АГ Векторная алгебра 2015-16 / 06 Преобразование системы координат
.doc
Преобразование системы координат
Пусть имеются две АСК на плоскости и .
M
Так как - базис, то любой вектор плоскости можно разложить по этому базису
(1)
Необходимо найти связь между и .
(2)
Переход от ПДСК к ПДСК
Пусть даны 2 ПДСК на плоскости и .
Определение:
Система координат на плоскости называется правой, если поворот от первой ко второй оси производится против часовой стрелки; левой, если поворот по часовой стрелке
Определение.
Преобразование системы координат называется собственным, если при этом не меняется ориентация системы координат, и несобственным, если ориентация меняется.
Преобразование ПДСК в ПДСК называется ортогональным преобразованием
(3)
Первый случай: обе системы координат – правые.
Умножим скалярно на и уравнения системы (3):
(4)
Второй случай: преобразование правой системы координат в левую.
(5)
Определитель матрицы перехода для собственного преобразования:
Определитель матрицы перехода для несобственного преобразования:
Полезные соотношения:
Теорема
Если оси ДПСК параллельно переносятся на величину в направлении оси и на величину в направлении оси и, кроме того, поворачиваются на угол при неизменном масштабе, то формулы собственного преобразования координат
Обратное собственное ортогональное преобразование:
(6)
Преобразование ПДСК в пространстве
Углы Эйлера
Преобразование аффинных систем координат
O
(7)
(8)
Преобразование ПДСК в пространстве
Даны две ПДСК и (только поворот осей).
Обозначим углы между осями:
.
(9)
(10)
Рассмотрим систему координат.
- пересечение координатных плоскостей xOy и ;
O
– углы Эйлера
Таким образом, переход от ПДСК к ПДСК можно выполнить в три этапа при помощи углов Эйлера.
1) повернём вокруг оси на угол :
2) повернём вокруг оси () на угол :
3) повернём вокруг на угол :