невесомые поршни) I, II и III перемещаются вдоль труб. Площади сечения трубопроводов A, В и С (т.е. площади сечения поршней I, II и III) обозначим соответственно Σ1, Σ2 и Σ3.

За некоторый промежуток времени поршень I переместится на расстояние l1, поршень II — на расстояние l2, поршень III — на расстояние l3.

Для перемещения поршня I на расстояние l1 должна быть совершена работа

LI = p1l1Σ1.	(7.164)
Обозначим:
V1 = l1Σ1,	(7.165)

при этом V1 — объем газа, вытесненный поршнем I за рассматриваемый промежуток времени. Поскольку

V1 = v1G1,	(7.166)
то
L1 = p1v1G1.	(7.167)

Аналогичным образом можно показать, что работа, совершаемая для перемещения поршня II, равна

LII = p2v2G2	(7.168)
и работа, которую совершает, перемещаясь, поршень III, равна
LIII = pvG.	(7.169)
В общем совершается работа, равная
L = LIII – (LI + LII).
С учетом (7.167), (7.168) и (7.169) получаем:
L = pvG – p1v1G1 – p2v2G2.	(7.170)

Вместе с тем известно, что работа в адиабатном процессе может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии системы:

L = uG – (u1G1 + u2G2).

(7.171)

253

Г л а в а 7. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Приравнивая между собой правые части уравнений (7.170) и (7.171), получаем:

(u + pv)G = (u1 + p1v1)G1 + (u2 + p2v2)G2,	(7.172)
или
hG = h1G1 + h2G2.	(7.173)

Отсюда следует, что энтальпия смеси, полученной в результате смешения в потоке, определяется следующим образом:

h1G1 + h2G2	(7.174)
h = -------------------------------- .

G

Зная энтальпию h и давление p газа после смешения, с помощью диаграмм состояния газа h,T ; h, p; h, s можно найти остальные параметры смеси (Т, v, s и др.).

В случае смешения потоков идеального газа, имеющих различные параметры, величины v и Т могут быть выражены аналитически, через известные значения параметров смешиваемых потоков газа.

Поскольку для идеального газа, теплоемкость которого постоянна,

h1 = cpT1; h2 = cpT2 и h = cpT

(7.175)

(для идеального газа, теплоемкость которого зависит от температуры, в этих

соотношениях будет фигурировать средняя теплоемкость	c	ср ) 1), с учетом
		p
(7.175) получаем из (7.174):
T1G1 + T2G2		(7.176)
T = --------------------------------- .
G

Зная определенную таким образом температуру Т газа и давление p газа в камере смешения, с помощью уравнения Клапейрона нетрудно определить удельный объем газа после смешения:

RT	,	(7.177)
v = ------

p

где R — газовая постоянная смеси, определяемая по уравнению (1.59). Энтропия идеального газа однозначно определяется его температурой и дав-

лением.

Смешение при заполнении объема. Третьей важной разновидностью процессов смешения является так называемое смешение при заполнении объема, когда в сосуд постоянного объема V1, содержащий газ (жид-

p2, v2, T2,

G2, V2

l2

V1

G1, p1, v1, T1

Рис. 7.20

кость) с параметрами p1, v1, T1 (массу газа в сосуде обозначим G1), вводится по трубопроводу некоторое определенное количество того же газа (жидкости) с параметрами p2, v2, T2 (массу газа, вводимого в сосуд, обозначим G2) (рис. 7.20). Понятно, что давление p2 должно быть больше, чем p1.

По-прежнему рассматриваем случай адиабатного смешения. Обозначим сечение трубопровода, по которому к сосуду подводится газ, через Σ, объем, занимаемый G2 кг

газа при давлении p2 и температуре Т2, — через V2, а длину

трубопровода, которую занимает вводимая в сосуд масса газа, — через l2. С помощью рассуждений, аналогичных

изложенным при рассмотрении предыдущего способа сме-

1) Энтальпия здесь отсчитывается от 0 К.

254

7.8. Процессы смешения

шения, получим, что работа, которая должна быть совершена для того, чтобы

ввести в сосуд газ, находящийся в трубопроводе, равна:
LII = Σæl2 p2 = V2 p2 = v2 p2 G2 .	(7.178)

Поскольку объем сосуда постоянен, очевидно, что ни газ в сосуде до смешения, ни газ в сосуде после смешения, давление которого возрастает по сравнению с давлением p1, работы не совершают.

Таким образом, в рассматриваемом процессе смешения совершается лишь

работа, производимая над газом, находящимся в сосуде до смешения:
L = –LII = – p2v2G2 .	(7.179)

Однако, как и во всяком адиабатном процессе, в рассматриваемом процессе работа может быть проведена только за счет уменьшения внутренней энергии

системы:
L = (u1G1 + u2G2) – uG,	(7.180)

где u1, u2 и u — внутренние энергии соответственно газа в сосуде до смешения, газа в трубопроводе и газа после смешения; G — масса смеси; очевидно, что

G = G1 + G2 .
Приравнивая правые части уравнений (7.179) и (7.180), получаем:
uG = u1G1 + (u2 + p2v2)G2,	(7.181)
или
uG = u1G1 + h2G2,	(7.182)
откуда
u1G1 + h2G2	(7.183)
u = -------------------------------- .
G1 + G2
Поскольку известен объем сосуда V1 и масса смеси (G1 + G2), нетрудно опре-
делить удельный объем смеси:
V1	(7.184)
v = -------------------- .
G1 + G2

Зная u и v, с помощью диаграмм состояния можно определить остальные параметры смеси (р, Т, s).

Для идеальных газов методом, аналогичным примененному для других способов смешения, можно получить соотношение для расчета Т и р газа после смешения по известным значениям p1, Т1, p2 и T2.

Поскольку для идеального газа (теплоемкость считаем не зависящей от тем-

пературы)
u1 = cvT1; h2 = cpT2; u = cvT,	(7.185)
получаем из (7.182):
T1G1 + kT2G2	(7.186)
T = ------------------------------------ ,
G1 + G2

где k — показатель изоэнтропы идеального газа, определяемый по уравнению (7.55). Давление газа после смешения p определяем из уравнения Клапейрона:

p = (G		+ G	RT		(7.187)
			) ------ .
	1	2	V	1

Зная Т и p, нетрудно найти энтропию этого идеального газа.

255