01. Определители 2-го и 3-го порядков
.pdfПравило треугольников
s |
|
|
s |
|
|
s |
Со знаком плюс |
||||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
s |
||
s |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
@ |
|
|||
|
|
|
@ |
|
||
|
@ |
|
||||
@ |
|
@ |
|
|||
s @s |
@s |
|||||
|
|
|
|
|
|
@ @
s |
|
Hs |
s |
Со знаком минус |
|||
H |
|
|
|
A H A |
|||
|
A HA |
||
|
|
|
H |
A A H |
|||
H |
|
A s |
|
s |
|
HAHs |
|
s |
A H A |
||
As HHAs |
Рис. 1. Графическая иллюстрация правила треугольников
Мы видим, что справедливо следующее
Правило треугольников
Со знаком плюс берется произведение элементов, образующих главную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком минус произведение элементов, образующих побочную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Определители третьего порядка и системы линейных уравнений
Определители третьего порядка можно применять для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными подобно тому, как определители второго порядка применяются для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
8
< a11x1 a21x1 : a31x1
+a12x2
+a22x2
+a32x2
Введем следующие обозначения:
+a13x3
+a23x3
+a33x3
= b1;
= b2; (3)
= b3:
a11 a12 a13
|
|
a22 |
a23 |
|
|
= |
a21 |
|
; |
||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 a12 a13
|
|
a22 |
a23 |
|
|
= |
b2 |
|
; |
||
1 |
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 a12 b1
|
|
|
|
a22 |
b2 |
|
|
|
3 |
= |
a21 |
|
: |
||
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 b1 a13
|
|
|
|
b2 |
a23 |
|
|
|
2 |
= |
a21 |
|
; |
||
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Теорема Крамера для систем третьего порядка
Определение
Матрица A = (aij ), составленная из коэффициентов системы (3), называется основной матрицей этой системы. Определитель этой матрицы (т. е. определитель ) называется определителем системы (3).
Заметим, что
определитель i (при i = 1; 2; 3) получается из определителя заменой i-го столбца основной матрицы на столбец свободных членов.
Справедливо следующее утверждение, которое аналогично доказанной выше теореме 1.
Теорема 2 (теорема Крамера для систем третьего порядка)
Если 6= 0, то система (3) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 .
Мы не будем доказывать эту теорему, поскольку она, как и теорема 1, является частным случаем теоремы Крамера, которая доказывается в курсе алгебры.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Разложение определителя третьего порядка по строке или столбцу (1)
Определение
Пусть A = (aij ) квадратная матрица третьего порядка и 1 6 i; j 6 3. Обозначим через Mij определитель квадратной матрицы второго порядка, получающейся при вычеркивании из матрицы A i-й строки и j-го столбца, и положим Aij = ( 1)i+j Mij . Число Aij называется алгебраическим дополнением элемента aij .
Справедлив следующий факт, который сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.
Разложение определителя третьего порядка по строке или столбцу
Определитель квадратной матрицы третьего порядка равен сумме произведений элементов произвольной ее строки [произвольного ее столбца] на их алгебраические дополнения.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Разложение определителя третьего порядка по строке или столбцу (2)
В частности,
jAj = a11A11 + a12A12 + a13A13:
Это равенство называется разложением определителя третьего порядка по первой строке. Докажем его. Отталкиваясь от определения определителя третьего порядка, имеем
jAj = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 =
=a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31) =
=a11M11 a12M12 + a13M13 = a11A11 + a12A12 + a13A13;
что и требовалось доказать.
Формулы разложения определителя третьего порядка по двум другим строкам и по всем столбцам записываются и доказываются аналогично. В качестве примера, напишем формулу разложения определителя третьего порядка по второму столбцу:
jAj = a12A12 + a22A22 + a32A32:
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Транспонирование матрицы
Введем одно важное для дальнейшего понятие.
Определение
Пусть A = (aij ) матрица размеров m n. Матрицей, транспонированной к A, называется матрица B = (bij ) размеров n m, определяемая равенством bij = aji для всех i = 1; 2; : : : ; n и j = 1; 2; : : : ; m. Иными словами, матрица B получается из A заменой строк на столбцы: первая строка матрицы A становится первым стобцом матрицы B, вторая строка матрицы A вторым стобцом матрицы B и т. д. Матрица, транспонированная к A обозначается через A>.
