АГ Векторная алгебра 2015-16 / 03 Базис и система координат
.doc
Базис и система координат
Базис и координаты вектора, единственность разложения вектора по базису
Определение 28
Базисом на плоскости называется пара линейно независимых векторов плоскости при условии, что любой вектор плоскости разлагается в линейную комбинацию этих векторов.
Утверждение 4
Любая пара неколлинеарных векторов плоскости может быть базисом этой плоскости.
Определение 29
Базисом в пространстве называется тройка линейно независимых векторов пространства при условии, что любой вектор пространства разлагается в линейную комбинацию этих векторов.
Утверждение 5
Любая тройка некомпланарных векторов пространства может быть базисом этого пространства.
Замечание 1
Далее все рассуждения для пространства справедливы также и для плоскости.
- векторы базиса (соответственно первый, второй, третий). Разложение вектора по базису:
(14)
- координаты вектора в базисе
(15)
Определение 30
Координаты вектора – коэффициенты разложения данного вектора по базису.
Теорема 8
Любой вектор разлагается по базису единственным образом.
♦ От противного:
Допустим и . Тогда
Из условия существования противоположного вектора, коммутативности сложения, дистрибутивности относительно сложения чисел получаем:
Система векторов - базис, поэтому линейно независима. Коэффициенты линейной комбинации могут быть только нулями. Поэтому . Следовательно, разложение единственно. ♦
Теорема 9 (свойства операций над векторами, заданными своими координатами)
-
Соответствующие координаты равных векторов равны.
(16)
-
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
(17)
-
При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число.
, (18)
♦
1) Необходимость. Допустим и . Из свойства коммутативности сложения векторов, дистрибутивности относительно сложения чисел получаем:
Линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. эти вектора линейно независимы и коэффициенты линейной комбинации могут быть только нулями. Поэтому .
Достаточность. Если , то из следует
. ♦
Замечание 2
Коллинеарность двух векторов, заданных своими координатами
(19)
Линейная зависимость и независимость векторов, заданных своими координатами
Линейная зависимость двух векторов на плоскости, заданных своими координатами
, и линейно зависимые векторы на плоскости
Линейная независимость двух векторов на плоскости, заданных своими координатами.
, и линейно независимые векторы на плоскости
Линейная зависимость трех векторов в пространстве, заданных своими координатами
, и линейно зависимые векторы в пространстве.
Линейная независимость трех векторов в пространстве, заданных своими координатами.
, и линейно независимые векторы в пространстве
Аффинная система координат
Определение 31
АСК – совокупность базиса и точки, к которой приложены векторы базиса. О – точка, к которой приложены векторы базиса, есть начало АСК.
;
Определение 32
Радиус-вектор точки М – вектор, начало которого совпадает с началом АСК, а конец с т.М.
, (20)
где - коэффициенты разложения по базису.
O M
Определение 33
Координаты точки М в АСК - координаты в базисе данной АСК.
Простейшие задачи в АСК
Координаты вектора с заданным началом и концом:
A
O B
по правилу треугольника
В силу теоремы получаем:
.
Деление отрезка в данном отношении
Известны координаты т. А и В в некоторой АСК.
Дано: АСК;
A
M
B
O Найти: =?
Получаем
(21)
СВОДКА ФОРМУЛ
1) (22)
2) (23)
3) и линейно зависимые векторы на плоскости
(24)
4) и линейно независимые векторы на плоскости
(25)
5) ,и линейно зависимые векторы в пространстве
(26)
6) , и линейно независимые векторы в пространстве
(27)
Базис и аффинная система координат на прямой
Определение 34
Рассмотрим прямую и вектор на этой прямой. Этот вектор является базисом любых векторов, лежащих на этой прямой.
Определение 35
Прямая с фиксированным на ней вектором называется осью.
- ось
(28)
Определение 36
Ось с зафиксированным на ней началом координат называется числовой осью.
Проекция вектора на ось
Определение проекции
Проекция точки и проекция вектора на ось вдоль прямой на плоскости
Определение 37
Пусть дана ось l и прямая d, неколлинеарная l. Возьмём на плоскости точку М, проведём через неё прямую, параллельную прямой d. Она пересечёт l в точке М’.
Точка М’ называется проекцией т. М на ось l вдоль прямой d.
d
M`
l
Определение 38
Пусть даны на плоскости вектор и ось l. Пусть дана прямая d , неколлинеарная l. Построим проекции точек А и В на оси l вдоль прямой d , получим точки А` и В`. Вектор называется векторной проекцией вектора на ось l вдоль прямой d. Прямая d называется проектирующей.
Проекция точки и проекция вектора на ось вдоль плоскости в пространстве
Определение 39
Проекцией точки М на ось l вдоль плоскости называется точка М’, где М’ – точка пересечения оси l с прямой, проходящей через точку М и параллельной плоскости .
M’
M
l
Определение 40
Проекцией вектора на ось l вдоль плоскости называется вектор , где А` - проекция т. А на ось l , а В` - проекция т. В на ось l вдоль плоскости - векторная проекция на ось. Плоскость называется проектирующей.
Определение 41 (численное значение проекции вектора на ось)
Координата вектора на оси l наз. числовой проекцией вектора на ось l – пр l (29).
Свойства проекций
-
Проекции равных векторов
(30)
-
Проекция суммы векторов
(31)
-
Проекция произведения вектора на число
(32)
-
Ортогональная проекция вектора на ось и ее значение
(33)
- ортогональная проекция вектора на ось l,
-
угол наклона к l.
Прямоугольная декартова система координат (ПДСК)
Прямоугольная декартова система координат как частный случай аффинной
Определение 42
ПДСК – АСК, у которой базисные векторы попарно перпендикулярны и модули базисных векторов равны. За единицу длины принимается длина базисного вектора. Базисные векторы ПДСК называются ортами и обозначаются . Базис в ПДСК при этом называется ортонормированным.
Определение 43
Орт – единичный вектор, имеющий направление.
Длина вектора, расстояние между точками в ПДС
Дан вектор , тогда длина вектора:
(34)
Даны две точки , тогда расстояние между точками:
(35)
Связь координат вектора и проекций вектора на оси в ПДСК
Теорема 10
Координаты вектора ПДСК равны проекциям этого вектора на соответствующие оси координат.
z
Z
A
О Y y
X
Доказательство.
Приложим вектор к началу координат и построим параллелепипед на осях, параллельных прямым.
Тогда – ортогональная векторная проекция вектора на ось x: .
Здесь X – координата на оси x в базисе i. По определению X – числовое значение проекции вектора на ось x:
.
Так как плоскости взаимно перпендикулярны и перпендикулярны осям, аналогично
, .
Направляющие косинусы вектора
Проекция вектора на направление
(36)
В ПДСК координаты вектора :
(37)
углы между вектором и положительными направлениями осей OX,OY,OZ соответственно.
Ортом оси OX является вектор .
Ортом оси OY является вектор .
Ортом оси OZ является вектор .
Ось - абсцисса, ось - ордината, ось - аппликата.
Определение 44
(38)
- направляющие косинусы вектора .
Подставим эти преобразования в равенство , получим
(39).
Основное свойство направляющих косинусов вектора
Условие на направляющие косинусы
(40)
Вычисление направляющих косинусов вектора через его прямоугольные координаты
. (41)