Лекция №2.

Основные законы распределения непрерывной случайной величины.

1. Равномерное или прямоугольное распределение.

Случайная величина называется равномерно распределённой на интервале [c,d], если функция плотности распределения её на этом интервале постоянна, а вне него равна нулю.

Из условия нормировки имеем: ,в нашем случае за пределами этого интервалаf(x)=0.

Вероятность того что X попадёт в интервал :

Это значит, что каждое своё значение случайная величина принимает с одинаковой вероятностью. На практике такой закон распределения встречается редко.

В реальности же с наибольшей вероятностью случайная величина принимает значения вблизи М[Х] (среднего значения), а по мере удаления от него вероятность принять такое значение уменьшается.

2. Нормальный закон распределения или распределение Гаусса.

Случайная величина распределена по нормальному закону, если функция плотности её распределения имеет вид:

где а,σ – параметры распределения.

a-3σ a-2σ a-σ a a+σ a+2σ a+3σ

Кривая симметрична относительно прямой х=а, в этой точкеf(x) имеет максимум: .По условию нормировки площадь под кривой не меняется, но с изменением параметраа, кривая смещается по оси х:

a₁=2

a₂=1

a₃=0

С изменением параметра σ меняется форма кривой, но не площадь под ней:

Для распределения Гаусса (нормального распределения):

То есть, параметр -математическое ожидание,

параметр – среднее квадратическое отклонение.

Нормальный закон распределения можно задать функцией распределения:

Введём замену переменной:

это нормированная случайная величина, она – безразмерная,

Так как 99,7% всех значений случайной величины Х отличаются от М[Х] не больше, чем на 3·σ[Х], следовательно для любого значения x получим:

с вероятностью Р=0,997.

Ф(t) – функция Гаусса или нормальная функция распределения,

Значения функции Ф(t) для содержатся в таблице «Нормальная функция распределения».

Свойства функции Ф(t):

Вероятность попадания значений случайной величины в интервал [a.b]:

Правило трёх сигм:

Математическая статистика.

Основные понятия математической статистики.

Математическая статистика – это раздел математики о методах регистрации, систематизации и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений.

Статистическая совокупность – это множество объектов, обладающих общими признаками, которые являются наиболее важными (типичными) для характеристики этих объектов.

Серия измерений какого либо признака совокупности – это совокупность значений случайной величины.

Объём совокупности n –это число членов совокупности.

Генеральная совокупность – это совокупность всех объектов, которые имеют типичную характеристику или признак. Это все возможные значения случайной величины. Объём генеральной совокупности (n →∞).

Изучить всю генеральную совокупность практически невозможно, поэтому изучают её часть – выборочную совокупность.

Выборочная совокупность (выборка) – это отобранная тем или иным способом часть генеральной совокупности (n конечно).

Из одной генеральной совокупности можно отбирать сколь угодно много выборок, главное, чтобы выборка была репрезентативной (представительной), а для этого элементы выборки должны отбираться случайным образом.

Пример: признак - рост мужчины в России.

Генеральная совокупность -- все мужчины в стране.

Выборка -- случайно отобранные мужчины из разных регионов страны (не в секции баскетбола).

Варианта – это числовое значение изучаемого признака( отдельные значения случайной величины).

Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой:

1. Определение закона распределения случайной величины по имеющимся статистическим данным ( по выборке – закон распределения для всей генеральной совокупности).

2. Определение неизвестных параметров распределения ( по выборке оценить параметры генеральной совокупности).

3. Задача проверки правдоподобия выдвигаемых статистических гипотез.