Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

АГ Векторная алгебра 2015-16 / 05 Векторное смешанное произведение векторов

.doc
Скачиваний:
41
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
2.07 Mб
Скачать

21

Векторное произведение векторов

Определение №38

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если каждому из них присвоен номер.

Определение №39

Упорядоченная тройка векторов называется правой или тройкой положительной ориентации, если выполнены условия: если будучи приведенными к общему началу, векторы упорядоченной тройки расположены так, как можно расположить пальцы правой руки, т. е. первый вектор по направлению большого пальца, второй – по направлению указательного, третий – по направлению среднего (для левой руки тройка будет левой).

Определение №40

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если выполнены условия: если находиться в растворе трёхгранного угла тройки векторов, приведённых к общему началу, и мысленно вращать от 1-го ко 2-му, от 2-го к 3-му, от 3-го к 1-му, то вращение будет против часовой стрелки; тройка векторов левая, если вращение по часовой стрелке.

Определение №41

Если смотреть на упорядоченную тройку векторов, приведённую к общему началу, из конца 3-го вектора и вращать 1-ый и 2-ой вокруг третьего в направлении от 1-го ко 2-му, то вращение против часовой стрелки говорит о том, что тройка правая, а по часовой – левая.

Определение №42

Перестановка векторов называется циклической, если 1-ый вектор ставится на последнее место, а номера остальных векторов уменьшаются на один (последний вектор ставится на 1-е место, а остальные номера увеличиваются на один).

Лемма №1

Если в упорядоченной тройке векторов выполнить циклическую перестановку векторов, то ориентация тройки не изменится.

Доказательство: (на основе второго определения упорядоченной тройки)

3

2`

1 3` 2 1`

Лемма №2

Если поменять номера двух векторов упорядоченной тройки, то ориентация тройки изменится на противоположную.

Доказательство:

3

3`

1 2` 2 1`

Лемма №3

Даны векторы ; ,

и - некомпланарные тройки.

Если тройки и имеют одинаковые ориентации, то ;

Если и имеют различные ориентации, то .

Определение №43

Векторным произведением векторов называется вектор

,

для которого выполнены следующие условия:

  1. направлен так, что тройка имеет ориентацию базиса:

если базис правый, то - правая тройка;

если базис левый, то - левая тройка.

Геометрические свойства векторного произведения

Теорема 13

  1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах , приведённых к общему началу, равна модулю их векторного произведения.

Доказательство:

  1. Построим параллелограмм на векторах и

  1. Необходимость.

Достаточность.

Алгебраические свойства векторного произведения

  1. – антикоммутативность

  2. – ассоциативность относительно умножения на число

  3. , где – векторная проекция на прямую перпендикулярную и лежащую в плоскости векторов и .

  4. – дистрибутивность

Доказательство свойств:

- правая тройка (по определению)

- левая тройка (по определению)

- левая тройка (по лемме)

По лемме №3

Докажем, что модули равны

Докажем, что вектора сонаправлены:

- правая тройка

- правая тройка,

- правая тройка,

- правая тройка , т.к.

Тогда по лемме 3:

- правая тройка

- левая тройка, т.к.

- правая тройка, - левая тройка,

Тогда по лемме №3:

  1. Доказать самостоятельно.

- правая тройка

- правая тройка

- правая тройка

Тогда по лемме №3:

Повернём параллелограмм в плоскости на ; если смотреть из конца вектора , то против часовой стрелки. Каждый вектор умножаем на .

- правая тройка (по определению)

В силу того, что

(Из свойства 1)

Векторное произведение в координатах

Теорема 14

Пусть в ПДСК заданы векторы . Тогда:

Доказательство:

Рассмотрим . Докажем, что .

, а Длины векторов равны.

(по определению векторного произведения), а (так как базисные векторы в ПДСК) .

Причем – правая тройка векторов и – правая тройка векторов (по определению). По Лемме №3.

Значит .

Аналогично доказывается, что , .

В силу антикоммутативности векторного произведения

; ; .

В силу свойства 3 векторного произведения

.

Мы доказали следующую таблицу.

Таблица векторных произведений

Используя свойства векторного произведения (дистрибутивность, ассоциативность умножения вектора на число) и таблицу векторных произведений вычислим

Следствие

пропорциональность соответствующих координат.

Применение векторного произведения

Пусть даны в ПДСК вектора . Тогда:

В случае плоскости:

где

Векторное произведение в АСК

O

Смешанное произведение векторов

Определение №44

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторного произведения векторов на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 15

Смешанное произведение некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу, взятому со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка левая.

Смешанное произведение векторов равно 0, тогда и только тогда когда векторы компланарны.

Доказательство:

  1. Рассмотрим вектора , и единичный вектор . Тогда , – правая тройка (так как по определению).

Если , – правая тройка, то (вектор направлен в то же полупространство, что и , относительно плоскости , ).

Если , – левая тройка, то (вектора и направлены в разные полупространства относительно плоскости , ).

  1. – компланарны.

векторы компланарны.

Замечание

В формулировке теоремы предполагается, что базис правый; если ориентация базиса может быть любой, то соответствующие слова заменяем на взятого со знаком «+», если ориентация базиса и тройки совпадают, и со знаком «-», если ориентация тройки и базиса различны.

Алгебраические свойства смешанного произведения

Доказательство:

.в силу теоремы 15

Знак зависит от ориентации тройки . При циклической перестановке по лемме 1 ориентация тройки не меняется и имеют одинаковую ориентацию.

Доказательство:

В силу леммы №2 , если любые 2 вектора поменять местами, то ориентация тройки изменится на противоположную. То есть тройки , и имеют ориентацию, противоположную . В силу теоремы №15 у этих троек знак смешанного произведения противоположен знаку тройки . Значит

Доказательство:

3 вектора, два из которых равны, являются компланарными. Значит, по теореме №15 их произведения равны 0.♥

Доказательство:

Ассоциативность скалярного произведения относительно умножения на число

Смешанное произведение в координатах

Теорема 16

Пусть в ПДСК даны координаты векторов . Смешанное произведение векторов , координаты которого заданы в ПДСК, находятся по формуле

Доказательство:

Пусть .

По теореме №14 .

.

Разложим определитель

Следствие из Т16

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является

Теорема 16’

Пусть в АСК даны координаты векторов , , Смешанное произведение векторов , координаты которого заданы в ПДСК, находятся по формуле

Применение смешанного произведения

Необходимо найти характеристики различных геометрических фигур, если известны координаты точек, составляющих рёбра этих фигур (параллелепипед, треугольник, пирамида).

Даны координаты векторов, составляющих рёбра, выходящие из одной точки

Объем параллелепипеда, построенного на этих векторах

Высота параллелепипеда, построенного на векторах , и опущенная на грань векторов