Диф.ур-м с запазд.аргументом

ВВЕДЕНИЕ

Министерство образования Российской Федерации

Международный образовательный консорциум «Открытое образование»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

АНО «Евразийский открытый институт»

Э.А.Геворкян

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины

Сборник задач по дисциплине Учебная программа по дисциплине

Москва 2004

Геворкян Э.А. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ: Учебное пособие, руководство по изучению дисциплины, сборник задач по дисциплине, учебная программа по дисциплине / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики – М.: 2004. – 79 с.

Геворкян Э.А., 2004

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2004

2

Содержание
Учебное пособие
Введение.................................................................................................................................	6
ГЛАВА I. Метод шагов решения дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................	7
1.1 Классификация дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи................................................	7
1.2 Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов. ........	9
1.3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и с запаздывающим аргументом.......................................................................	12
1.4 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом................	13
1.5 Дифференциальные уравнения Бернулли с запаздывающим аргументом. ...............	14
1.6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
с запаздывающим аргументом..................................................................................................	15
ГЛАВА II. Периодические решения линейных дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................	18
2.1. Периодические решения линейных однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом......................................	18
2.2. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом...................	20
2.3. Комплексная форма ряда Фурье....................................................................................	23
2.4. Отыскание частного периодического решения линейных неоднородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздывающим
аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье...........................................	25
ГЛАВА III. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................	27
3.1. Приближенный метод разложения неизвестной функции
с запаздывающим аргументом по степеням запаздывания....................................................	27
3.2. Приближенный метод Пуанкаре. ..................................................................................	28
ГЛАВА IV. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом,
появляющемся при решении некоторых экономических задач
с учетом временного лага ...............................................................................................................	30

4.1.Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

сзапаздывающим аргументом, описывающего изменение

запаса наличного капитала........................................................................................................	30
4.2. Характеристическое уравнение. Случай вещественных
корней характеристического уравнения...................................................................................	33
4.3. Случай комплексных корней характеристического уравнения.................................	35
4.4. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом,
описывающего динамику национального дохода в моделях с лагами
(потребление пропорционально национальному доходу)......................................................	37
4.5. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом,
описывающего динамику национального дохода в моделях с лагами
(потребление экспоненциально растет с темпом прироста)...................................................	39
Литература..............................................................................................................................	41
3

Руководство по изучению дисциплины
1. Сведения об авторах..........................................................................................................	44
2. Перечень основных тем.....................................................................................................	45
2.1. Тема 1. Основные понятия и определения. Классификация
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. ...........................................	45
2.2. Тема 2. Постановка начальной задачи. Метод шагов решения
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Примеры...........................	46
2.3. Тема 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и с запаздывающим аргументов. Примеры. ....................................................	47
2.4. Тема 4. Линейные дифференциальные уравнения
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................	49
2.5. Тема 5. Дифференциальные уравнения Бернулли
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................	50
2.6. Тема 6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
с запаздывающим аргументом. Необходимые и достаточные условия. Примеры..............	51
2.7. Тема 7. Периодические решения линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом.
Примеры. .....................................................................................................................................	52
2.8. Тема 8. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом.
Примеры. .....................................................................................................................................	54
2.9. Тема 9. Комплексная форма ряда Фурье. Отыскание частного периодического
решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с
запаздывающим аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье.
Примеры. .....................................................................................................................................	55
2.10. Тема 10. Приближенное решение дифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом методом разложения функции от запаздывания
по степеням запаздывания. Примеры.......................................................................................	56
2.11. Тема 11. Приближенный метод Пуанкаре нахождения периодического
решения квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром и
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................	57

2.12.Тема 12. Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

сзапаздывающим аргументом для функции К(t), показывающей запас наличного

основного капитала в момент t..................................................................................................	58
2.13. Тема 13. Анализ характеристического уравнения, отвечающего
дифференциальному уравнению для функции K(t). ...............................................................	59
2.14. Тема 14. Случай комплексных решений характеристического уравнения
( ρ =α ±ιω )..................................................................................................................................	60
2.15. Тема 15. Дифференциальное уравнение для функции у(t), показывающего
национальный доход в моделях с лагами капитальных вложений при условии, что
функция потребления имеет вид c(t -τ ) = (1 - α ) у (t -τ ), где α - постоянная норма
производственного накопления ................................................................................................	62
2.16. Тема 16. Дифференциальное уравнение для функции y(t), показывающего
национальный доход в моделях с лагами капитальных вложений при условии, что
функция потребителя имеет вид c(t −τ)= c(o)er (t −τ ) ...............................................................	63
Сборник задач по дисциплине...........................................................................................	65
Учебная программа по дисциплине.................................................................................	77
4

Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

Введение

Настоящее учебное пособие посвящено изложению методов интегрирования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, встречающихся в некоторых технических и экономических задачах.

