Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Совместное изменение двух переменных, из которых одна зависит от другой, при этом значение независимой переменной полностью определяет значение зависимой переменной, является идеальным случаем. В науке и на практике обычно оказывается, что независимых переменных бывает несколько, и для определения значения функции необходимо предварительно установить значения, совместно принимаемые всеми этими независимыми переменными.
Так,
например, изучая физико-химическое
состояние какой-либо системы, часто
приходится наблюдать изменение ее
свойств от точки к точке, таких как
температура, давление, концентрация,
плотность и т.п. Все эти величины зависят
от координат точки
.
Если физико-химическое состояние системы
меняется во времени, то к этим независимым
переменным добавляется еще и время
.
В этом случае приходится исследовать
функцию от четырех переменных. На
практике количество независимых
переменных обычно ограничивается
целесообразной степенью точности
используемой модели.
§ 1. Понятие функции двух переменных.
Говоря
об изменении двух независимых переменных
и
,
следует указывать, какие пары значений
они могут принимать совместно. Множество
этих
пар называется областью изменения
переменных
илиобластью
определения функции.
Переменная
(с областью изменения
)
называетсяфункцией
независимых переменных
на множестве
,
если каждой паре
из области
ставится в соответствие одно определенное
значение
из множества
.
Обозначается как
.
Пример
1. Найти и изобразить
область определения функции.
Решение. Данная функция определена, если
Следовательно, областью определения функции является пересечение множеств на плоскости:
Изобразим область определения на рисунке
Примеры для самостоятельной работы:
Найти и изобразить на плоскости область определения функции.
,
,
Найти линии уровня функции.
,
,
,
.
Вычислить предел функции.
,
,
,
,
,
.
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции двухпеременных.
Частной
производной
по переменной
функции
в точке
называется конечный предел отношения
частного приращения
к
приращению
при стремлении
к
нулю, если этот предел существует.
(1)
Аналогично
определяется частная производная по
(2)
Частные
производные от функции
и
называютсячастными
производными второго порядка
для функции
.
Обозначаются:
,
,
,
(3)
Если
и
определены в некоторой окрестности
точки
и непрерывны в точке
,
тогда
=
.
(4)
Полным
дифференциалом
функции
в точке
,
называется выражение вида:
(5)
Дифференциалом
второго
порядка
называется полный дифференциал от ее
дифференциала первого порядка,
вычисленный в точке
(6)
Пример 2. Дана
функция
.
Найти: 1) частные производные первого
и второго порядка:
,
2) полные дифференциалы первого порядка
и
второго порядка
;
Решение: Задачу можно решить двумя способами:
способ. Непосредственно найти
и
и воспользоваться следующими
соотношениями для дважды дифференцируемых
функций:
Таким образом,
то есть
.
Далее,
То есть
2 способ.
Найдём
частные производные и воспользуемся
соотношениями (1),(2) и (3). Имеем, считая
постоянной:
Аналогично, считая
постоянной
,
Отметим,
что в силу теоремы о равенстве смешанных
производных у дважды дифференцируемых
функций достаточно было бы найти или
или
Получаем:
Примеры для самостоятельной работы:
Дана
функция
.
Найти: 1) частные производные первого
и второго порядка:
2)
полные дифференциалы первого порядка
и
второго порядка
.
,
§
3. Использование дифференциала в
приближенных вычислениях.
Пусть дана функция
и точки
и
,
можно найти приближённое значение
данной функции в точке
,
исходя из её точного значения, в точке
заменяя приращение
дифференциалом
:
(7)
Пример 3.
Дана
функция
точки
Найти приближённое значение данной
функции в точке
исходя из её точного значения в
Решение:
Применим приближённую формулу, в
предположении, что
достаточно мало
.
В
нашем случае
где
Тогда
а
Следовательно,
Примеры для самостоятельной работы:
Дана
функция
и точки
и
.
Найти приближённое значение данной
функции в точке
Ответы: 3.1
;
3.2
;
3.3
;
3.4
;
3.5
;
3.6
;
3.7
;3.8