Лекция №1

Основы теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности в массовых случайных событиях.

Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате проведения опыта или испытания.

Выделяют три вида событий:

а) достоверные

б) невозможные

с) случайные

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт в результате данного опыта.( например: при бросании кубика выпадет 1≤целое число≤6).

Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в условиях данного опыта. .( например: при бросании кубика выпадет число≥7, например 10).

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. ( например: бросили кубик один раз – выпадение числа 3 – случайное событие).

События обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,.

События называются массовыми, если они происходят одновременно в достаточно большом числе испытаний или многократно повторяются .( например: много людей бросают кубики или один человек бросает кубик много раз).

1. Классификация случайных событий.

Равновозможные события – это события такие, что ни одно из них не является более возможным, чем другие ( например: кубику всё равно на какую грань упасть).

Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате данного опыта. ( например: бросаем 2 кубика - выпадение числа 1 и выпадение числа 3 – совместные события).

Несовместные события – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных.( например: бросаем 1 кубик – выпадение цифры 3 исключает выпадение остальных цифр).

Несколько случайных событий: образуютполную группу событий, если каждое из них может произойти в результате данного опыта. ( например: выпадение чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий для бросания одного кубика).

Противоположные события – это равновозможные несовместные события, образующие полную группу событий. Появление события исключает появление события. ( например: орёл или решка, попадание в мишень или промах).

Несмотря на то, что события случайные, при большом числе опытов они подчиняются закономерностям, которые изучает теория вероятностей.

2 Вероятность случайного события.

Вероятность случайного события (обозначается Р(А)) –это число, которое говорит нам о степени возможности наступления события .

Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события – это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию (m), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (n).

Если А – случайное событие, то

Если А – достоверное событие, то

Если А – невозможное событие, то

Пример: при бросании кубика возможно 6 исходов

Событие А: выпадет четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3.

Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.

Недостатки: 1) не всегда известно число исходов опыта,

2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.

Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности.

Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m- частота наступления события А, а величина называетсяотносительной частотой события А.

Для разных n , могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е. , ток некоторому пределу.

Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота , при неограниченном увеличении числа испытаний.

Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков. , тем не менее, известно, что

Так как вероятность – это число следовательно, с этими числами можно производить арифметические действия.