Вышеуказанными уравнениями обычно описываются любые процессы с последействием (процессы с запаздыванием, с временной задержкой). Например, когда в исследуемом процессе значение интересующей нас величины в момент времени t зависит от величины x в момент времени t-τ, где τ – временной лаг (y(t)=f[x(t-τ)]). Или, когда значение величины y в момент времени t зависит от значения этой же величины в момент вре-

мени t-τ (y(t)=f[y(t-τ)]).

Процессы, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом встречаются и в естественных, и в экономических науках. В последних это связано как с существованием временного лага в большинстве связях цикла общественного производства, так и с наличием инвестиционных лагов (период от начала проектирования объектов до ввода в действие на полную мощность), демографических лагов (период от рождения до вступления в трудоспособный возраст и начала трудовой деятельности после получения образования).

Учет временного лага при решении технических и экономических задач имеет важное значение, так как наличие лага может существенно повлиять на характер получаемых решений (например, при определенных условиях может привести к неустойчивости решений).

6

I.МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

ГЛАВА I. Метод шагов решения дифференциальных уравнений

сзапаздывающим аргументом

1.1.Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи

Определение 1. Дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция X(t) входит при различных значениях аргумента.

Примеры:

.

X(t) = f {t, x(t), x[t - τ(t)]},

.
X(t) = f [t, x(t), x(t - τ1 ), x(t −τ2 )],
..		.		.
X(t) = f t, x(t), x(t), x[t -τ(t)], x[t −τ
..		.	.
X(t) = f t, x(t), x(t), x(t/2), x(t/2) .

		(1)
		(2)
(t)]	,	(3)
		(4)

Определение 2. Дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом называется дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в котором производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не меньше, чем все аргументы неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.

Заметим, что согласно определению 2, уравнения (1) и (3) при условиях τ(t) ≥ 0 , t −τ(t) ≥ 0 будут уравнениями с запаздывающим аргументом, уравнение (2) будет уравне-

нием с запаздывающим аргументом, если τ1 ≥ 0 , τ2 ≥ 0 , t ≥τ1 , t ≥τ2 , уравнение (4) есть уравнение с запаздывающим аргументом, так как t ≥ 0 .

Определение 3. Дифференциальным уравнением с опережающим аргументом называется дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в котором производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не больше остальных аргументов неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.

Примеры дифференциальных уравнений с опережающим аргументом:

.

X (t) =

.

X (t) =

..

X (t) =

f {t, x(t), x[t +τ(t)]},

f [t, x(t), x(t +τ1 ), x(t +τ2 )],

ft, x(t), x. (t), x[t +τ(t)], x. [t +τ

	(5)
	(6)
(t)] .	(7)

7

I.МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Определение 4. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, не являющиеся уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом называются дифференциальными уравнениями нейтрального типа.

Примеры дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа:

X (t)= f t, x(t), x(t −τ), x(t −τ)		,	(8)
.	.

X (t)= f t, x(t), x[t −τ(t)], x[t −τ(t)], x[t −τ(t)] .			(9)
..	.	..

Отметим, что аналогичная классификация применяется и для систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом заменой слова "функция" словом "вектор функция".

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом:

.	(10)
X (t)= f [t, x(t), x(t −τ)],

где τ ≥ 0 и t −τ ≥ 0 (фактически рассматриваем дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом). Основная начальная задача при решении уравнения (10) заключается в следующем: определить непрерывное решение X (t) уравнения (10) для t > t0 (t0 –

фиксированное время) при условии, что X (t)=ϕ0(t), когда t0 −τ ≤ t ≤ t0 , где ϕ0(t) – заданная непрерывная начальная функция. Сегмент [t0 − τ, t0]называется начальным множеством, t0 называется начальной точкой. Предполагается, что X (t0 + 0)=ϕ0(t0 ) (рис. 1).

X(t)

X (t )=ϕ0(t)

0	t0 −τ	t0	t0 +τ	t	0 + τ	t
					2
			Рис. 1.
Если запаздывание τ		в уравнении (10) зависит от времени t		(τ =τ(t )), то началь-

ная задача ставится следующим образом: найти решение уравнения (10) при t > t0 , если известна начальная функция X (t)=ϕ0 t при t0 − τ(t0 )≤ t ≤ t0 .

Пример. Найти решение уравнения.

.	(11)
X (t)= f [t, x(t), x(t −cos2 t)]
при t > t0 = 0 , если начальная функция X (t)=ϕ0(t) при (t0 −cos2 t0 ) |	t ≤t0	| (или
t0 =0	t0	=0

−1 ≤ t ≤ 0 ).

