Исследование операций и Методы моделирования / Образец решения ДПр
.docЗадание № 4. Задача о замене оборудования.
В начале планового периода продолжительностью в N лет имеется оборудование возраста t. Известны стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется:
1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет;
2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t1 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N1 лет.
Все необходимые числовые данные приведены в таблицах.
Пара- метр |
Возраст оборудования t |
||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
r(t) |
22 |
22 |
21 |
21 |
21 |
20 |
20 |
19 |
19 |
19 |
18 |
u(t) |
12 |
13 |
13 |
14 |
15 |
15 |
16 |
16 |
17 |
18 |
18 |
Решение:
Задача замены оборудования, также как задача распределения капиталовложений, относится к группе задач динамического программирования. Что означает – решение данной задачи также будет состоять из нескольких шагов, в нашем случае их будет 10 (10 лет планового периода), то есть мы получим 10 таблиц.
В данной задаче нам необходимо разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, то есть в начале каждого года планового периода установить – сохранить оборудования в этом году или заменить его новым. При этом:
-
- это множество состояний оборудования перед i-м годом.
-
- множество состояний сразу после выбора управления.
-
- множество состояний i-го года.
-
- множество управлений, которые могут быть приняты в начале i-го года. В нашей задаче могут быть только 2 управления: сохранить или заменить.
В зависимости от выбранного управления по-разному будет вычисляться :
Из данной формулы видно, что в случае замены оборудования каждый раз мы будем получать одно и тоже значение Z. Вычислим его:
.
Также как и в предыдущем задании, мы начинаем решать задачу с последнего шага, то есть с 10 планового года. Следует также учитывать, что во всех состояниях, кроме , 0 быть не может. Представим теперь все таблицы решения данной задачи.
Таблица 4.1 |
||||
1 |
С |
1 |
9 |
9 |
З |
0 |
1 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
8 |
З |
0 |
1 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
7 |
З |
0 |
1 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
6 |
З |
0 |
1 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
5 |
З |
0 |
1 |
- |
|
6 |
С |
6 |
4 |
4 |
З |
0 |
1 |
- |
|
7 |
С |
7 |
3 |
3 |
З |
0 |
1 |
- |
|
8 |
С |
8 |
2 |
2 |
З |
0 |
1 |
- |
|
9 |
С |
9 |
1 |
1 |
З |
0 |
1 |
- |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
8 |
17 |
17 |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
7 |
15 |
15 |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
6 |
13 |
13 |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
5 |
11 |
11 |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
4 |
9 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
10 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
3 |
7 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
10 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
2 |
5 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
10 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
1 |
3 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
10 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
1 |
2 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
10 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
9 |
10 |
10 |
Таблица 4.2
Таблица 4.2
Таблица 4.3 Таблица 4.4
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
15 |
24 |
24 |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
13 |
21 |
21 |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
11 |
18 |
18 |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
10 |
16 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
10 |
15 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
10 |
14 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
10 |
13 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
10 |
12 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
10 |
11 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
17 |
18 |
18 |
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
21 |
30 |
30 |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
18 |
26 |
26 |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
18 |
25 |
25 |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
18 |
24 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
18 |
23 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
18 |
22 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
18 |
21 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
18 |
20 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
18 |
19 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
24 |
25 |
25 |