Разное4 / sopr_lab_3sem_doc / sopr_lab_doc_4
.doc
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева
Кафедра прикладной механики
Отчёт о лабораторной работе № 4 «Устойчивость стержня»
Отчёт выполнил: Голубенко Иван Сергеевич, гр. ВК-24
Отчёт проверил: Антонов Сергей Игоревич
1. Цель работы
Показать на примере продольного сжатия стержня явление нарушения нормальной работы деталей машин и конструкций – потерю устойчивости первоначальной формы равновесия.
2. Схема и условие
Это балка с 4-мя примерами опор. От вида и расположения опор зависит коэффициент μ, влияющий на критическую силу, после которой материал теряет устойчивость.
Дано:
L = 500 мм
b = 2 мм
h = 35 мм
Определить экспериментально:
-Силу, при которой изгиб резко возрастает
Определить по расчёту:
-Критическую силу
-Ошибку опытного определения критической силы в %
3. Расчётное определение Fкр
Прогиб стержня определяется по дифференциальному уравнению:
EIminx’’ = M
M = -Fкрx
EIminx’’ = -Fкрx
Обозначим α2 = Fкр/EImin
Тогда x’’ + α2x = 0 – дифф. уравнение 2-го порядка. Решение:
x = Ccos(αz) + Dsin(αz), константа С определяются по условиям x = 0 на концах стержня. В результате C = 0
Соответственно, x = Dsin(αz). От другого конца стержня получим
Dsin(αl) = 0, т.е. либо D = 0 либо sin(αl) = 0. Первое исключено из соображений существования прогиба.
sin(αl) = 0, это выполняется, когда Fкр = π2EIminn2/L2, где n = 0, 1, 2, 3, …
Отсюда следует, что существует бесконечное количество пределов падения устойчивости, и при каждом переходе через новый предел в степени прогиба происходит резкий скачок, т.е. вообще говоря, прогиб стержня от сжатия квантуется. Чаще всего нас интересуются случай n = 1 (При n=0 прогиб почти не образуется). Поэтому:
Fкр = π2EImin/L2. Для других видов закрепления вводится поправочный коэффициент:
Fкр = π2EImin/(μL)2 – формула Эйлера
Формулу Эйлера возможно использовать только тогда, когда материал подчиняется закону Гука. Вычислим критическое напряжение:
σкр = Fкр/A = π2EImin/(A(μL)2)
imin = (Imin/A)0,5 – наименьший радиус инерции стержня
Величина λ называется гибкостью. λ = μL/imin
И тогда σкр = π2E/λъ
Из условия σпр > σкр, где σпр – предел пропорциональности материала стержня вытекает, что для использования формулы Эйлера необходимо следующее условие:
λ > (π2E/σпр)0,5
Imin = bh3/12
4. Таблица данных
№ примера |
Fкрэксп, Н |
Fкртеор, Н |
ΔFкр, % |
λ |
Применение ф-лы Эйлера |
1 |
215 |
193 |
10,23 |
866 |
+ |
2 |
430 |
394 |
8,34 |
606 |
+ |
3 |
845 |
772 |
11,77 |
433 |
+ |
4 |
1050 |
772 |
26,48 |
433 |
+ |
*Вид опор см. из условия по номеру примера