8

I.МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Пример. Найти решение уравнения

	.						(12)
при	X (t)= f [t, x(t), x(t / 2)]			при (t	−t	/ 2) |			| (или
	t > t0 =1 , если начальная функция X (t)= ϕ t						≤t ≤t
		0		0	0	t =1		0	t =1
						0			0

1/ 2 ≤ t ≤1).

Отметим, что начальная функция обычно задается или находится экспериментально (в основном в технических задачах).

1.2. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов

Рассмотрим дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом.

.		(13)
X (t)= f [t, x(t), x(t −τ)],
где τ ≥ 0 , t −τ ≥ 0 , с заданной начальной функцией X (t)=ϕ0 t		при t0 −τ ≤ t ≤ t0 .

Требуется найти решение уравнения (13) при t ≥ t0 .

Для нахождения решения уравнения (13) при t ≥ t0 будем пользоваться методом шагов (метод последовательного интегрирования).

Суть метода шагов состоит в том, что сначала найдем решение уравнения (13) для t0 ≤ t ≤ t0 + τ , потом для t0 +τ ≤ t ≤ t0 +2τ и т.д. При этом заметим, например, что так как в области t0 ≤ t ≤ t0 + τ аргумент t − τ меняется в пределах t0 −τ ≤ t −τ ≤ t0 , то в уравнении

(13) в данной области вместо x(t −τ) можно взять начальную функцию ϕ0(t −τ). Тогда

получим, что для нахождения решения уравнения (13) в области t0 ≤ t ≤ t0		+ τ нужно ре-
шить обыкновенное дифференциальное уравнение без запаздывания в виде:
.	[t, x(t),ϕ0(t −τ)],	(14)
X (t)= f
при t0 ≤ t ≤ t0 + τ	с начальным условием X (t0)=ϕ(t0) (см. рис. 1).
Теперь,	найдя решение этой начальной задачи в виде X (t)=ϕ1 (t),	можем поста-

вить задачу нахождения решения на отрезке t0 +τ ≤ t ≤ t0 +2τ и т.д.

Итак имеем:

	.		0 (t −τ)],
	X (t)= f [t, x(t),ϕ			(15)
при t0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ0 (t0 ),
	.
	X (t)= f [t, x(t),ϕ1(t −τ)],			(16)
при t0 +τ ≤ t ≤ t0 + 2τ ,			X (t0 +τ)= ϕ1(t0 +τ),
	.
	X (t)= f [t, x(t),ϕ2 (t −τ)],			(17)
при t0 + 2τ ≤ t ≤ t0 +3τ ,			X (t0 + 2τ)= ϕ2 (t0 + 2τ),
	.
	X (t)= f [t, x(t),ϕn (t −τ)],			(18)
при t0 + nτ ≤ t ≤ t0 + (n +1)τ , X (t0 + nτ)= ϕn (t0 + nτ),
где	ϕi(t) есть	решение рассматриваемой начальной		задачи на отрезке
t0 + (i −1)τ ≤ t ≤ t0 +iτ		(I=1,2,3…n,…).

9

I.МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Такой метод шагов решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (13) позволяет определить решение X (t) на некотором конечном отрезке изменения t.

Пример 1. Методом шагов найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка с запаздывающим аргументом

.	(t)= 6 X (t −1)			(19)
X
в области 1 ≤ t ≤ 3 , если начальная функция при 0 ≤ t ≤1 имеет вид X (t)= ϕ0 (t)= t .
Решение. Сначала найдем решение уравнения (19) в области 1 ≤ t ≤ 2 . Для этого в
(19) заменим X (t −1) на ϕ0(t −1), т.е.
X (t −1)=ϕ0 (t −1)= t|t→t −1 = t −1
и учтем X (1)= ϕ0 (1)= t|		=1	=1 .	(20)
	t
Итак в области 1 ≤ t ≤ 2 получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида
.	(t)= 6 (t −1)			(21)
X
или dx(t)	= 6(t −1).
dt
Решая его с учетом (20), получим решение уравнения (19) при 1 ≤ t ≤ 2 в виде
X (t)= 3t 2 −6t +4 = 3(t −1)2 +1.				(22)
Для нахождения решения в области 2 ≤ t ≤ 3 в уравнении (19) заменим X (t −1) на
ϕ1(t −1)= 3(t −1)2 +1|t→t−1		= 3(t −2)2 +1. Тогда получим обыкновенное		дифференциальное
уравнение:
.	(t)= 6[3(t −2)2 +1], X (2)=ϕ1 (2)= 4 ,
X
решение которого имеет вид (Рис. 2)
X (t)= 6(t − 2)3 + 6t −8 .				(23)

X(t)

4

3

2

1

0 1 2

t

Рис. 2

10