1.Математическая логика - является наукой о законах математического мышления. Предметом математической логики являются математические теории в целом, которые изучаются с помощью математических языков. При этом в первую очередь интересуются вопросами непротиворечивости математических теорий, их развязности и полноты. Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию.
3. Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.
Виды множеств: пустое, конечное, бесконечное, упорядоченное
Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является частью любого множества.
Пример:
Множество
всех действительных корней уравнения 
пусто.
Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов. Основной характеристикой конечного множества является число его элементов.
Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.
Пример: Множество всех студентов факультета математики и информатики.
Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.
Пример: Множество натуральных чисел является бесконечным.
Упорядоченное множество - Множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (немер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.
Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затемпоставить в соответствие каждому элементу номер места, нк котором он стоит в списке. Возможны различные способы задания множеств.Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в это множество.
Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в классном журнале, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.
4. Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Пример: Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B: А = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C: C = {1, 2, 3, 6}.
Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так: А ∩ B = C.
А ∩ B={1, 2, 3, 6}.
Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустоемножество. Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:
X ∩ Y = Ø.
Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.
Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:
D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}.
Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:
D = A U B.
A U B={1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}.
5.Декартовым произведением множеств A и B называется такое результирующее множество пар вида (x,y), построенных таким образом, что первый элемент из множества A, а второй элемент пары — из множества B. Общепринятое обозначение:
A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}
Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:
A×B×C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}
Примеры
1.Положим A={1,2},B={3,4}. Тогда результат декартова произведения можно записать так: A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, а B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
2.Если в предыдущем примере положить B=A, очевидно, что A×B=B×A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
3.Возьмём A={x∈R|0≤x≤5},B={x∈R|5≤x≤10}. Тогда A×B={(x,y)∈R^2|0≤x≤5∧5≤x≤10}
6. Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A\B и читают "разность A и B".
Пример
1. Пусть A есть
отрезок [1, 3], B -
отрезок [2, 4]; тогда объединением 
будет
отрезок [1, 4], пересечением 
-
отрезок [2, 3], разностью A\B-
полуинтервал [1, 2), B\A -
полуинтервал (3, 4].
Пример
2. Пусть A есть
множество прямоугольников, B -
множество всех ромбов на плоскости.
Тогда 
есть
множество всех квадратов, A\B -
множество прямоугольников с неравными
сторонами, B\A -
множество всех ромбов с неравными
углами.
7.
Пересечение
множеств является бинарной операцией на
произвольном булеане 
;
Операция пересечения множеств коммутативна:
Операция пересечения множеств транзитивна:
Универсальное множество
являетсянейтральным
элементом операции
пересечения множеств:
Таким образом булеан вместе с операцией пересечения множеств является абелевой группой;
Операция пересечения множеств идемпотентна:
Если
—пустое
множество,
то
8.Объединение
множеств является бинарной
операцией на
произвольном булеане 
Операция объединения множеств коммутативна:
Операция объединения множеств транзитивна:
Пустое множество
являетсянейтральным
элементом операции
объединения множеств:
Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
Операция пересечения множеств идемпотентна:
9. Виды отношений
1.Бинарное
отношение (двучленное
отношение).
Бина́рное
отноше́ние в
математике — двухместное отношение между
любыми двумя множествами 
и 
,
то есть всякое подмножество декартова
произведения этих
множеств: 
[1].
Бинарное отношение на множестве 
—
любое подмножество 
,
такие бинарные отношения наиболее часто
используются в математике, в частности,
таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение
порядка.
2. Тернарное отношение — то же, что трёхместное отношение (трёхчленное отношение).
3.Кватернарное отношение — то же, что четырёхместное отношение (четырёхчленное отношение)
10.
Рефлексивное отношение в
математике — бинарное
отношение 
на множестве 
,
при котором всякий элемент этого
множества находится в отношении 
с
самим собой.
Формально,
отношение 
рефлексивно,
если 
.
Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент х имеет петлю — дугу (х, х).
Бинарное
отношение 
на
множестве 
является
рефлексивным тогда и только тогда, когда
его подмножеством является тождественное
отношение 
на
множестве 
(
),
то есть 
.
Если
это условие не выполнено ни для какого
элемента множества 
,
то отношение 
называется антирефлексивным (или иррефлексивным).
Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).
Формально
антирефлексивность отношения 
определяется
как: 
.
Если
условие рефлексивности выполнено не
для всех элементов множества 
,
говорят, что отношение 
нерефлексивно.
Примеры рефлексивных отношений
отношения эквивалентности:
отношение равенства
отношение сравнимости по модулю
отношение параллельности прямых и плоскостей
отношение подобия геометрических фигур;
отношения нестрогого порядка:
отношение нестрогого неравенства
отношение нестрогого подмножества
отношение делимости
Примеры антирефлексивных отношений
отношение неравенства
отношения строгого порядка:
отношение строгого неравенства
отношение строгого подмножества
отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве.
11. Транзитивное отношение в математике - это такое отношение, при котором если один элемент соотносится с вторым, а второй с третьим, то и первый элемент соотносится с третьим.
В
математике бинарное
отношение 
на множестве 
называется
транзитивным, если для любых трёх элементов
множества 
выполнение
отношений 
и 
влечёт
выполнение отношения 
.
Формально, отношение 
транзитивно,
если 
.
Свойства
Если бинарное отношение
транзитивно,
то его обратное 
также
транзитивно.Пересечение двух транзитивных отношений также транзитивно. Это, вообще говоря, неверно дляобъединения.
Примеры
Равенство:
и 
,
значит 
(на
самом деле, отношение равенства вместе
с отношением эквивалентности и
параллельности прямых обладает более
сильным свойством также ещё и «равенства
третьему» по причине своей симметричности)Отношение порядка:
и 
,
значит 
или нестрогого
порядка: 
и 
,
значит 
Параллельность прямых:
и 
,
значит 
(см.
примечание к «равенству чисел»)Импликация:
и 
,
значит 
Эквивалентность:
и 
,
значит 
(см.
примечание к «равенству чисел»)Включение подмножества: если b является подмножеством a, и в свою очередь c является подмножеством b, тогда c является подмножеством a
Делимость: если a делится на b, и b делится на c, тогда a делится на c.
Отношение следования вершин ориентированного графа: если вершина
достижима из
вершины 
,
а вершина 
,
в свою очередь, — из 
,
то 
достижима
из 
.
12.
Отношение эквивалентности (
)
намножестве
—
этобинарное
отношение, для которого выполнены
следующие условия:
1.Рефлексивность: 
для
любого
в
,
2.Симметричность:
если 
,
то
,
3.Транзитивность:
если 
и
,
то
.
Запись
вида «
»
читается как «
эквивалентно
».