Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

lections_rows / Lekciq_2_s

.doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
08.01.2014
Размер:
393.73 Кб
Скачать

Лекция 2

Лекция 2 1

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд 1

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами 2

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами 4

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами 5

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд

Определение 1. Числовой ряд вида называется рядом Дирихле с показателем р, . Заметим, что при получаем ряд , который называется гармоническим.

Пример 1. Исследуем ряд Дирихле на сходимость в зависимости от р.

Решение. 1) В случае, если , члены ряда образуют неубывающую последовательность, а сам ряд расходится по необходимому признаку сходимости ().

2) В случае для исследования сходимости ряда используем интегральный признак Коши. Введем функцию , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Коши (теорема 3, лекция 1): при она непрерывна, положительна и монотонно убывает, . Вычислим несобственный интеграл в двух случаях а) , б) , т.е. когда :

а) Если , , то , тогда , следовательно, несобственный интеграл расходится и расходится исходный ряд.

б) Если , , то , тогда , следовательно, несобственный интеграл сходится и сходится исходный ряд.

3) В случае имеем гармонический ряд , для которого также применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим интеграл , следовательно, несобственный интеграл расходится, а значит, гармонический ряд расходится.

Вывод: ряд Дирихле сходится, если , и расходится, если .

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами

Рассмотрим некоторые признаки, устанавливающие сходимость или расходимость рядов с положительными членами путем сравнения их с рядами, сходимость или расходимость которых известна.

Теорема 1 (I признак сравнения рядов с положительными членами). Пусть даны 2 ряда с положительными членами и . Если, начиная с некоторого номера N, для всех выполняется неравенство , тогда 1) из сходимости ряда следует сходимость ряда , 2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа членов (свойство 1, лекция 1) не влияет на сходимость или расходимость ряда, можно считать, не нарушая общности, что условие выполнено для всех . Пусть − частичная сумма ряда , а − частичная сумма ряда . По условию .

1) Если ряд сходится, то последовательность ограничена сверху, а значит, ограничена сверху и последовательность . Следовательно, по теореме 2 (лекция 1) о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с положительными членами ряд сходится, т.к. существует конечный предел последовательности .

2) Если ряд расходится, то последовательность не ограничена, а значит, не ограничена и последовательность . Тогда по теореме 2 (лекция 1) ряд расходится. Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Сравним ряд с гармоническим рядом . При , а т.к. гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится, т.к. знаменатель прогрессии : , т.е. при , значит, ряд сходится по I признаку сравнения.

Теорема 2 (предельный признак сравнения рядов с положительными членами). Пусть даны 2 ряда с положительными членами (*) и (**). Если существует , то эти два ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.

Доказательство. Т.к. по условию и , то согласно свойству предела . По условию , значит, . По определению предела для всех существует окрестность точки С такая, что и существует такое натуральное число , зависящее от , что для всех выполняется неравенство , или .

Пусть ряд сходится, то сходится и ряд (свойство 2, лекция 1), откуда по I признаку сравнения рядов следует сходимость ряда , т.к. .

Если же ряд расходится, то расходится и ряд , а т.к. , то по I признаку сравнения рядов ряд также расходится. Теорема доказана.

Замечание. Если , или , то предельный признак не применим (теорема 2 в этих случаях не верна).

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Рассмотрим ряд . Т.к. , т.е. эти два ряда одновременно сходятся или расходятся (теорема 2). Поскольку − ряд Дирихле с сходится, значит, исходный ряд тоже сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Рассмотрим гармонический ряд , который расходится. Т.к. (), то по теореме 1 ряд расходится.

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами (*), и существует конечный предел , тогда

1) ряд сходится, если , 2) ряд расходится, если , 3) если , то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.

Доказательство. 1) Пусть предел существует и . Рассмотрим число q такое, что . Из определения предела следует, что существует , начиная с которого выполняется неравенство , . Таким образом, , т.е. . Берем n = N, N+1, N+2,…, тогда , , , …, .

Запишем исходный ряд (*) в виде:. Рассмотрим новый ряд (**). (Ряд (**) есть ряд геометрической прогрессии с и , который сходится, а значит, сходится ряд , т.к. и на основании теоремы 1. Ряд получен из исходного отбрасыванием конечного числа членов , тогда ряд сходится (свойство 1, лекция 1).

Таким образом, ряд сходится, если . Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть . Выбираем q такое, что . , из определения предела следует: , , . Таким образом, и при общий член ряда не стремится к 0, т.е. ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда (теорема 1, лекция 1). Вторая часть теоремы доказана.

3) Если , равен единице или не существует, в этом случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим , ; найдем . Составим предел , т.е. по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим ; найдем , тогда , т.е. по признаку Даламбера ряд расходится.

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами

Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами и пусть существует конечный предел , тогда

1) если , ряд сходится, 2) если , ряд расходится, 3) если , то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.

Доказательство. 1) Пусть существует ; т.к. , то . Рассмотрим число q такое, что . Из определения предела следует, что существует , начиная с которого выполняется неравенство , , . Распишем исходный ряд (*). Составим новый ряд      (**). Ряд (**) представляет собой ряд геометрической прогрессии с знаменателем : , т.е. этот ряд сходится, а значит, ряд (*) сходится по I признаку сравнения рядов (теорема 1 данной лекции).

2) Пусть существует . Начиная с некоторого , , т.е. , тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости (теорема 1, лекция 1). 3) Если или не существует, то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим. Теорема доказана.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Составим предел: , т.е. по радикальному признаку Коши ряд сходится.

5

Соседние файлы в папке lections_rows