Например,
2 3 1 1 > = |
0 3 |
5 1 |
: |
|||
0 5 2 4 |
B |
2 |
0 |
|
|
|
1 |
2C |
|
||||
|
B |
|
1 4 |
C |
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
Очевидно, что
матрица, транспонированная к квадратной, является квадратной матрицей того же порядка, что и исходная матрица.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Свойства определителей
Укажем ряд свойств определителей второго и третьего порядков.
Свойства определителей второго и третьего порядков
Пусть A квадратная матрица второго или третьего порядка.
1)Если все элементы некоторой строки [некоторого столбца] матрицы A умножить на одно и то же число, то ее определитель умножится на то же самое число.
2)Если матрица A содержит нулевую строку [нулевой столбец], то ее определитель равен нулю.
3)Если две строки [два столбца] матрицы A поменять местами, то ее определитель умножится на 1.
4)Если матрица A содержит две одинаковые строки [два одинаковых столбца], то ее определитель равен нулю.
5)Если к некоторой строке [некоторому столбцу] матрицы A прибавить другую ее строку, умноженную на некоторое число [другой ее столбец, умноженный на некоторое число], то ее определитель не изменится.
6)При транспонировании матрицы ее определитель не меняется (иными словами, jA>j = jAj).
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Доказательство свойств 1) и 2)
Доказательство. Если A квадратная матрица второго порядка, то все свойства проверяются прямыми и несложными вычислениями, основанными на определении определителя второго порядка. Поэтому далее будем считать, что A = (aij ) квадратная матрица третьего порядка.
1) Для определенности будем считать, что речь идет о первой строке матрицы (во всех остальных случаях доказательство абсолютно аналогично). Обозначим через A0 = (aij0 ) матрицу, полученную после умножения первой строки матрицы A на ненулевое число t. Алгебраическое дополнение элемента aij0 будем обозначать через A0ij . Поскольку вторые и третьи строки в матрицах A и A0 совпадают, имеем A01j = A1j для j = 1; 2; 3. Раскладывая определитель матрицы A0 по первой строке, имеем:
jA0j = ta11A11 + ta12A12 + ta13A13 = t(a11A11 + a12A12 + a13A13) = t jAj;
что и требовалось доказать.
2) Разлагая определитель матрицы A по нулевой строке (или нулевому столбцу), с очевидностью получаем, что jAj = 0.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Доказательство свойств 3) и 4)
3) Для определенности будем считать, что мы переставили местами первые две строки матрицы A (во всех остальных случаях доказательство абсолютно аналогично). Раскладывая определитель полученной матрицы по второй строке, имеем:
a21 a22 a23 |
= a11 |
|
a32 |
a33 |
+ a12 |
|
a31 |
a33 |
a13 |
|
a31 |
a32 |
= |
|||||
a11 a12 a13 |
||||||||||||||||||
a31 a32 a33 |
|
|
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(a11M11 a12M12 + a13M13) =
=(a11A11 + a12A12 + a13A13) = jAj;
что и требовалось доказать.
4) Это свойство легко вытекает из предыдущего. В самом деле, если поменять местами две одинаковых строки (два одинаковых столбца), то определитель матрицы, с одной стороны, не изменится (так как матрица останется той же самой), а с другой умножится на 1 (по предыдущему свойству). Но единственное число, которое при умноженнии на 1 не меняется, это число 0.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Доказательство свойств 5) и 6)
5) Для определенности будем считать, что к первой строке матрицы A прибавляется ее вторая строка (во всех остальных случаях доказательство абсолютно аналогично). Обозначим через A0 = (aij0 ) матрицу, полученную в результате указанного действия. Как и в доказательстве свойства 1), имеем A01j = A1j для j = 1; 2; 3. Раскладывая определитель матрицы A0 по первой строке и используя свойство 4), имеем:
jA0j = (a11 + ta21)A11 + (a12 + ta22)A12 + (a13 + ta23)A13 =
= a11A11 + a12A12 + a13A13 + t(a21A21 + a22A12 + a23A13) =
a21 a22 a23
j |
j |
|
|
a32 |
a33 |
|
j j |
|
|
j j |
+ t |
a31 |
|
0 |
|||||||
= |
A |
a21 |
a22 |
a23 |
|
= A + t |
|
= A ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
6) Вычисляя определитель матрицы A> по определению, имеем:
jA>j = |
a11 |
a21 |
a31 |
|
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 |
|
||||||
a12 |
a22 |
a32 |
|
|||||||||
|
a13 |
a23 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31a22a13 |
|
a21a12a33 |
|
a11a32a23 |
= A |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
что и требовалось доказать.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |